1、數(shù)據(jù)的曲線擬合 （Matlab）,實驗5,、問題 人口預(yù)測問題。 下面給出的美國1900到到2000年的人口數(shù)。 我們的目標是預(yù)測未來的人口數(shù)。,t 1900 1910 1920 1930 1940 1950 y 75.995 91.972 105.711 123.203 131.669 150697 t 1960 1970 1980 1990 2000 y 179.323 203.212 226.505 249.633 281.422,無論是插值問題還是曲線擬合問題，總是巳知一個函數(shù)在若干點處的信息（如實測數(shù)據(jù)），希望構(gòu)造近似函數(shù)，用得到的插值或逼近函數(shù)給出被逼近函數(shù)在其他點處的值（如無法實

2、測的點），或了解函數(shù)的整體情況。,學(xué)會用Matlab軟件，來完成對數(shù)據(jù)的擬合和插值的方法。 三、預(yù)備知識 1、設(shè)ax0 x1 xn b,已知有n1個節(jié)點(xj , yj), j0，1，n其中xj互不相同，這些節(jié)點（xj , yj） 可以看成是由某個函數(shù)y=f(x)產(chǎn)生的。插值方法是構(gòu)造一 個相對簡單的函數(shù)y=g(x)，使g通過全部節(jié)點,即g(xj)yj j=0,1,2, ,n，用g(x)作為函數(shù)f(x)的近似。,插值函數(shù)近似的點在插值節(jié)點之間，則稱為內(nèi)插；否則稱為外推。人口的預(yù)測問題如果用插值或擬合的方法，則顯然是外推。,二、實驗?zāi)康?擬合方法的求解思路有別于插值，以多項式擬合為例說明 之。對

3、于給定的數(shù)據(jù)（xj , yj），j0，1，n， 選取適當階數(shù)的多項式g(x),使g(x)盡可能接近這些數(shù)據(jù)。,這可以通過求解下面的最小化問題來實現(xiàn)：,設(shè)解為,，則 g(x)=,用Matlab可以很容易地作插值和擬合，這既使讀者避開了繁瑣的原理性說明，也能了解插值和擬合的意義，并且可以自如地使用這種數(shù)學(xué)技術(shù)來解決實際問題。當然，如果有興趣，也可以了解相關(guān)的“數(shù)值計算”內(nèi)容。,就是所需的近似函數(shù)。,2、本實驗中所用Matlab命令提示： yi=interp1(x1,y1,xi,linear)；%一元插值函數(shù) interpl,其中x1,y1為節(jié)點，命令對應(yīng)函數(shù)yi=g(xi)； zi=interp1

4、(x1,y1,xi,cubic)： %三次多項式插值；, p=polyfit(x1,y1,n)： %多項式擬合函數(shù)polyfit( ), p,s=polyfit(x1,y1,n)：x1,y1為節(jié)點,n為多項式階 數(shù)， 矩陣s為生成預(yù)測值 的誤差估計； y=polyval(p,x)： %多項式曲線求值函數(shù)polyval, y,DELTA=polyval(p,x,s) 前者為返回對x在系數(shù)p的 多項式的值，后者為輸出s 得出誤差估計YDELTA；,所用函數(shù)：nlinfit( ) %帶有待定常數(shù)的自定義函數(shù) 調(diào)用格式：beta,r,J=nlinfit(x,y,fun,beta0) （說明：beta返

5、回函數(shù)fun中的待定常數(shù)；r表示殘 差；J表示雅可比矩陣；x,y為數(shù)據(jù)；fun自定 義函數(shù)；beta0待定常數(shù)初值。） 四、實驗內(nèi)容與要求 1、就給出的美國1900到到2000年的人口數(shù)，擬合出多項 式和向自定義函數(shù)擬合，并預(yù)測2010年美國的人口數(shù)。,t 1900 1910 1920 1930 1940 1950 y 75,995 91,972 105,711 123,203 131,669 150,697 t 1960 1970 1980 1990 2000 y 179,323 203,212 226,505 249,633 281,422,2、 X 取 1，2，20，y=x+3sin(x

6、),分別用 6 階、 10 階曲線進行逼近。 3、 下表為某保險公司100個賠款樣本的賠款狀況， 求出：（1）畫直方圖、散點圖；（2）若分布適 合對數(shù)正態(tài)分布模型,求參數(shù),;(3)畫對數(shù) 正態(tài)分布密度圖形。,賠款額（元） 賠款次數(shù) 0400 2 400800 24 8001200 32 12001600 21 16002000 10 20002400 6 24002800 3 28003200 1 32003600 1 3600以上 0,總數(shù) 100,五、思考與練習(xí) 1、 已知數(shù)據(jù)見下表，求xi=0.025時的yi的值。 X 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

7、0.9 1 Y 0.3 0.5 1 1.4 1.6 1.9 0.6 0.4 0.8 1.5 2 并求：x=0.2500、0.3500、0.4500時y的函數(shù)值。 2、 某保險公司1990年1996年的保費收入如下表，試預(yù) 測該公司在1997年、1998年的保費收入。,年度 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996,保費收入(萬元)104 162 188 264 320 400 442,3、某保險公司1990年發(fā)生的7821件家財險賠案的分組統(tǒng) 計情況，試計算平均賠款額及賠款額的方差；并畫出散點 圖。,某保險公司1990年家財險索賠分布情況,索賠額（元） 頻數(shù),050

