1、找次品問題方法找次品問題的求解方法還就是從比爾蓋茨與81 個玻璃球的問題說開來吧。(1)小比爾蓋茨的問題: 這兒有 81 個玻璃球 , 其中有一個球比其她的球稍重, 如果只能用天平來測量, 至少要稱多少次才能保證找出來呢？(2) 如果不知道次品玻璃球與標(biāo)準(zhǔn)球的輕重 , 同樣只用天平來測量 , 至少要稱多少次才能保證找出次品玻璃球來？怎樣用天平來測量次品？就就是要用天平稱量時(shí)的“平衡” 與“不平衡” 來判斷研究對象的情況?！捌胶狻迸忻鳑]次品; “不平衡”判明次品就在這里。本題要求最少的稱量次數(shù) , 顯然還要找出一個解決問題的最優(yōu)策略, 也就就是要讓天平每稱量一次能判斷的研究對象個數(shù)最多 , 最終

2、達(dá)到稱量次數(shù)最少的目的。 實(shí)際操作起來就就是把 研究對象怎樣分組 , 分成多少組的問題。怎樣分組？有平均分( 對于不能平均分的數(shù)量 , 讓數(shù)量多的組多1 個 , 少的組少 1個 ),任意分兩種分法。 比較起來只有平均分才能讓“平衡” 與“不平衡” 說明研究對象的情況( 任意分時(shí) , 天平兩邊數(shù)量不等 , “平衡”已不可能, “不平衡”也不能判斷出問題), 所以選擇平均分法。分成多少組？有分成2 組、 3 組、 4 組、 5 組等多種分法。因?yàn)樘炱接袃蓚€托盤, 每稱量一次能放上兩組研究對象, 最多能判斷出3 組的情況 ( 既能判斷出天平上兩組的情況, 還能判斷出天平外一組的情況。若平衡 , 次品

3、就在盤外那組中 ; 若不平衡 , 盤外那組中就無次品 ),所以只有分成 2 組或 3組才能使天平每稱量一次包括研究對象的全部, 其她組數(shù)達(dá)不到這個要求舍棄。 再比較2 組分法、 3 組分法的優(yōu)劣 : 把 2 組分法、 3 組分法上次稱量判斷出的問題組對象再分別 2 等分之、 3 等分之?？梢缘贸鱿麓畏Q量時(shí)天平每邊的對象數(shù)量,3 組分法的遠(yuǎn)比 2 組分法的少。繼續(xù)稱量下去, 顯然 ,3組分法的稱量次數(shù)要少, 更符合最優(yōu)策略。綜合起來 , 就就是選擇 平均分成3 組的分法。用天平稱量的方法找次品有什么規(guī)律？因?yàn)椴捎玫木褪侨确址? 則每次稱量都就是把上次找出的問題組對象三等分之進(jìn)行研究 , 且最后

4、一次找出次品時(shí), 天平兩邊各只有1 個研究對象 , 所以從天平兩邊各放1 個研究對象開始逆推找規(guī)律。天平稱量法找次品統(tǒng)計(jì)表次數(shù)最多判斷出研究對象的個數(shù)13=31(1,1,1)23 3=9=32(3,3,3)(1,1,1)39 3=27=33(9,9,9)(3,3,3)(1,1,1)427 3=81=34(27,27,27)(9,9,9)(3,3,3)(1,1,1)一般地 , 用天平稱量n 次 , 能判斷出研究對象的最多個數(shù)Y=3n。找次品問題方法上面研究的都就是“最多”數(shù)量的情況, 不滿足“最多”條件的數(shù)量情況如何呢？比如 4、 12 情況怎樣？先研究 4:因?yàn)樘炱椒Q量 1 次最多只能判斷出

5、3 個 , 所以要再稱量 1 次 , 一共 2 次才能有保證。 平衡 2次 :(2,1,1) (1,1)。不平衡 1 次 :(2,1,1)。 再研究 12: 天平稱量2 次最多能判斷出9 個 , 所以也要再稱1 次 , 一共就是 3 次才能有保證。 平衡 3 次 :(4,4,4)(2,1,1)(1,1)。不平衡 2 次 :(4,4,4) (2,1,1)一般地 , 用天平稱量法找次品, 當(dāng)研究對象的個數(shù)Y 滿足關(guān)系式 3n-1 Y 3n 時(shí) , 最少要稱量 n 次才能保證找出次品。現(xiàn)在回頭解答比爾蓋茨與81 個玻璃球的問題。問題 (1)小比爾蓋茨的問題 : 這兒有 81 個玻璃球 , 其中有一個

6、球比其她的球稍重 ,如果只能用天平來測量 , 至少要稱多少次才能保證找出來呢？因?yàn)?81=34, 所以最少要稱 4 次才能保證找出次品。問題 (2)如果不知道次品玻璃球與標(biāo)準(zhǔn)球的輕重, 同樣只用天平來測量 , 至少要稱多少次才能保證找出次品玻璃球來？先測出次品玻璃球就是重了還就是輕了:分組81 3=27(27,27,27)1 次任取兩組過天平, 有“平衡”與“不平衡”兩種情況。研究“平衡”情況既就是“平衡”, 就判斷出次品在天平外那組中。2 次任取已過天平一組與天平外那組同稱, 肯定不平衡。 若原天平外那組重些, 就判斷出次品比標(biāo)準(zhǔn)球重, 否則 , 次品就就是比標(biāo)準(zhǔn)球輕。研究“不平衡” 情況既就是 “不平衡” , 就判斷出次品已在天平中, 天平外那組就是標(biāo)準(zhǔn)球。2 次取較重的一組與天平外那組同稱, 有“平衡”、 “不平衡”兩種可能。若“平衡”就判斷出次品球比標(biāo)準(zhǔn)球輕; 若“不平衡”就判斷出次品球比標(biāo)準(zhǔn)球重。綜合以上研究得出: 最少稱 2 次才能知道次品球在那組中, 也才能知道次品球比標(biāo)準(zhǔn)球就是重些還就是輕些。此時(shí), 次品所在組有球27 個。因?yàn)?,27=3 , 所以最少再稱3 次才能保證找出次品球來。一共就是2+3=5( 次 )例: 若 73 個零件 , 其中有一個比其她的零件稍重, 如果只能用天平來測量, 至少要稱多少次才能保證找出來呢？解: 因