1、1,第四章 彎曲應(yīng)力,2,4-1 對稱彎曲的概念及梁的計(jì)算簡圖,. 關(guān)于彎曲的概念,受力特點(diǎn)： 桿件在包含其軸線的縱向平面內(nèi)，承受垂直于軸線的橫向外力或外力偶作用。 變形特點(diǎn)： 直桿的軸線在變形后變?yōu)榍€。,梁以彎曲為主要變形的桿件稱為梁。,第四章 彎曲應(yīng)力,3,彎曲變形,第四章 彎曲應(yīng)力,4,第四章 彎曲應(yīng)力,5,縱向?qū)ΨQ面,對稱彎曲外力作用于梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，因而變形后梁的軸線(撓曲線)是在該縱對稱面內(nèi)的平面曲線。,非對稱彎曲梁不具有縱對稱面(例如Z形截面梁)，因而撓曲線無與它對稱的縱向平面；或梁雖有縱對稱面但外力并不作用在縱對稱面內(nèi)，從而撓曲線不與梁的縱對稱面一致。,第四章 彎曲應(yīng)力,6

2、,本章討論對稱彎曲時梁的內(nèi)力和應(yīng)力。,對稱彎曲時和特定條件下的非對稱彎曲時，梁的撓曲線與外力所在平面相重合，這種彎曲稱為平面彎曲。,第四章 彎曲應(yīng)力,7,. 梁的計(jì)算簡圖,對于對稱彎曲的直梁，外力為作用在梁的縱對稱面內(nèi)的平面力系，故在計(jì)算簡圖中通常就用梁的軸線來代表梁。,這里加“通常”二字是因?yàn)楹喼Я涸谒矫鎯?nèi)對稱彎曲時不能用軸線代表梁。,第四章 彎曲應(yīng)力,8,(1) 支座的基本形式,1. 固定端實(shí)例如圖a，計(jì)算簡圖如圖b, c。,第四章 彎曲應(yīng)力,9,2. 固定鉸支座實(shí)例如圖中左邊的支座，計(jì)算簡圖如圖b，e。,3. 可動鉸支座實(shí)例如圖a中右邊的支座，計(jì)算簡圖如圖c，f。,第四章 彎曲應(yīng)力,1

3、0,懸臂梁,(2) 梁的基本形式,簡支梁,外伸梁,第四章 彎曲應(yīng)力,11,在豎直荷載作用下，圖a，b，c所示梁的約束力均可由平面力系的三個獨(dú)立的平衡方程求出，稱為靜定梁。,(3) 靜定梁和超靜定梁,圖d，e所示梁及其約束力不能單獨(dú)利用平衡方程確定，稱為超靜定梁。,第四章 彎曲應(yīng)力,12,例題4-1 試求圖a所示有中間鉸C的梁A、B處的約束力。,第四章 彎曲應(yīng)力,(a),解：1. 此梁左端A為固定端，有3個未知約束力FAx，F(xiàn)Ay和MA；右端B處為可動鉸支座，有1個未知約束力FBy。此梁總共有4個未知支約束力。,13,對于平面力系，雖然可列出3個獨(dú)立平衡方程，但此梁具有中間鉸C，故根據(jù)鉸不能傳遞

4、力矩的特點(diǎn)，作用在中間鉸一側(cè)(梁的AC或梁CB段)梁上的外力(荷載和約束力)對于中間鉸C的力矩應(yīng)等于零，還可列出1個獨(dú)立的平衡方程。這樣就可利用4個平衡方程求解4個未知支約束力。由此也可知，此梁是靜定梁。,第四章 彎曲應(yīng)力,14,第四章 彎曲應(yīng)力,于是可求得約束力如下：,15,第四章 彎曲應(yīng)力,16,2. 此梁的約束力亦可將梁在中間鉸C處拆開，先利用CB段梁作為分離體求約束力FBy和AC段梁在中間鉸C處作用在CB段梁上的FCx和FCy，然后利用AC段梁作為分離體求約束力FAx，F(xiàn)Ay和MA。,第四章 彎曲應(yīng)力,17,3. 顯然可見，作用在此梁CB段上的荷載是要通過中間鉸傳遞到梁的AC段上的，但

5、作用在AC段上的荷載是不會傳遞給CB段的。故習(xí)慣上把梁的AC段稱為基本梁(或稱主梁)，把梁的CB段稱為副梁。,第四章 彎曲應(yīng)力,18,思考： 1. 如果上述例題中所示的梁上，沒有原來的荷載，但另外加一個作用在中間鉸C上的集中荷載F =100 kN，試求該梁的約束力。,第四章 彎曲應(yīng)力,19,2. 在中間鉸C的左側(cè)加一個力矩為Me的力偶和在中間鉸C的右側(cè)加一力矩同樣大小的力偶，它們產(chǎn)生的約束力是否一樣？,第四章 彎曲應(yīng)力,20,4-2 梁的剪力和彎矩剪力圖和彎矩圖,. 梁的剪力和彎矩(shearing force and bending moment),圖a所示跨度為l的簡支梁其約束力為,梁的左

6、段內(nèi)任一橫截面mm上的內(nèi)力，由mm左邊分離體(圖b)的平衡條件可知：,第四章 彎曲應(yīng)力,21,它們的指向和轉(zhuǎn)向如圖b中所示。顯然這些內(nèi)力是 mm右邊的梁段對于左邊梁段的作用力和作用力矩。,故根據(jù)作用與反作用原理，mm左邊的梁段對于右邊梁段(圖c)的作用力和作用力矩?cái)?shù)值應(yīng)與上式所示相同，但指向和轉(zhuǎn)向相反。這一點(diǎn)也可由mm右邊分離體的平衡條件加以檢驗(yàn)：,第四章 彎曲應(yīng)力,22,從而有,第四章 彎曲應(yīng)力,23,梁的橫截面上位于橫截面內(nèi)的內(nèi)力FS是與橫截面左右兩側(cè)的兩段梁在與梁軸相垂直方向的錯動(剪切)相對應(yīng)，故稱為剪力；梁的橫截面上作用在縱向平面內(nèi)的內(nèi)力偶矩是與梁的彎曲相對應(yīng)，故稱為彎矩。,第四章

7、彎曲應(yīng)力,24,為使無論取橫截面左邊或右邊為分離體，求得同一橫截面上的剪力和彎矩其正負(fù)號相同，剪力和彎矩的正負(fù)號要以其所在橫截面處梁的微段的變形情況確定，如圖。,第四章 彎曲應(yīng)力,25,綜上所述可知： (1) 橫截面上的剪力在數(shù)值上等于截面左側(cè)或右側(cè)梁段上外力的代數(shù)和。左側(cè)梁段上向上的外力或右側(cè)梁段上向下的外力將引起正值的剪力；反之，則引起負(fù)值的剪力。,(2) 橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于截面左側(cè)或右側(cè)梁段上外力對該截面形心的力矩之代數(shù)和。 1. 不論在左側(cè)梁段上或右側(cè)梁段上，向上的外力均將引起正值的彎矩，而向下的外力則引起負(fù)值的彎矩。,第四章 彎曲應(yīng)力,26,2. 截面左側(cè)梁段上順時針轉(zhuǎn)向的外

