1、第二章 X射線衍射原理,X射線照射晶體，電子受迫產(chǎn)生振動，向四周輻射同頻率電磁波。同一原子內(nèi)的電子散射波相干加強成原子散射波。由于晶體內(nèi)原子呈周期性排列，各原子散射波之間存在固定位向關(guān)系而產(chǎn)生干涉作用，在某些方向相干加強成衍射波。 衍射的本質(zhì)就是晶體中各原子相干散射波疊加的結(jié)果。衍射花樣反映了晶體內(nèi)部原子排列的規(guī)律。,第二章X射線衍射原理,第二章X射線衍射原理,X射線衍射揭示晶體結(jié)構(gòu)特征主要有兩個方面： X射線衍射方向反映了晶胞的形狀和大?。?X射線衍射強度反映了晶胞中的原子位置和種類。 X射線衍射理論所要解決的中心問題在衍射現(xiàn)象與晶體結(jié)構(gòu)之間建立起定性和定量關(guān)系。,晶體學知識,晶體 晶胞 空

2、間點陣 晶體結(jié)構(gòu) 晶格常數(shù) 晶面與晶向 晶帶與晶帶定理,2.1倒易點陣,2.1.1 倒易點陣的構(gòu)建 X射線衍射分析是通過對衍射花樣的分析來反推出晶體結(jié)構(gòu)特征的。 倒易點陣在晶體 點陣（正點陣）基 礎上按一定對應關(guān) 系構(gòu)建的一個空間 點陣。如圖示，a、 b、c表示正點陣基 矢，a*、b*、c*表 示倒易點陣基矢。,2.1倒易點陣,a a*= b b*=c c*=1；a*b=a*c=b*c=b*a=c*a=c*b=0,方向倒易基矢垂直于正點陣中異名基矢構(gòu)成的平面 長度倒易基矢與正點陣矢量間是倒數(shù)關(guān)系,正點陣與倒易點陣晶胞體積也是互為倒數(shù),2.1倒易點陣,2.1.2倒易矢量及其性質(zhì) 倒易矢量由倒易原

3、點指向倒易陣點的方向矢量，用g*表示： gHKL*=Ha*+Kb*+Lc* 其中H、K、L為整數(shù)。,g*方向垂直于對應正點陣 中的（HKL）晶面 g*長度等于對應（HKL） 面間距倒數(shù),g*NHKL g*=1/dHKL,2.1倒易點陣,由于gHKL*在方向上是正空間中（HKL）面的法線方向，在長度上是1/dHKL，所以gHKL*唯一代表正空間中的相應的一組（HKL）晶面。,2.1倒易點陣,2.1倒易點陣,2.1倒易點陣,倒易點陣是由晶體點陣經(jīng)過一定的轉(zhuǎn)化而構(gòu)成的，倒易點陣本身是一種幾何構(gòu)圖，倒易點陣方法是一種數(shù)學方法。倒易點陣是晶體學中極為重要的概念之一，它不僅可以簡化晶體學中的某些計算問題，

4、而且還可以形象地解釋晶體的衍射幾何。 倒易點陣是由許多陣點構(gòu)成的虛點陣。從數(shù)學上講，所謂倒易點陣就是由正點陣派生的一種幾何圖象點陣。正點陣是直接從晶體結(jié)構(gòu)中抽象出來的，而倒易點陣是與正點陣一一對應的，是用數(shù)學方法由正點陣演算出的。從物理上講，正點陣與晶體結(jié)構(gòu)相關(guān)，描述的是晶體中物質(zhì)的分布規(guī)律，是物質(zhì)空間，或正空間，倒易點陣與晶體的衍射現(xiàn)象相關(guān)，它描述的是衍射強度的分布。,2.2衍射方向,2.2.1 勞厄方程 勞厄假設晶體為光柵（點陣常數(shù)即光柵常數(shù)），晶體中原子受X射線照射產(chǎn)生球面波并在一定方向上相互干涉，形成衍射波。,關(guān)于衍射方向的理論主要有以下幾個：勞厄方程、布拉格方程、衍射矢量方程和厄瓦爾