8、 1728 50100 1346 100200 1869 200400 1822 400800 907 800以上 149,合計 7821,六、操作提示 計算過程：,(1)一階擬合： t=1900:10:2000; y=0.75995 0.91972 1.05711 1.23203 1.31669 1.50697 1.79323 2.03212 2.26505 2.49633 2.81422; n=1; p=polyfit(t,y,n) ti=linspace(1900,2000,100); %繪圖的t軸數(shù)據(jù) z=polyval(p,ti); %多項式在數(shù)據(jù)點處值 plot(t,y,o,ti,

9、z,k:,t,y,b) legend(原始數(shù)據(jù),一階曲線) ti=2010; yi=interp1(t,y,ti,spoline),三階擬合： t=1900:10:2000; y=0.75995 0.91972 1.05711 1.23203 1.31669 1.50697 1.79323 2.03212 2.26505 2.49633 2.81422; n=3; p=polyfit(t,y,n) ti=linspace(1900,2000,100); %繪圖的t軸數(shù)據(jù) z=polyval(p,ti); %多項式在數(shù)據(jù)點處的值 plot(t,y,o,ti,z,k:,t,y,b) legend(

10、原始數(shù)據(jù),三階曲線) ti=2010; yi=interp1(t,y,ti,spoline) 自定義函數(shù)擬合： 首先定義非線性函數(shù)的M文件：fff1.m,function yy=model(beta0,x) a=beta0(1); b=beta0(2); yy=a+exp(b*x); 程序如下： x=1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000; y=0.75995 0.91972 1.05711 1.23203 1.31669 1.50697 1.79323 2.03212 2.26505 2.49633 2.81422; be

11、ta0=0.30 0.02; betafit=nlinfit(x,y,fff1,beta0) plot(x,y,r-*),(2)六階多項式： x=1:20; y=x+3*sin(x); p=polyfit(x,y,6) xi=linspace(1,20,100); z=polyval(p,xi); %多項式求值函數(shù) plot(x,y,o,xi,z,k:,x,y,b) legend(原始數(shù)據(jù)，6階曲線),十階多項式： x=1:20; y=x+3*sin(x); p=polyfit(x,y,10) xi=linspace(1,20,100); z=polyval(p,xi); %多項式求值函數(shù) p

12、lot(x,y,o,xi,z,k:,x,y,b) legend(原始數(shù)據(jù)，10階曲線),(3) 畫直方圖： x=0:400:3600; y=2 24 32 21 10 6 3 1 1 1; bar3(x,y) %三維直方圖 散點圖： x=0:400:3600; y=2 24 32 21 10 6 3 1 1 1; plot(x,y,r-*) 求均值與方差：,賠款額（元） 組中值 賠款次數(shù) 賠款頻率,0400 200 2 0.02 400800 600 24 0.24 8001200 1000 32 0.32 12001600 1400 21 0.21 16002000 1800 10 0.10

13、,20002400 2200 6 0.06 24002800 2600 3 0.03 28003200 3000 1 0.01 32003600 3400 1 0.01 3600以上 0,總數(shù) 100 1.00,均值： X=200 600 1000 1400 1800 2200 2600 3000 3400; P=0.02 0.24 0.32 0.21 0.10 0.06 0.03 0.01 0.01; EX=X*P %,方差： DX= DX=X.2*P-EX2 %DX=EX2-(EX)2 對數(shù)正態(tài)分布的均值：,對數(shù)正態(tài)分布的方差：,=log(1216)-1/2*2 2=log(1+36294

14、4/(12162),代入對數(shù)正態(tài)分布密度可畫圖： x=200:400:3600; y=1./sqrt(2.*3.14*0.22*x.2).*exp(-(log(x)- 7).2 /(2.*0.22); plot(x,y,r-*) title(對數(shù)正態(tài)分布密度函數(shù)曲線圖 ) xlabel(x=200:400:3600) （4） x=0:0.1:1; y=0.3 0.5 1 1.4 1.6 1.9 0.6 0.4 0.8 1.5 2; yi0=interp1(x,y,0.025,linear) xi=0:0.02:1;,yi=interp1(x,y,xi,linear); %線性插值 zi=int

15、erp1(x,y,xi,spline); %三次樣條插值 wi=interp1(x,y,xi,cubic); %三次多項式插值 plot(x,y,o,xi,yi,r+,xi,zi,g*,xi,wi,k.-) legend(原始點,線性點,三次樣條,三次多項式) xi=0.2500 0.3500 0.4500; yi=interp1(x,y,xi,spline),計算結(jié)果： （1）一階擬合： p = 0.0203 -37.8395 yi =3.3360（億人） 此時多項式為：y=0.0203x-37.8395,三階擬合： p = 0.0000 -0.0005 0.8025 -425.8736 yi = 3.3360（億人） 此時多項式：y=0.0000 x3-0.0005x3+ 0.8025x-425.8736,betafit = -13.0784 0.0014 即：a=-13.0784, b=0.0014, 擬合函數(shù)為：-13.0784+exp(0.0014x)。,（2） 六階多項式： p = Columns 1 through 6 0.0000 -0.0021 0.0505 -0.5971 3.6472 -9.7295 Column 7 11.3304,注：可用不同階的多項式 來擬合數(shù)據(jù)但也不是階數(shù) 越高