8、力偶引起正值的彎矩，而逆時針轉(zhuǎn)向的外力偶則引起負(fù)值的彎矩；截面右側(cè)梁段上的外力偶引起的彎矩其正負(fù)與之相反。,第四章 彎曲應(yīng)力,27,. 剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖,剪力方程和彎矩方程實(shí)際上是表示梁的橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置變化的函數(shù)式，它們分別表示剪力和彎矩隨截面位置的變化規(guī)律。顯示這種變化規(guī)律的圖形則分別稱為剪力圖和彎矩圖。,第四章 彎曲應(yīng)力,28,例題4-4 圖a所示懸臂梁受集度為q的滿布均布荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。,第四章 彎曲應(yīng)力,(a),29,距右端為x的任意橫截面上的剪力FS(x)和彎矩M(x)，根據(jù)截面右側(cè)梁段上的荷載有,解：1. 列剪力方程和彎矩方程,當(dāng)求

9、懸臂梁橫截面上的內(nèi)力(剪力和彎矩)時，若取包含自由端截面的一側(cè)梁段來計(jì)算，則可不求出約束力。,第四章 彎曲應(yīng)力,30,2. 作剪力圖和彎矩圖,根據(jù)剪力方程和彎矩方程作出剪力圖和彎矩圖分別如圖b和圖c。按照習(xí)慣，剪力圖中正值的剪力值繪于x軸上方，彎矩圖中正值的彎矩值則繪于x軸的下方(即彎矩值繪于梁彎曲時其受拉的邊緣一側(cè))。,第四章 彎曲應(yīng)力,(b),(c),31,由圖可見，此梁橫截面上的最大剪力其值為FS,max=ql，最大彎矩(按絕對值)其值為 (負(fù)值)，它們都發(fā)生在固定端右側(cè)橫截面上。,第四章 彎曲應(yīng)力,(b),(c),(a),32,例題4-5 圖a所示簡支梁受集度為q的滿布荷載作用。試作梁

10、的剪力圖和彎矩圖。,解：1. 求約束力,第四章 彎曲應(yīng)力,(a),33,2. 列剪力方程和彎矩方程,第四章 彎曲應(yīng)力,34,由圖可見，此梁橫截面上的最大剪力(按絕對值)其值為 (正值，負(fù)值)，發(fā)生在兩個支座各自的內(nèi)側(cè)橫截面上；最大彎矩其值為 發(fā)生在跨中橫截面上。,3. 作剪力圖和彎矩圖,第四章 彎曲應(yīng)力,35,簡支梁受滿布荷載作用是工程上常遇到的計(jì)算情況，初學(xué)者對于此種情況下的剪力圖、彎矩圖和FS,max，Mmax的計(jì)算公式應(yīng)牢記在心！,第四章 彎曲應(yīng)力,36,例題4-6 圖a所示簡支梁受集中荷載F 作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。,第四章 彎曲應(yīng)力,解：1. 求約束力,37,2. 列剪力方程和

11、彎矩方程,此梁上的集中荷載將梁分隔成AC和CB兩段，兩段內(nèi)任意橫截面同一側(cè)梁段上的外力顯然不同，可見這兩段梁的剪力方程和彎矩方程均不相同，因此需分段列出。,第四章 彎曲應(yīng)力,F,AC段梁,38,CB段梁,第四章 彎曲應(yīng)力,F,39,3. 作剪力圖和彎矩圖,如圖b及圖c。由圖可見，在b a的情況下，AC段梁在0xa的范圍內(nèi)任一橫截面上的剪力值最大， ； 集中荷載作用處( x=a)橫截面上的彎矩值最大， 。,第四章 彎曲應(yīng)力,(b),(c),40,4. 討論,由剪力圖可見，在梁上 的集中力(包括集中荷載和約 束力)作用處剪力圖有突變， 這是由于集中力實(shí)際上是將 作用在梁上很短長度x范圍內(nèi)的分布力加

12、以簡化所致。若將分布力看作在x范圍內(nèi)是均勻的(圖a),則剪力圖在x范圍內(nèi)是連續(xù)變化的斜直線(圖b)。從而也就可知，要問集中力作用處梁的橫截面上的剪力值是沒有意義的。,第四章 彎曲應(yīng)力,41,例題4-7 圖a所示簡支梁在C點(diǎn)受矩為Me的集中力偶作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。,第四章 彎曲應(yīng)力,解：1. 求約束力,42,2. 列剪力方程和彎矩方程,此簡支梁的兩支座之間無集中荷載作用，故作用于AC段梁和BC段梁任意橫截面同一側(cè)的集中力相同，從而可知兩段梁的剪力方程相同，即,第四章 彎曲應(yīng)力,x,x,43,至于兩段梁的彎矩方程則不同：,AC段梁：,CB段梁：,第四章 彎曲應(yīng)力,x,x,44,3. 作剪

13、力圖和彎矩圖,第四章 彎曲應(yīng)力,45,如圖可見，兩支座之間所有橫截面上剪力相同，均為 。在ba的情況下，C截面右側(cè)(x=a+)橫截面上的彎矩絕對值最大， 為 （負(fù)值)。彎矩圖在集中力偶作用處有突變，也是因?yàn)榧辛ε紝?shí)際上只是作用在梁上很短長度范圍內(nèi)的分布力矩的簡化。,第四章 彎曲應(yīng)力,46,思考1：一簡支梁受移動荷載F作用，如圖所示。試問： (a) 此梁橫截面上的最大彎矩是否一定在移動荷載作用處？為什么？ (b) 荷載F移動到什么位置時此梁橫截面上的最大彎矩比荷載在任何其它位置時的最大彎矩都要大？該最大彎矩又是多少？亦即要求求出對于彎矩的最不利荷載位置和絕對值最大彎矩值。,第四章 彎曲應(yīng)力,4

14、7,思考2：對于圖示帶中間鉸C的梁，試問： (a) 如果分別在中間鉸左側(cè)和右側(cè)作用有向下的同樣的集中力F，這兩種情況下梁的剪力圖和彎矩圖是否相同？ (b) 如果分別在中間鉸左側(cè)和右側(cè)作用有同樣大小且同為順時針的力偶矩Me的力偶，這兩種情況下梁的剪力圖和彎矩圖是否相同？,第四章 彎曲應(yīng)力,C,48,思考3：根據(jù)對稱性與反對稱性判斷下列說法是否正確。,(a) 結(jié)構(gòu)對稱、外力對稱時，彎矩圖為正對稱，剪力圖為 反對稱； (b) 結(jié)構(gòu)對稱、外力反對稱時，彎矩圖為反對稱，剪力圖為正對稱。,第四章 彎曲應(yīng)力,49,例 簡支梁受力如圖a所示。試寫出梁的剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。,解：1. 求支座

15、約束力,可利用平衡方程 對所求約束力進(jìn)行校核。,第四章 彎曲應(yīng)力,50,2. 建立剪力方程和彎矩方程,AC段：,CB段：,第四章 彎曲應(yīng)力,51,3求控制截面內(nèi)力，繪FS , M圖,FS圖： AC段內(nèi) 剪力方程是x的一次函數(shù)，剪力圖為斜直線，故求出兩個端截面的剪力值即可,CB段內(nèi) 剪力方程為常數(shù)，求出其中任一截面的內(nèi)力值連一水平線即為該段剪力圖。,第四章 彎曲應(yīng)力,52,M圖： AC段內(nèi) 彎矩方程是x的二次函數(shù)，表明彎矩圖為二次曲線，需求出兩個端截面的彎矩。,需判斷頂點(diǎn)位置，該處彎矩取得極值。,第四章 彎曲應(yīng)力,53,我們可以發(fā)現(xiàn)，對于該梁來說有,CB段內(nèi) 彎矩方程是x的一次函數(shù)，分別求出兩個