5、德圖解,勞厄方程,1.一維勞厄方程考慮單一原子列衍射方向 a （ S S0）H a（cos1-cos1）=H 當X射線照射到一列原子上時，各原子散射線之間相干加強成衍射波，此時在空間形成一系列衍射圓錐。,勞厄方程,2、二維勞厄方程考慮單一原子面衍射方向 a （ S S0）H a（cos1-cos 1）=H b （ S S0）K b（cos2-cos 2）=K 這表明構(gòu)成平面的兩列原子產(chǎn)生的衍射圓錐的交線才是衍射方向。,勞厄方程,3、三維勞厄方程考慮三維晶體衍射方向 a （ S S0）H b （ S S0）K c （ S S0）L 或 a（cos1-cos 1）=H b（cos2-cos 2）=

6、K c（cos3-cos 3）=L 用上式計算晶體衍射方向，比較煩瑣。,布拉格方程,2.2.2布拉格方程 1、布拉格實驗簡介 如圖示為布拉格實驗裝置，以CuK線照射NaCl晶體，實驗得到“選擇反射”的結(jié)果，即當入射線以某些特定角度（=15，32）入射時，記錄到反射線，其他角度入射時，則無反射線。,布拉格方程,解釋：入射的平行X光照射到晶體中相互平行的各原子面上，各原子面各自產(chǎn)生的相互平行的反射線間的干涉作用導致了“選擇反射”的結(jié)果。,布拉格方程,2、方程推證 當用一束X射線照射一層原子面時，兩個相鄰原子 散射線之間無光程差，可以相干加強 ，將原子面視作“散射基元”。,布拉格方程,考慮兩相鄰原子

7、面散射線光程差。如圖示：=AB+BC=2dsin，根據(jù)干涉加強條件，得： 2dsin=n 這就是布拉格方程。 d-衍射晶面間距；-掠射角；-入射線波長；n-反射級數(shù)。,布拉格方程,晶體對X射線的衍射是各原子面散射線之間的干涉加強，即記錄到的樣品衍射線是各原子面散射線相互干涉的結(jié)果。X射線除了滿足“反射條件”，還應滿足特定角度，才能產(chǎn)生衍射。,布拉格方程,3、布拉格方程討論 干涉晶面和干涉指數(shù) 2dhklsin=n（hkl）面的n級反射可以看成 是（HKL）面的一級反射， 2（dhkl /n）sin= 對布拉格方程進行了簡化。 令dHKL=dhkl /n （HKL）稱為干涉晶面，H、 2dHKL

8、sin= K、L稱為干涉指數(shù)，其中： H=nh, K=nk,L=nL 。,（HKL） 與（hkl）區(qū)別： （HKL）面不一定是晶體中的真實原子面，是為了簡化布拉格方程引入的“反射面”。干涉指數(shù)H、K、L與h、k、l區(qū)別在于前者帶有公約數(shù)n，后者為互質(zhì)的。,產(chǎn)生衍射條件 d/2 即，用X射線照射晶體，能產(chǎn)生衍射的晶面其面間距必須大于或等于半波長。如-Fe，其晶面按面間距排列如下： 若用波長為0.194nm的FeK線照射-Fe，其半波長/2=0.097nm，則只有前4個晶面能產(chǎn)生衍射；若用波長為0.154nm的CuK 線照射，其半波長為0.077，則前5個晶面都可以產(chǎn)生衍射。,布拉格方程,布拉格方

9、程,選擇反射 由2dsin= 知， 一定時，d、 為變量，即不同d值的晶面對應不同角。也就是說用波長為的X射線照射晶體時，每一個產(chǎn)生衍射的晶面對應不同衍射角。,布拉格方程, 衍射方向與晶體結(jié)構(gòu)關(guān)系 晶體結(jié)構(gòu)相同（晶胞），點陣常數(shù)不同時，同名（HKL ）面衍射角不同； 不同晶胞，同名（HKL）面衍射角不同。即，衍射方向反映了晶胞的形狀和大小。,衍射方向與晶體結(jié)構(gòu)關(guān)系,(a) 體心立方 a-Fe a=b=c=0.2866 nm,(b) 體心立方 W a=b=c=0.3165 nm,衍射方向與晶體結(jié)構(gòu)關(guān)系,體心立方 a-Fe a=b=c=0.2866 nm,面心立方：g-Fe a=b=c=0.360