16、端點(diǎn)的彎矩，并連成直線即可。,第四章 彎曲應(yīng)力,54,（a） 當(dāng)梁上有向下的均布荷載時，剪力圖為一條直線，其斜率 為負(fù)；,而且，這微分關(guān)系也體現(xiàn)在該梁的剪力圖和彎矩圖中：,第四章 彎曲應(yīng)力,55,第四章 彎曲應(yīng)力,（b）從剪力圖可見，隨x的增大剪力FS由正值逐漸變?yōu)樨?fù)值，故彎矩圖切線的斜率 也應(yīng)隨x的增大而由正值逐漸變?yōu)樨?fù)值；且在 的截面處 ，即彎矩圖切線的斜率為零而彎矩有極值；,56,（c）由 可知，彎矩圖的曲率 為負(fù)，亦即在彎矩圖的縱坐標(biāo)如圖中那樣取向下為正時，彎矩圖為下凸的二次曲線。,第四章 彎曲應(yīng)力,57,. 彎矩、剪力與荷載集度之間的關(guān)系及其應(yīng)用,M(x), FS(x)與q(x)間微

17、分關(guān)系的導(dǎo)出,從圖a所示簡支梁的有分布荷載的區(qū)段內(nèi)，取出長為dx的梁段，如圖b所示。這里分布荷載的集度q(x)以向上為正值，且略去荷載集度在微量dx范圍內(nèi)的變化。梁的微段其左、右橫截面上的剪力和彎矩均為正值。,第四章 彎曲應(yīng)力,58,從而得：,由梁的微段的平衡方程,略去二階無窮小項(xiàng) ，即得,第四章 彎曲應(yīng)力,59,應(yīng)用這些關(guān)系時需要注意，向上的分布荷載集度為正值，反之則為負(fù)值。,由以上兩個微分關(guān)系式又可得,第四章 彎曲應(yīng)力,60,常見荷載下FS，M圖的一些特征,第四章 彎曲應(yīng)力,61,集中力作用處,集中力偶作用處,若某截面的剪力FS(x)=0，根據(jù) ，該截面的彎矩為極值。,第四章 彎曲應(yīng)力,6

18、2,利用以上各點(diǎn)，除可以校核已作出的剪力圖和彎矩圖是否正確外，還可以利用微分關(guān)系繪制剪力圖和彎矩圖，而不必再建立剪力方程和彎矩方程，其步驟如下： (1) 求支座約束力； (2) 分段確定剪力圖和彎矩圖的形狀； (3) 求控制截面內(nèi)力，根據(jù)微分關(guān)系繪剪力圖和彎矩圖； (4) 確定|FS|max和|M|max 。,第四章 彎曲應(yīng)力,63,例題 一簡支梁在其中間部分受集度為 q=100 kN/m的向下的均布荷載作用，如圖a所示。試?yán)脧澗?、剪力與分布荷載集度間的微分關(guān)系校核圖b及圖c所示的剪力圖和彎矩圖。,第四章 彎曲應(yīng)力,x,64,而根據(jù) 可知，AC段內(nèi)的剪力圖應(yīng)當(dāng)是水平直線。該段內(nèi)梁的橫截面上剪

19、力的值顯然為,1. 校核剪力圖,解：此梁的荷載及約束力均與跨中對稱，故知約束力FA，F(xiàn)B為,第四章 彎曲應(yīng)力,該梁的AC段內(nèi)無荷載，,65,對于該梁的CD段，分布荷載的集度q為常量，且因荷載系向下而在微分關(guān)系中應(yīng)為負(fù)值，即q=-100 kN/m。,第四章 彎曲應(yīng)力,根據(jù) 可知CD段內(nèi)的剪力圖確應(yīng)為向右下方傾斜的斜直線。由于C點(diǎn)處無集中力作用，剪力圖在該處無突變，故斜直線左端的縱坐標(biāo)確為100 kN。根據(jù)斜直線的斜率為 ，可證實(shí)D截面處的剪力確應(yīng)為,66,對于該梁的DB段，梁上無荷載，故剪力圖應(yīng)該是水平直線；且由于D點(diǎn)處無集中力作用，剪力圖在該處無突變，故該水平直線的縱坐標(biāo)確為-100 kN。作

20、為復(fù)核，顯然支座B偏左橫截面上的剪力就是,第四章 彎曲應(yīng)力,67,2. 校核彎矩圖,這與圖中所示相符。,該梁的AC段內(nèi)，剪力為常量，因而根據(jù) 常量可知此段梁的彎矩圖應(yīng)為斜率為 的正值的斜直線。據(jù)此，由支座A處橫截面上的彎矩為零可知C截面處的彎矩為,第四章 彎曲應(yīng)力,68,事實(shí)上，這個彎矩值也可根據(jù),此式中的 從幾何意義上來說，它就是AC段內(nèi)剪力圖的面積。,第四章 彎曲應(yīng)力,通過積分來復(fù)核：,69,對于該梁的CD段，根據(jù) 可知：,彎矩圖是如圖(c)中所示曲率為負(fù)(即向下凸)的二次曲線。因?yàn)榱荷螩點(diǎn)處無集中力偶作用，故彎矩圖在C截面處應(yīng)該沒有突變；,第四章 彎曲應(yīng)力,70,由于C截面處剪力無突變，

21、故CD段的彎矩圖在C處的切線的斜率應(yīng)該與AC段梁彎矩圖在C處的斜率相等，即兩段梁的彎矩圖在C處應(yīng)光滑連接。,第四章 彎曲應(yīng)力,71,在剪力為零的跨中截面E處， 彎矩圖切線的斜率為零，而彎矩 有極限值，其值為,同樣，根據(jù) 可知，,這些均與圖(c)中所示相符。,第四章 彎曲應(yīng)力,72,對于該梁的DB段，由于剪力為負(fù)值的常量，故彎矩圖應(yīng)該是斜率為負(fù)的斜直線。因?yàn)榱荷螪點(diǎn)處無集中力偶作用，故彎矩圖在D截面處不應(yīng)有突變，再考慮B支座處彎矩為零，即可證實(shí)圖(c)中此段梁的彎矩圖也無誤。,第四章 彎曲應(yīng)力,73,已知：圖中梁的約束力為,思考：試指出圖示三根梁各自的剪力圖和彎矩圖中的錯誤。,正確答案：,第四章

22、 彎曲應(yīng)力,(a),74,圖中梁的約束力為,正確答案：,第四章 彎曲應(yīng)力,(b),75,圖中梁的約束力為,正確答案：,第四章 彎曲應(yīng)力,(c),76,. 按疊加原理作彎矩圖,第四章 彎曲應(yīng)力,77,(1) 在小變形情況下求梁的約束力、剪力和彎矩時，我們都是按梁未變形時的原始尺寸進(jìn)行計(jì)算的，例如對于圖a所示懸臂梁，其剪力方程和彎矩方程分別為,第四章 彎曲應(yīng)力,(a),78,這就是說，在小變形情況下，此梁橫截面上的剪力和彎矩分別等于集中荷載F和均布荷載q單獨(dú)作用時(圖b和圖c)相應(yīng)內(nèi)力的代數(shù)和疊加。因此該梁的剪力圖和彎矩圖也就可以利用疊加的方法作出。,第四章 彎曲應(yīng)力,(a),79,(2) 疊加原

23、理 當(dāng)所求參數(shù)(約束力、內(nèi)力、應(yīng)力或位移)與梁上(或結(jié)構(gòu)上)荷載成線性關(guān)系時，由幾項(xiàng)荷載共同作用所引起的某一參數(shù)之值，就等于每項(xiàng)荷載單獨(dú)作用時所引起的該參數(shù)值的疊加。,第四章 彎曲應(yīng)力,80,(3) 示例 圖a所示受滿布均布荷載q并在自由端受集中荷載 作用的懸臂梁，其剪力圖和彎矩圖顯然就是圖b和圖c所示，該梁分別受集中荷載F和滿布均布荷載q作用時兩個剪力圖和兩個彎矩圖的疊加。,第四章 彎曲應(yīng)力,81,第四章 彎曲應(yīng)力,82,第四章 彎曲應(yīng)力,圖d為直接將圖b和圖c中兩個彎矩圖疊加后的圖形，將圖中斜直線作為彎矩圖的水平坐標(biāo)軸時，它就是圖a中的彎矩圖。,83,作剪力圖時雖然(如上所示)也可應(yīng)用疊加

24、原理，但由于梁上通常無集度變化的分布荷載，而剪力圖由直線段組成，作圖比較簡單，故往往只說按疊加原理作彎矩圖。,由圖a可見，該梁橫截面上的最大剪力為 (負(fù)值) ,最大彎矩為 (負(fù)值)，而極值彎矩 并非最大彎矩。,第四章 彎曲應(yīng)力,84,4-3 平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖,. 平面剛架,平面剛架由同一平面內(nèi)不同取向的桿件相互間剛性連接的結(jié)構(gòu)。,平面剛架桿件的內(nèi)力當(dāng)荷載作用于剛架所在平面內(nèi)時，桿件橫截面上的內(nèi)力除剪力和彎矩外，還會有軸力。,第四章 彎曲應(yīng)力,85,作剛架內(nèi)力圖的方法和步驟與梁相同，但因剛架是由不同取向的桿件組成，習(xí)慣上按下列約定： 彎矩圖，畫在各桿的受拉一側(cè)，不注明正、負(fù)號； 剪力圖及軸

25、力圖，可畫在剛架軸線的任一側(cè)（通常正值畫在剛架外側(cè)），但須注明正負(fù)號； 剪力和軸力的正負(fù)號仍與前述規(guī)定相同。,第四章 彎曲應(yīng)力,86,例題4-13 試作圖a所示剛架的內(nèi)力圖(即作出組成剛架的各桿的內(nèi)力圖)。,第四章 彎曲應(yīng)力,(a),87,各桿的內(nèi)力方程為：,解：此剛架的C點(diǎn)為自由端，故求內(nèi)力時如取包含自由端的那部分分離體作為研究對象，則可不求固定端A處的約束力。,第四章 彎曲應(yīng)力,(a),88,繪內(nèi)力圖時，軸力圖和剪力圖可畫在各桿的任一側(cè)，但需注明正負(fù)號(圖b及圖c)；彎矩圖則畫在桿件彎曲時受拉的一側(cè)(圖d)。,第四章 彎曲應(yīng)力,(a),89,作為校核可取該剛架的結(jié)點(diǎn)B為分離體，標(biāo)出結(jié)點(diǎn)處的

26、外力及內(nèi)力，考察結(jié)點(diǎn)是否滿足平衡條件。,第四章 彎曲應(yīng)力,(a),90,思考：能根據(jù)概念繪出圖示平面剛架(框架)的內(nèi)力圖嗎？,第四章 彎曲應(yīng)力,91,. 平面曲桿,平面曲桿的橫截面系指曲桿的法向截面(亦即圓弧形曲桿的徑向截面)。當(dāng)荷載作用于曲桿所在平面內(nèi)時，其橫截面上的內(nèi)力除剪力和彎矩外也會有軸力 。,第四章 彎曲應(yīng)力,92,圖a所示A端固定的半圓環(huán)在B端受集中荷載F作用時，其任意橫截面m m上的內(nèi)力有,此即內(nèi)力方程。根據(jù)內(nèi)力方程將內(nèi)力值在與q 相應(yīng)的徑向線上繪出，即可得到內(nèi)力圖，如圖b，圖c及圖d。,第四章 彎曲應(yīng)力,93,第四章 彎曲應(yīng)力,94,4-4 梁橫截面上的正應(yīng)力梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件

27、,純彎曲 (pure bending) 梁或梁上的某段內(nèi)各橫截面上無剪力而只有彎矩，橫截面上只有與彎矩對應(yīng)的正應(yīng)力。,第四章 彎曲應(yīng)力,95,橫力彎曲 (bending by transverse force) 梁的橫截面上既有彎矩又有剪力；相應(yīng)地，橫截面既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力。,第四章 彎曲應(yīng)力,96,. 純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力,計(jì)算公式的推導(dǎo),(1) 幾何方面 藉以找出與橫截面上正應(yīng)力相對應(yīng)的縱向線應(yīng)變在該橫截面范圍內(nèi)的變化規(guī)律。,表面變形情況 在豎直平面內(nèi)發(fā)生純彎曲的梁(圖a)：,第四章 彎曲應(yīng)力,(a),97,第四章 彎曲應(yīng)力,彎曲變形,98,1. 彎曲前畫在梁的側(cè)面上相鄰橫向線mm

28、和nn間的縱向直線段aa和bb(圖b)，在梁彎曲后成為弧線(圖a)，靠近梁的頂面的線段aa縮短，而靠近梁的底面的線段bb則伸長；,第四章 彎曲應(yīng)力,99,2. 相鄰橫向線mm和nn(圖b)在梁彎曲后仍為直線(圖a)，只是相對旋轉(zhuǎn)了一個角度，且與弧線aa和bb保持正交。,第四章 彎曲應(yīng)力,100,根據(jù)表面變形情況，并設(shè)想梁的側(cè)面上的橫向線mm和nn是梁的橫截面與側(cè)表面的交線，可作出如下推論(假設(shè))：,平面假設(shè) 梁在純彎曲時，其原來的橫截面仍保持為平面，只是繞垂直于彎曲平面(縱向平面)的某一軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動后的橫截面與梁彎曲后的軸線保持正交。,此假設(shè)已為彈性力學(xué)的理論分析結(jié)果所證實(shí)。,第四章 彎曲應(yīng)力