10、nm,布拉格方程, 衍射產(chǎn)生必要條件 滿足布拉格方程的晶面不一定能夠產(chǎn)生衍射，但產(chǎn)生衍射的晶面一定滿足布拉格方程。,衍射矢量方程,2.2.2 衍射矢量方程和厄瓦爾德圖解 1、衍射矢量方程 如圖示，定義衍射矢量 S-S0=CB S-S0N |S-S0|=2sin=/d 衍射矢量在方向上平行 于產(chǎn)生衍射的晶面的法 線；其大小與晶面間距 呈倒數(shù)關(guān)系。,衍射矢量方程,得： （ S-S0）/=g*=Ha*+Kb*+Lc* 上式即是衍射矢量方程。晶面要產(chǎn)生衍射，必須滿足該方程。 滿足布拉格方程，有 可能產(chǎn)生衍射，也有 可能不產(chǎn)生衍射；若 晶面產(chǎn)生衍射，則一 定滿足布拉格方程。,厄瓦爾德圖解,問題：用一束波

11、長為的X射線沿某一確定方向照射晶體時，晶體中有哪些晶面能夠產(chǎn)生衍射？具體的衍射方向如何分布？,厄瓦爾德圖解,2、 厄瓦爾德圖解 衍射矢量幾何圖解 由圖可知，衍射矢量方程的幾何圖解ABC為一等腰矢量三角形。當入射線波長不變時， 每一個產(chǎn)生衍射的晶面組都對應著一個等腰矢量三角形。,厄瓦爾德圖解, 厄瓦爾德圖解 只要晶面產(chǎn)生衍射，必然存在一衍射矢量三角形和其對應。這些矢量三角形的共同點就是擁有公共邊S0和公共頂點O，由幾何知識 可知，反射方向S的終點 必落在以O為中心，以 |S0|為半徑的球上厄 瓦爾德球或反射球。,厄瓦爾德圖解,厄瓦爾德球的構(gòu)建以1/為半徑構(gòu)建一個球，球心位于試樣O點，入射線與球交

12、點O*為倒易原點，則連接O*與S終點的矢量即為g*。在以O*為倒易原點的倒易點陣中，只要陣點落在球面上，則該點對應的晶面就可能產(chǎn)生衍射。S即為衍射方向。,厄瓦爾德圖解,按上述方法構(gòu)建的球稱厄瓦爾德球或者反射球。這種求解衍射方向的方法就是厄瓦爾德圖解法。 對于求解衍射方向，圖解法非常直觀，可以解釋不同衍射方法得到的衍射花樣。,勞厄法,勞厄法 勞厄法是用連續(xù)X射線照射單晶體的衍射方法。其原理如圖示。根據(jù)厄瓦爾德圖解，用連續(xù)譜照射單晶體，相應反射球半徑為一連續(xù)變量，落在最大半徑和最小半徑球面之間的所有倒易點相應晶面都可能發(fā)生衍射。,勞厄法,勞厄法實驗以平板底片接收衍射線，其衍射花樣為一系列斑點，實際

13、上是衍射線與底片的交點。根據(jù)公式 tan2=r/L r斑點到中心距離；L試樣到底片距離?？捎嬎愠龅灼细餮苌浒唿c對應的晶面組。進一步分析還可得到晶體取向、晶體不完整性等信息。勞厄法常用于測定單晶體的取向。,勞厄法,Film,反射法雙曲線,透射法衍射斑點,周轉(zhuǎn)晶體法,周轉(zhuǎn)晶體法 用單色X射線照射轉(zhuǎn)動的單晶體的衍射方法。其衍射原理如圖示。單晶體轉(zhuǎn)動相當于其對應倒易點陣繞與入射線垂直軸線轉(zhuǎn)動，使得原來與反射球不相交的倒易點在轉(zhuǎn)動過程中與反射球有一次或兩次相交機會，從而產(chǎn)生衍射。,周轉(zhuǎn)晶體法,實驗中，底片卷成圓筒狀接受衍射線，衍射花樣為一系列斑點，其實質(zhì)為衍射線與底片的交點。分析這些斑點的分布可以得到