29、,101,橫截面的轉(zhuǎn)動使梁凹入一側(cè)的縱向線縮短，凸出一側(cè)的縱向線伸長，從而根據(jù)變形的連續(xù)性可知，中間必有一層縱向線只彎曲而無長度改變的中性層 (圖f)，而中性層與橫截面的交線就是梁彎曲時橫截面繞著它轉(zhuǎn)動的軸 中性軸 (neutral axis)。,第四章 彎曲應(yīng)力,（f),102,令中性層的曲率半徑為r(如圖c)，則根據(jù)曲率的定義 有,縱向線應(yīng)變在橫截面范圍內(nèi)的變化規(guī)律 圖c為由相距d x的兩橫截面取出的梁段在梁彎曲后的情況，兩個原來平行的橫截面繞中性軸相對轉(zhuǎn)動了角dq。梁的橫截面上距中性軸 z為任意距離 y 處的縱向線應(yīng)變由圖c可知為,第四章 彎曲應(yīng)力,(c),103,即梁在純彎曲時，其橫截

30、面上任一點(diǎn)處的縱向線應(yīng)變e與該點(diǎn)至中性軸的距離 y 成正比。,第四章 彎曲應(yīng)力,(c),彎曲變形,104,小變形時純彎曲情況下可假設(shè)梁的各縱向線之間無擠壓，認(rèn)為梁內(nèi)各點(diǎn)均處于單軸應(yīng)力狀態(tài)。,(2) 物理方面 藉以由縱向線應(yīng)變在橫截面范圍內(nèi)的變化規(guī)律 找出橫截面上正應(yīng)力的變化規(guī)律。,梁的材料在線彈性范圍內(nèi)工作，且拉、壓彈性模量相同時，有,這表明，直梁的橫截面上的正應(yīng)力沿垂直于中性軸的方向按直線規(guī)律變化(如圖)。,第四章 彎曲應(yīng)力,105,(3) 靜力學(xué)方面 藉以找出確定中性軸位置的條件以及橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式。,梁的橫截面上與正應(yīng)力相應(yīng)的法向內(nèi)力元素sdA(圖d )不可能組成軸力( )，也不

31、可能組成對于與中性軸垂直的y 軸(彎曲平面內(nèi)的軸)的內(nèi)力偶矩( )，只能組成對于中性軸 z 的內(nèi)力偶矩，即,第四章 彎曲應(yīng)力,(d),106,將 代入上述三個靜力學(xué)條件，有,(a),(b),(c),以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只與截面的形狀和尺寸相關(guān)的幾何量，統(tǒng)稱為截面的幾何性質(zhì)，而,第四章 彎曲應(yīng)力,107,其中,為截面對于z軸的靜矩(static moment of an area)或一次矩，其單位為m3。,為截面對于y軸和z軸的慣性積，其單位為m4。,為截面對于z軸的慣性矩(moment of inerita of an area)或二次軸矩，其單位為m4。,第四章 彎曲應(yīng)力,10

32、8,由于式(a)，(b)中的 不可能等于零，因而該兩式要求：,1. 橫截面對于中性軸 z 的靜矩等于零， ；顯然這是要求中性軸 z 通過橫截面的形心；,2. 橫截面對于 y 軸和 z 軸的慣性積等于零， ；在對稱彎曲情況下，y 軸為橫截面的對稱軸，因而這一條件自動滿足。,(a),(b),(c),第四章 彎曲應(yīng)力,109,由式(c)可知，直梁純彎曲時中性層的曲率為,上式中的EIz稱為梁的彎曲剛度。顯然，由于純彎曲時，梁的橫截面上的彎矩M 不隨截面位置變化，故知對于等截面的直梁包含在中性層內(nèi)的那根軸線將彎成圓弧。,將上式代入得出的式子 即得彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式：,(c),第四章 彎曲應(yīng)力,110,應(yīng)

33、用此式時，如果如圖中那樣取 y軸向下為正的坐標(biāo)系來定義式中 y 的正負(fù)，則在彎矩 M 按以前的規(guī)定確定其正負(fù)的情況下，所得正應(yīng)力的正負(fù)自動表示拉應(yīng)力或壓應(yīng)力。但實(shí)際應(yīng)用中往往直接根據(jù)橫截面上彎矩的轉(zhuǎn)向及求正應(yīng)力之點(diǎn)在中性軸的哪一側(cè)來判別彎曲正應(yīng)力為拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力；在此情況下可以把式中的 y 看作求應(yīng)力的點(diǎn)離中性軸 z 的距離。,第四章 彎曲應(yīng)力,111,中性軸 z 為橫截面對稱軸的梁 (圖a，b) 其橫截面上最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值相等；中性軸 z 不是橫截面對稱軸的梁 (圖c) ，其橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值不相等。,第四章 彎曲應(yīng)力,112,中性軸z為橫截面的對稱軸時，橫截面

34、上最大拉、壓應(yīng)力的值smax為,式中，Wz為截面的幾何性質(zhì)，稱為彎曲截面系數(shù)(section modulus in bending)，其單位為m3。,第四章 彎曲應(yīng)力,113,中性軸 z 不是橫截面的對稱軸時(參見圖c)，其橫截面上最大拉應(yīng)力值和最大壓應(yīng)力值為,第四章 彎曲應(yīng)力,114,簡單截面對于形心軸的慣性矩和彎曲截面系數(shù),(1) 矩形截面,第四章 彎曲應(yīng)力,115,思考: 一長邊寬度為 b，高為 h 的平行四邊形，它對于形心軸 z 的慣性矩是否也是 ？,第四章 彎曲應(yīng)力,116,(2) 圓截面,在等直圓桿扭轉(zhuǎn)問題(3-4)中已求得：,而由圖可見，2=y2+z2 , 從而知,第四章 彎曲應(yīng)

35、力,117,而彎曲截面系數(shù)為,根據(jù)對稱性可知，原截面對于形心軸z和y的慣性矩Iz和Iy是相等的，Iz= Iy，于是得,第四章 彎曲應(yīng)力,118,(3) 空心圓截面,由于空心圓截面的面積等于大圓的面積AD減去小圓(即空心部分)的面積Ad故有,式中， 。,第四章 彎曲應(yīng)力,119,根據(jù)對稱性可知：,思考： 空心圓截面對于形心軸的慣性矩就等于大圓對形心軸的慣性矩減去小圓對于形心軸的慣性矩；但空心圓截面的彎曲截面系數(shù)并不等于大圓和小圓的彎曲截面系數(shù)之差，為什么？,而空心圓截面的彎曲截面系數(shù)為,第四章 彎曲應(yīng)力,120,型鋼截面及其幾何性質(zhì)：參見型鋼表,需要注意的是，型鋼規(guī)格表中所示的x軸是我們所標(biāo)示的

36、z軸。,第四章 彎曲應(yīng)力,121,. 純彎曲理論的推廣,工程中實(shí)際的梁大多發(fā)生橫力彎曲，此時梁的橫截面由于切應(yīng)力的存在而發(fā)生翹曲(warping)。此外，橫向力還使各縱向線之間發(fā)生擠壓(bearing)。因此，對于梁在純彎曲時所作的平面假設(shè)和縱向線之間無擠壓的假設(shè)實(shí)際上都不再成立。但彈性力學(xué)的分析結(jié)果表明，受滿布荷載的矩形截面簡支梁，當(dāng)其跨長與截面高度之比 大于5時，梁的跨中橫截面上按純彎曲理論算得的最大正應(yīng)力其誤差不超過1%，故在工程應(yīng)用中就將純彎曲時的正應(yīng)力計(jì)算公式用于橫力彎曲情況，即,第四章 彎曲應(yīng)力,122,例題4-15 圖a所示簡支梁由56a號工字鋼制成，其截面簡化后的尺寸見圖b。已

37、知F=150 kN。試求危險截面上的最大正應(yīng)力smax和同一橫截面上翼緣與腹板交界處a點(diǎn)處(圖b)的正應(yīng)力sa。,第四章 彎曲應(yīng)力,123,解：在不考慮梁的自重( )的情況下，該梁的彎矩圖如圖所示，截面C為危險截面，相應(yīng)的最大彎矩值為,第四章 彎曲應(yīng)力,124,由型鋼規(guī)格表查得56a號工字鋼截面,于是有,危險截面上點(diǎn)a 處的正應(yīng)力為,第四章 彎曲應(yīng)力,125,該點(diǎn)處的正應(yīng)力sa亦可根據(jù)直梁橫截面上的正應(yīng)力在與中性軸z垂直的方向按直線變化的規(guī)律，利用已求得的該橫截面上的smax=160 MPa來計(jì)算：,第四章 彎曲應(yīng)力,126,顯然，梁的自重引起的最大正應(yīng)力僅為,而危險截面上的最大正應(yīng)力變?yōu)?遠(yuǎn)

38、小于外加荷載F 所引起的最大正應(yīng)力。,如果考慮梁的自重(q=1.041 kN/m)則危險截面未變，但相應(yīng)的最大彎矩值變?yōu)?第四章 彎曲應(yīng)力,127, .梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件,等直梁橫截面上的最大正應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩所在橫截面上距中性軸最遠(yuǎn)的邊緣處，而且在這些邊緣處，即使是橫力彎曲情況，由剪力引起的切應(yīng)力也等于零或其值很小(詳見下節(jié))，至于由橫向力引起的擠壓應(yīng)力可以忽略不計(jì)。因此可以認(rèn)為梁的危險截面上最大正應(yīng)力所在各點(diǎn)系處于單軸應(yīng)力狀態(tài)。于是可按單向應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件形式來建立梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件：,式中，s為材料的許用彎曲正應(yīng)力。,第四章 彎曲應(yīng)力,128,對于中性軸為橫截面對稱軸的梁，上述強(qiáng)度

39、條件可寫作,由拉、壓許用應(yīng)力st和sc不相等的鑄鐵等脆性材料制成的梁，為充分發(fā)揮材料的強(qiáng)度，其橫截面上的中性軸往往不是對稱軸，以盡量使梁的最大工作拉應(yīng)力st,max和最大工作壓應(yīng)力sc,max分別達(dá)到(或接近)材料的許用拉應(yīng)力st和許用壓應(yīng)力sc 。,第四章 彎曲應(yīng)力,129,(a),(b),例題4-17 圖a所示工字鋼制成的梁，其計(jì)算簡圖可取為如圖b所示的簡支梁。鋼的許用彎曲正應(yīng)力s=152 MPa 。試選擇工字鋼的號碼。,第四章 彎曲應(yīng)力,130,解：在不計(jì)梁的自重的情況下，彎矩圖如圖所示,第四章 彎曲應(yīng)力,131,強(qiáng)度條件 要求：,此值雖略小于要求的Wz但相差不到1%，故可以選用56b工

40、字鋼。,由型鋼規(guī)格表查得56b號工字鋼的Wz為,第四章 彎曲應(yīng)力,132,此時危險截面上的最大工作應(yīng)力為,其值超過許用彎曲應(yīng)力約4.6%。工程實(shí)踐中，如果最大工作應(yīng)力超過許用應(yīng)力不到5%，則通常還是允許的。,如果計(jì)入梁的自重 ，危險截面仍在跨中，相應(yīng)的最大彎矩則為,第四章 彎曲應(yīng)力,133,例題4-19 圖a所示為橫截面如圖b所示的槽形截面鑄鐵梁，該截面對于中性軸z 的慣性矩Iz=5493104 mm4。已知圖a中，b=2 m。鑄鐵的許用拉應(yīng)力st=30 MPa，許用壓應(yīng)力sc=90 MPa 。試求梁的許可荷載F。,第四章 彎曲應(yīng)力,134,解：最大負(fù)彎矩所在B截面處，若截面的上邊緣處最大拉應(yīng)

41、力st,max達(dá)到st，則下邊緣處最大壓應(yīng)力sc,max為 根據(jù) 可知此sc,max并未達(dá)到許用壓應(yīng)力sc，也就是說，就B截面而言，梁的強(qiáng)度由最大拉應(yīng)力控制。,第四章 彎曲應(yīng)力,135,最大正彎矩在C截面處，若截面的下邊緣處最大拉應(yīng)力st,max達(dá)到st，則上邊緣處的最大壓應(yīng)力sc,max為 ，它遠(yuǎn)小于sc故就C截面而言，梁的強(qiáng)度也由最大拉應(yīng)力控制。,第四章 彎曲應(yīng)力,136,由以上分析可知，該梁的強(qiáng)度條件系受最大拉應(yīng)力控制。至于究竟是B截面上還是C 截面上的最大拉應(yīng)力控制了梁的強(qiáng)度，可進(jìn)一步分析如下：,顯然，B截面上的最大拉應(yīng)力控制了梁的強(qiáng)度。,B截面：,C截面：,第四章 彎曲應(yīng)力,137,

42、當(dāng)然，這個許可荷載是在未考慮梁的自重的情況下得出的，但即使考慮自重，許可荷載也不會減少很多。,于是由B截面上最大拉應(yīng)力不得超過鑄鐵的許用拉應(yīng)力st的條件來求該梁的許可荷載F：,由此得F19200 N，亦即該梁的許可荷載為F=19.2 kN。,第四章 彎曲應(yīng)力,138,4-5 梁橫截面上的切應(yīng)力梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件,. 梁橫截面上的切應(yīng)力,(1) 矩形截面梁,從發(fā)生橫力彎曲的梁中取出長為dx的微段，如圖所示。,第四章 彎曲應(yīng)力,139,由于mm和nn上的彎矩不相等，故兩截面上對應(yīng)點(diǎn)處的彎曲正應(yīng)力s1和s2不相等。因此，從微段中用距離中性層為y且平行于它的縱截面AA1B1B假想地截出的體積元素mB1

43、(圖a及圖b)，其兩個端面mmA1A上與正應(yīng)力對應(yīng)的法向內(nèi)力F*N1和F*N1也不相等。,第四章 彎曲應(yīng)力,140,它們分別為,第四章 彎曲應(yīng)力,式中， 為面積A*(圖b)對中性軸z的靜矩； A*為橫截面上距中性軸z為y的橫線AA1和BB1以外部分的面積(圖b中的陰影線部分)。,141,即,由于 ，故縱截面AA1B1B上有切向內(nèi)力dFS(圖b)：,第四章 彎曲應(yīng)力,142,為確定離中性軸z為y的這個縱截面上與切向內(nèi)力dFS對應(yīng)的切應(yīng)力t，先分析橫截面與該縱截面的交線AA1處橫截面上切應(yīng)力t 的情況：,第四章 彎曲應(yīng)力,143,1. 由于梁的側(cè)面為自由表面(圖a和圖b中的面mABn為梁的側(cè)表面的