14、晶體結(jié)構(gòu)信息。此方法常用于測定未知晶體結(jié)構(gòu)。,粉末衍射法,粉末衍射法 用單色X射線照射粉末多晶體的衍射方法。其原理如圖所示。多晶粉末中含有大量取向不同的小晶粒，各小晶粒中同名（HKL）晶面相應倒易點在空間構(gòu)成一個以倒易矢量長度為半徑的球面（倒易球）。,粉末衍射法,不同（HKL）面對應的倒易球半徑不同。當?shù)挂浊蚺c反射球相交時，交線為一圓環(huán)，圓環(huán)上倒易點對應晶面可能產(chǎn)生衍射。連接圓環(huán)和試樣就構(gòu)成一系列同軸、共頂點的衍射圓錐。若用平板底片接受衍射線，將 得到一系列同心圓 環(huán)粉末多晶衍 射花樣。,衍射方向理論小結(jié),衍射方向理論小結(jié), 勞厄方程、布拉格方程、衍射矢量方程和厄瓦爾德圖解都是均表達了衍射方向

15、與晶體結(jié)構(gòu)和入射線波長及方位的關(guān)系，都是衍射產(chǎn)生的必要條件。, 衍射矢量方程由“布拉格方程+反射定律”導出，在理論分析上具有普遍意義。, 布拉格方程是衍射矢量的絕對值方程，特別適合于、d的關(guān)系計算。 | （ S-S0）/ |= |g*|= 2sin =1/d 2dsin = ,衍射方向理論小結(jié), 勞厄方程是衍射矢量方程的投影方程。以a基矢方向為例： （ S-S0）/a= （ g* ）a a（ S-S0）/= a g*=a （Ha*+Kb*+Lc* ）=H a（ S-S0）=H 同理可以證明b、c基矢方向。, 厄瓦爾德圖解是衍射矢量方程的幾何圖解，直觀易理解，是討論各種分析方法成像原理與花樣特征

16、的工具。,2.3X射線衍射強度,布拉格方程是衍射產(chǎn)生必要條件。若滿足條件但衍射強度為零，仍然不可能產(chǎn)生衍射。因此，衍射強度不為零是衍射產(chǎn)生的充分條件。 從衍射方向可以求得晶胞的形狀和大小，但想獲得晶胞中原子的排列方式（原子位置）和原子種類，則必須借助于衍射強度。,2.3X射線衍射強度,衍射強度理論包括運動學理論和動力學理論，前者考慮入射X射線的一次散射，后者考慮的是入射X射線的多次散射。我們僅介紹衍射強度運動學理論。 X射線衍射強度涉及因素很多，問題比較復雜，一般從基元散射，即一個電子對X射線散射強度開始，逐步進行處理。本節(jié)處理衍射強度的過程如下所示： 一個電子的散射一個原子的散射一個晶胞的衍

17、射小晶體衍射多晶體衍射,2.3X射線衍射強度,一個電子的散射強度 偏振因子,一個電子散射強度,2.3.1一個電子散射強度 一束X射線照射到一個電子上，當電子受原子核束縛較緊時，僅在X射線作用下產(chǎn)生受迫振動，振動頻率與X射線相同。根據(jù)以前所學知識：一束偏振X射線照射晶體時，電子散射強度為： e、m-電子電量與質(zhì)量；c-光速；R-散射線上任意點（觀測點）與電子距離；-光矢量E與散射方向夾角。 實際材料衍射分析中采用非偏振X射線（其光矢量在垂直于傳播方向的固定平面內(nèi)任意指向），其散射強度為：,一個電子散射強度,對于非偏振X射線，電子散射強度在各個方向不同，即散射強度也偏振化了。 稱 為偏振因子。,推

18、導過程,一個原子的散射強度,2.3.2一個原子的散射強度 一束X射線與原子相遇，原子核和核外電子都對X射線產(chǎn)生散射，根據(jù)電子散射強度公式可知，原子核對X射線散射強度是電子散射強度的1/（1836）2倍，可忽略不計。因此，原子對X射線的散射是核外電子散射線的合成。 理想狀態(tài) 若核外電子集中于一點，原子的散射就是核外電子散射強度的總和，即,一個原子的散射強度, 一般情況 X射線波長與原子直徑在同一數(shù)量級，核外電子不能認為集中于一點。如圖示：設任意兩電子O、G，其散射線光程差=Gn-Om=rS- rS0= r（S- S0 ），其位向差 ，經(jīng)代換后，得： 設（r）是原子中 電子分布密度，則 原子中所有