44、一部分)，其上無切應(yīng)力，故根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，橫截面上側(cè)邊處的切應(yīng)力必與側(cè)邊平行；,2. 對稱彎曲時，對稱軸y處的切應(yīng)力必沿y軸方向，亦即與側(cè)邊平行。,第四章 彎曲應(yīng)力,144,從而對于狹長矩形截面可以假設(shè)：,1. 橫截面上各點(diǎn)處的切應(yīng)力均與側(cè)邊平行；,2. 橫截面上距中性軸等遠(yuǎn)處的切應(yīng)力大小相等。,第四章 彎曲應(yīng)力,145,于是根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，距中性層為y的縱截面AA1B1B上在與橫截面的交線AA1處各點(diǎn)的切應(yīng)力t 均與橫截面正交，且大小相等。至于t 在dx長度內(nèi)可以認(rèn)為沒有變化。這也就是認(rèn)為，縱截面AA1B1B上的切應(yīng)力t 在該縱截面范圍內(nèi)是沒有變化的。于是有,第四章 彎曲應(yīng)力

45、,146,以上式代入前已得出的式子,得,根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，梁的橫截面上距中性軸z的距離為y處的切應(yīng)力t 必與t 互等，從而亦有,第四章 彎曲應(yīng)力,147,矩形截面梁橫力彎曲時切應(yīng)力計(jì)算公式,式中，F(xiàn)S為橫截面上的剪力；Iz 為整個橫截面對于中性軸的慣性矩；b為矩形截面的寬度(與剪力FS垂直的截面尺寸)；Sz*為橫截面上求切應(yīng)力t 的點(diǎn)處橫線以外部分面積對中性軸的靜矩， 。,第四章 彎曲應(yīng)力,上式就是矩形截面等直梁在對稱彎曲時橫截面上任一點(diǎn)處切應(yīng)力的計(jì)算公式。,148,橫截面上切應(yīng)力的變化規(guī)律,前已講到，等直的矩形截面梁橫力彎曲時，在對稱彎曲情況下距中性軸等遠(yuǎn)處各點(diǎn)處的切應(yīng)力大小相等。現(xiàn)在

46、分析橫截面上切應(yīng)力t 在與中性軸垂直方向的變化規(guī)律。,上述切應(yīng)力計(jì)算公式中，F(xiàn)S在一定的橫截面上為一定的量，Iz和b也是一定的，可見t 沿截面高度(即隨坐標(biāo)y)的變化情況系由部分面積的靜矩Sz*與坐標(biāo)y之間的關(guān)系確定。,第四章 彎曲應(yīng)力,149,第四章 彎曲應(yīng)力,150,可見：,1. t 沿截面高度系按二次拋物線規(guī)律變化； 2. 同一橫截面上的最大切應(yīng)力tmax在中性軸處(y=0):,第四章 彎曲應(yīng)力,151,例題 某空心矩形截面梁，分別按圖a及圖b兩種方式由四塊木板膠合而成。試求在橫力彎曲時每一膠合方式下膠合縫上的切應(yīng)力。梁的橫截面上剪力FS已知。,第四章 彎曲應(yīng)力,152,解：圖a所示膠合

47、方式下，由圖可知：,第四章 彎曲應(yīng)力,153,圖b所示膠合方式下，由圖可知：,第四章 彎曲應(yīng)力,154,(2) 工字形截面梁,1. 腹板上的切應(yīng)力,其中,第四章 彎曲應(yīng)力,155,可見腹板上的切應(yīng)力在與中性軸z垂直的方向按二次拋物線規(guī)律變化。,第四章 彎曲應(yīng)力,156,2. 在腹板與翼緣交界處：,在中性軸處：,對于軋制的工字鋼，上式中的 就是型鋼表中給出的比值 ，此值已把工字鋼截面的翼緣厚度變化和圓角等考慮在內(nèi)。,第四章 彎曲應(yīng)力,157,3. 翼緣上的切應(yīng)力,翼緣橫截面上平行于剪力FS的切應(yīng)力在其上、下邊緣處為零(因?yàn)橐砭壍纳稀⑾卤砻鏌o切應(yīng)力)，可見翼緣橫截面上其它各處平行于FS的切應(yīng)力不可

48、能大，故不予考慮。分析表明，工字形截面梁的腹板承擔(dān)了整個橫截面上剪力FS的90%以上。,第四章 彎曲應(yīng)力,158,但是，如果從長為dx的梁段中用鉛垂的縱截面在翼緣上截取如圖所示包含翼緣自由邊在內(nèi)的分離體就會發(fā)現(xiàn)，由于橫力彎曲情況下梁的相鄰橫截面上的彎矩不相等，故所示分離體前后兩個同樣大小的部分橫截面上彎曲正應(yīng)力構(gòu)成的合力 和 不相等，因而鉛垂的縱截面上必有由切應(yīng)力t1構(gòu)成的合力。,第四章 彎曲應(yīng)力,159,根據(jù) 可得出,從而由切應(yīng)力互等定理可知，翼緣橫截面上距自由邊為h處有平行于翼緣橫截面邊長的切應(yīng)力t1，而且它是隨h按線性規(guī)律變化的。,第四章 彎曲應(yīng)力,160,思考題: 試通過分析說明，圖a

49、中所示上、下翼緣左半部分和右半部分橫截面上與腹板橫截面上的切應(yīng)力指向是正確的，即它們構(gòu)成了“切應(yīng)力流”。,第四章 彎曲應(yīng)力,161,例題4-20 對于由56a號工字鋼制成的如圖a所示簡支梁，試求梁的橫截面上的最大切應(yīng)力tmax和同一橫截面上腹板上a點(diǎn)處(圖b)的切應(yīng)力t a 。梁的自重不計(jì)。,第四章 彎曲應(yīng)力,162,圖d為該梁的剪力圖，最大剪力為FS,max，存在于除兩個端截面A，B和集中荷載F 的作用點(diǎn)處C 以外的所有橫截面上。,(d),第四章 彎曲應(yīng)力,解：由型鋼表查得56a號工字鋼截面的尺寸如圖b所示，且根據(jù)型鋼表有Ix=65 586 cm4和 。前者就是前面一些公式中Iz，而后者就是

50、我們以前在求tmax公式所 。,163,第四章 彎曲應(yīng)力,(d),164,其中：,于是有：,165,腹板上切應(yīng)力沿高度的變化規(guī)律如圖所示。,第四章 彎曲應(yīng)力,tmax,166,(3) 薄壁環(huán)形截面梁,薄壁環(huán)形截面梁在豎直平面內(nèi)彎曲時，其橫截面上切應(yīng)力的特征如圖a所示： 1. 由于d r0，故認(rèn)為切應(yīng)力t 的大小和方向沿壁厚d 無變化； 2. 由于梁的內(nèi)、外壁上無切應(yīng)力，故根據(jù)切應(yīng)力互等定理知，橫截面上切應(yīng)力的方向與圓周相切；,第四章 彎曲應(yīng)力,(a),167,3. 根據(jù)與y軸的對稱關(guān)系可知： (a) 橫截面上與y軸相交的各點(diǎn)處切應(yīng)力為零； (b) y軸兩側(cè)各點(diǎn)處的切應(yīng)力其大小及指向均與y軸對稱

51、。,第四章 彎曲應(yīng)力,168,薄壁環(huán)形截面梁橫截面上的最大切應(yīng)力tmax在中性軸z上，半個環(huán)形截面的面積A*=pr0d，其形心離中性軸的距離(圖b)為 ，故求tmax時有,第四章 彎曲應(yīng)力,169,及,得出：,整個環(huán)形截面對于中性軸z的慣性矩Iz可利用整個截面對于圓心O的極慣性矩得到，如下：,第四章 彎曲應(yīng)力,170,從而有,式中， A=2pr0d為整個環(huán)形截面的面積。,第四章 彎曲應(yīng)力,171,(4) 圓截面梁,圓截面梁在豎直平面內(nèi)彎曲時，其橫截面上切應(yīng)力的特征如圖a所示：認(rèn)為離中性軸z為任意距離y的水平直線kk上各點(diǎn)處的切應(yīng)力均匯交于k點(diǎn)和k點(diǎn)處切線的交點(diǎn)O ，且這些切應(yīng)力沿y方向的分量t

52、y相等。,第四章 彎曲應(yīng)力,(a),因此可先利用公式 求出kk上各點(diǎn)的切應(yīng)力豎向分量ty ，然后求出各點(diǎn)處各自的切應(yīng)力。,172,圓截面梁橫截面上的最大切應(yīng)力tmax在中性軸z處，其計(jì)算公式為,第四章 彎曲應(yīng)力,173,. 梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件,圖a所示受滿布均布荷載的簡支梁，其最大彎矩所在跨中截面上、下邊緣上的C點(diǎn)和D點(diǎn)處于單軸應(yīng)力狀態(tài)(state of uniaxial stress) (圖d及圖e)，故根據(jù)這些點(diǎn)對該梁進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算時其強(qiáng)度條件就是按單軸應(yīng)力狀態(tài)建立的正應(yīng)力強(qiáng)度條件,第四章 彎曲應(yīng)力,174,該梁最大剪力所在兩個支座截面的中性軸上E和F點(diǎn)，通常略去約束力產(chǎn)生的擠壓應(yīng)力而認(rèn)為其

53、處于純剪切應(yīng)力狀態(tài) (shearing state of stress ) (圖f及圖g)，從而其切應(yīng)力強(qiáng)度條件是按純剪切應(yīng)力狀態(tài)建立的，即梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件為,亦即,式中，t 為材料在橫力彎曲時的許用切應(yīng)力。,第四章 彎曲應(yīng)力,175,梁在荷載作用下，必須同時滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件和切應(yīng)力強(qiáng)度條件。在選擇梁的截面尺寸時，通常先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件定出截面尺寸，再按切應(yīng)力強(qiáng)度條件校核。,第四章 彎曲應(yīng)力,176,圖a所示梁，其既有剪力又有彎矩的橫截面m-m上任意點(diǎn)G和H處于如圖h及圖i所示的平面應(yīng)力狀態(tài)(state of plane stress)。,第四章 彎曲應(yīng)力,177,需要指出，對于工字鋼梁如

54、果同一橫截面上的彎矩和剪力都是最大的(圖a,b,c)(或分別接近各自的最大值) 則該截面上腹板與翼緣交界點(diǎn)處由于正應(yīng)力和切應(yīng)力均相當(dāng)大 (圖d)，因此處于平面應(yīng)力狀態(tài)(圖e)。這樣的點(diǎn)必須進(jìn)行強(qiáng)度校核。,第四章 彎曲應(yīng)力,178,但要注意，這時不能分別按正應(yīng)力和切應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)度校核，而必須考慮兩種應(yīng)力的共同作用，見第七章中例題7-7。,179,此外，在最大彎矩所在橫截面上還有剪力的情況，工字鋼翼緣上存在平行于翼緣橫截面邊長的切應(yīng)力，因此最大彎曲正應(yīng)力所在點(diǎn)處也還有切應(yīng)力，這些點(diǎn)事實(shí)上處于平面應(yīng)力狀態(tài)，只是在工程計(jì)算中對于它們通常仍應(yīng)用按單軸應(yīng)力狀態(tài)建立的強(qiáng)度條件。,第四章 彎曲應(yīng)力,180,例題

55、4-22 一簡易吊車的示意圖如圖a所示，起重量P=30 kN，跨長 l=5 m。吊車大梁由20a號工字鋼制成，許用彎曲正應(yīng)力s=170 MPa，許用切應(yīng)力t=100 MPa。試校核梁的強(qiáng)度。,第四章 彎曲應(yīng)力,P,181,解：吊車梁可簡化為簡支梁(圖b)。,第四章 彎曲應(yīng)力,(c),校核正應(yīng)力強(qiáng)度 荷載移至跨中處(圖b)時梁的橫截面上的最大彎矩比荷載在任何其它位置都要大。荷載在此最不利荷載位置時的彎矩圖如圖c所示，,182,由型鋼規(guī)格表查得20a號工字鋼的彎曲截面系數(shù)為 。荷載在對應(yīng)于彎矩的最不利荷載位置時的最大彎曲正應(yīng)力為,其值小于許用彎曲正應(yīng)力s=170 MPa。,第四章 彎曲應(yīng)力,(c)

56、,183,如果把吊車梁的自重 考慮在內(nèi)，則,而smax=162 MPa，即仍滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件。,第四章 彎曲應(yīng)力,184,校核切應(yīng)力強(qiáng)度。 荷載移至緊靠支座A處(如圖)時梁的橫截面上的最大剪力比荷載在任何其它位置時都要大。此時的約束力FAP，相應(yīng)的剪力圖如圖。,第四章 彎曲應(yīng)力,P,對于20a號鋼，由型鋼規(guī)格表查得：,185,于是有,其值小于許用切應(yīng)力t=100 MPa。,第四章 彎曲應(yīng)力,P,186,如果把吊車梁的自重考慮在內(nèi)，則,以上強(qiáng)度校核中未計(jì)及荷載在跨中C處時，跨中偏左和偏右截面上同時存在最大彎矩和最大剪力而需對工字鋼腹板與翼緣交界處進(jìn)行的計(jì)算。,從而tmax=25.5 MPa，仍

57、滿足切應(yīng)力強(qiáng)度條件。,第四章 彎曲應(yīng)力,187,4-6 梁的合理設(shè)計(jì),. 合理配置梁的荷載和支座,第四章 彎曲應(yīng)力,188,第四章 彎曲應(yīng)力,189,. 合理選取截面形狀,(1) 盡可能使橫截面上的面積分布在距中性軸較遠(yuǎn)處，以使彎曲截面系數(shù)Wz增大。,由四根100 mm80 mm10 mm不等邊角鋼按四種不同方式焊成的梁(角鋼的長肢均平放，故四種截面的高度均為160 mm)，他們在豎直平面內(nèi)彎曲時橫截面對于中性軸的慣性矩Iz和彎曲截面系數(shù)Wz如下：,第四章 彎曲應(yīng)力,190,圖a所示截面,圖b所示截面,圖c所示截面,圖d所示截面,第四章 彎曲應(yīng)力,191,(2) 對于由拉伸和壓縮許用應(yīng)力值相等的材料 (例如建筑用鋼) 制成的梁，其橫截面應(yīng)以中性軸為對稱軸。對于在壓縮強(qiáng)度遠(yuǎn)高于拉伸強(qiáng)度的材料(例如鑄鐵)制成的梁，宜采用T形等對中性軸不對稱的截面，并將其翼緣置于受拉一