19、電子散 射波合成振幅為,一個原子的散射強度,Aa=Aev（v）eidv Aa原子散射波合成振幅； Ae一個電子散射波振幅； dv位矢端體積元。 定義 f 為原子散射因子，有 假定電子呈球形分布，則徑向分布函數(shù)U（r）= 4r2（r）,代入積分可得： 可以看出 f 為K的函數(shù)，而 ，所以 f 是 函數(shù)，圖2-13給出了f 與 關(guān)系曲線,一個原子的散射強度,當=0， f=Z ，表明，當入射線和散射線同向時，Aa=ZAe，相當于核外電子集中于一點； 一般情況下， fZ ；,一個晶胞的散射強度,2.3.3 一個晶胞對X射線的散射 一個晶胞對X射線的散射是晶胞內(nèi)各原子散射波合成的結(jié)果。由于原子位置和種類

20、的不同，合成結(jié)果可能是加強或相互抵消。圖示為不同原子位置和原子種類對衍射強度的影響。,一個晶胞的散射強度,由此可以看出，晶胞中原子位置和原子種類對衍射強度的影響，因此可以通過衍射強度確定原子排列規(guī)律和種類。,一個晶胞的散射強度, 晶胞散射波合成 考慮晶胞內(nèi)任意兩 原子O(000)和 A(xjyjzj)散射波的相 位差j。 若僅考慮O、A兩原子在（HKL）面反射方向的散射波，則其相干加強條件滿足衍射矢量方程，將方程代入上式，得到位相差 。,一個晶胞的散射強度,晶胞沿（HKL）面反射方向的散射波是晶胞內(nèi)所有原子相應方向散射波的合成。 設晶胞含n個原子，其原子散射因子分別為f1、f2、f3fn，各原

21、子散射波相位差分別為1、2、3n。 若用復數(shù)表示散射波，則合成振幅是各散射波振幅在復平面中的矢量相加，即,一個晶胞的散射強度,定義F是以一個電子散射波振幅為單位的晶胞散射波合成振幅，則,F反映了晶體結(jié)構(gòu)對合成振幅的影響，稱為結(jié)構(gòu)振幅,結(jié)構(gòu)振幅的計算,結(jié)構(gòu)振幅的計算（考慮各原子f 相同） 簡單點陣 一個晶胞含一個原子，位置000 F=fe2i（H0+K0+L0）=f,對于簡單點陣，無論H、K、L取何值，F(xiàn)都等于f，即不為零，也即所有晶面都能產(chǎn)生衍射。,結(jié)構(gòu)振幅的計算,底心點陣 一個晶胞含2個原子： 計算F： F = f exp2i(Hx+Ky+Lz) = f exp2i(Hx+Ky+Lz) =

22、f exp2i(0) + exp2i(H/2 + K/2) = f 1 + ei(H+K) 可知：H+K為偶時，F(xiàn)=2f； H+K為奇時，F(xiàn)=0,當H、K為同性指數(shù)時，該晶面能產(chǎn)生衍射，否則無衍射產(chǎn)生，L取值對衍射沒有影響。,結(jié)構(gòu)振幅的計算,體心點陣 一個晶胞含2個原子：位置 計算F： F = f exp2i(Hx+Ky+Lz) = f exp2i(Hx+Ky+Lz) = f exp2i(0) + exp2i(H/2 + K/2+L/2) = f 1 + ei(H+K+L) 可知：H+K+L為偶時，F(xiàn)=2f； H+K+L為奇時，F(xiàn)=0,對于bcc結(jié)構(gòu)， H+K+L為偶數(shù)的晶面才能產(chǎn)生衍射， H

23、+K+L為奇數(shù)的晶面不能產(chǎn)生衍射。,結(jié)構(gòu)振幅的計算,面心點陣 一個晶胞含4個原子： 代入F公式計算: F = f exp2i(Hx+Ky+Lz) = f exp2i(Hx+Ky+Lz) = f exp2i(0) + exp2i(H/2 + K/2) + exp2i(K/2 + L/2) + exp2i(H/2 + L/2) = f 1 + ei(H+K) + ei(K+L) + ei(H+L) 可知： H、K、L為全奇或全偶時，F(xiàn)=4f； H、K、L奇偶混雜時，F(xiàn)=0,只有H、K、L全奇全偶的晶面才能產(chǎn)生衍射， H、K、L奇偶混雜的晶面不能產(chǎn)生衍射。,結(jié)構(gòu)振幅的計算,立方系三種結(jié)構(gòu)的衍射晶面,

24、結(jié)構(gòu)振幅的計算,簡單立方和面心立方結(jié)構(gòu)的X射線衍射譜對比,結(jié)構(gòu)振幅的計算,例如：只要是體心晶胞，則體心立方、正方體心、斜方體心，系統(tǒng)消光規(guī)律是相同的,F僅與原子的種類和原子在晶胞中的位置有關(guān)，而與晶胞形狀和大小無關(guān)。,結(jié)構(gòu)振幅的計算,系統(tǒng)消光 由于|F|2=0引起的衍射線消失的現(xiàn)象稱為系統(tǒng)消光。分為兩類：點陣消光和結(jié)構(gòu)消光。,點陣消光只決定于晶體類型而與晶體結(jié)構(gòu)無關(guān)的系統(tǒng)消光,結(jié)構(gòu)消光在點陣消光的基礎上因結(jié)構(gòu)基元內(nèi)原子位置不同而產(chǎn)生的附加消光（如金剛石結(jié)構(gòu)）,結(jié)構(gòu)消光（金剛石）,金剛石結(jié)構(gòu)每個晶胞中有8個同類原子，坐標為000、1/2 1/2 0，1/2 0 1/2，0 1/2 1/2，1/4

25、 1/4 1/4，3/4 3/4 1/4，3/4 1/4 3/4 ，1/4 3/4 3/4,前4項為面心點陣的結(jié)構(gòu)因子，用FF表示；后4項可提出公因子，得：,結(jié)構(gòu)消光,用歐拉公式，得： 當H、K、L為奇偶混雜時，F(xiàn)F=0，則FHKL=0 當H、K、L全為偶數(shù)時，并且H+K+L=4n時， 當H、K、L全為偶數(shù)，且H+K+L4n時，,結(jié)構(gòu)振幅的計算,AuCu3有序無序固溶體 當溫度高于395臨界溫度時， AuCu3為完全無序fcc結(jié)構(gòu)，晶胞每個結(jié)點上有 個平均原子，其散射因子 ，結(jié)構(gòu)如左圖示。 在臨界溫度以下， AuCu3呈有序態(tài)， Au占據(jù)晶胞頂角 位置，Cu占據(jù)面 心位置，結(jié)構(gòu)如右 圖示。,在

26、完全有序態(tài)，Au在000，Cu位置為 H、K、L全奇全偶時，F(xiàn)=fAu+3fCu；H、K、L奇偶混雜時，F(xiàn)= fAu-fCu，即有序固溶體所有晶面都能產(chǎn)生衍射，與簡單立方相似，在原來衍射線消失的位置出現(xiàn)的衍射是弱衍射。,結(jié)構(gòu)振幅的計算,在完全無序態(tài)，晶胞中含有4個平均原子（與fcc結(jié)構(gòu)位置相同），當H、K、L全奇全偶時，F(xiàn)=4f平均；當H、K、L奇偶混雜時，F(xiàn)=0，即合金的衍射花樣與面心立方金屬相似，只出現(xiàn)全奇或全偶指數(shù)晶面的衍射。,結(jié)構(gòu)振幅的計算,由上討論可知， AuCu3固溶體有序無序轉(zhuǎn)變伴隨有布拉菲點陣的轉(zhuǎn)變，有序態(tài)為簡單立方，無序態(tài)為fcc結(jié)構(gòu)。 同性指數(shù)晶面產(chǎn)生的衍射線稱為基本線條，

27、無論在有序還是無序態(tài)都在相同位置出現(xiàn)；在有序態(tài)出現(xiàn)的混合指數(shù)線條稱超點陣線條，是固溶體有序化的證據(jù)。在完全有序態(tài)下，超點陣線條強度最強；在完全無序態(tài)下強度為零。根據(jù)其強度可計算出固溶體長程有序度。,一個晶體的衍射與干涉函數(shù),2.3.4一個晶體的衍射與干涉函數(shù) 晶體是晶胞在三維方向堆垛而成。設三個基矢方向的晶胞數(shù)分別為N1、N2、N3，總晶胞數(shù)N=N1N2N3。可求得任意兩相臨晶胞位相差 得到晶體散射波合成振幅Am,一個晶體的衍射與干涉函數(shù),晶體衍射強度為 |G|2稱為干涉函數(shù)，G1、G2、G3為3個等比級數(shù)求和。,一個晶體的衍射與干涉函數(shù),干涉函數(shù)|G|2曲線如圖示，為N1=5的|G1|2曲線

28、。 曲線由強度很高的主峰和強度很弱的副峰組成。 主峰強度最大值（羅必塔法則）為|G1|2max=N12，對應1取整數(shù)H，主峰有強度范圍H （ /N1）。同理|G2|2max=N22， 2 =K ； |G3|2max=N32， 3 =L 。 |G2|2、 |G3|2主峰有強度 范圍為K （ /N2） 和L （ /N3）。,一個晶體的衍射與干涉函數(shù),|G|2主峰最大值|G|2max= |G1|2max |G2|2max |G3|2max = N12N22N32=N2，對應位置1 =H , 2 =K ,3 =L ,有強度范圍： H （ /N1）、 K （ /N2）和L （ /N3） |G1|2主峰下

29、面積和主峰高度與底寬乘積 成比例。參與的晶粒數(shù)目越多，底寬越窄，強度越大。 由上討論知，N1N2N3的數(shù)目決定了晶體的形狀，因此|G|2取決于晶體形狀，也稱為形狀因子。,一個晶體的衍射與干涉函數(shù),考慮到|G|2曲線的形式，晶體的實際強度應該是主峰面積表達的強度，即對整個主峰面積積分，得到晶體衍射積分強度：,粉末多晶衍射強度,2.3.5 粉末多晶衍射強度 衍射原理 落在倒易球與反射球交 線圓環(huán)上的倒易點相應 晶面可能產(chǎn)生衍射，即 相應晶粒參與衍射。 由于晶粒的衍射強度取決于|G|2的值，而干涉函數(shù)|G|2的強度在空間有一定的分布，故倒易球不再是一個球面而是具有一定厚度的球殼，與反射球的交線由圓轉(zhuǎn)

30、變成圓環(huán)。,粉末多晶衍射強度, 參與衍射的晶粒數(shù)目 用環(huán)帶面積與倒易球面積之比表示參與衍射的晶粒數(shù)目，得,粉末多晶衍射強度,求得粉末多晶衍射積分強度 對于德拜照相法，其衍射環(huán)帶上單位長度的衍射強度為,粉末多晶衍射強度,2.3.6 影響衍射強度的其他因素 1、多重性因素PHKL 晶體中同一晶面族HKL包含許多等同晶面，具有相同面間距，滿足衍射條件相同，對衍射都有貢獻。定義多重性因子PHKL為等同晶面的個數(shù)，則衍射強度為 2、吸收因素A() 當X射線穿過試樣時，會產(chǎn)生吸收，吸收的程度取決于穿過的路徑和試樣的線吸收系數(shù)。,粉末多晶衍射強度,若試樣為圓柱形，吸收隨衍射角而變。角越小，吸收越強烈；反之，吸收程度小。引入吸收因子 A（），無吸收時A（） =1，有吸收時A（）1。衍射強度記為,粉末多晶衍射強度,3、溫度因素e-2M 實際晶體中的原子始終圍繞其平衡位置振動，溫度越高振幅越大。原子振動偏離其平衡位置導致偏離衍射條件，對衍射強度產(chǎn)生影響。溫度越高，強度降低越多；一定溫度下，越大強度降低越大。另外晶面間距、反射級數(shù)對e-2M都有影響。引入溫度因子e-2M，粉末多晶衍射強度表示為,粉末多晶衍射強度,上式為衍射強度的絕對強度，測定該強度比較困難。實際衍射分析工作中需要計算和測定的是各衍射線條之間