1、7.2一元二次不等式及其解法,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),課時(shí)作業(yè),題型分類(lèi)深度剖析,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),1.“三個(gè)二次”的關(guān)系,知識(shí)梳理,x|xx2,x|xR,x|x1 xx2,(xa)(xb)0或(xa)(xb)0型不等式的解法,2.常用結(jié)論,x|xa,x|xa,x|axb,口訣：大于取兩邊，小于取中間.,(1) 0(0(0). (2) 0(0)f(x)g(x)0(0)且g(x)0. 以上兩式的核心要義是將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式.,判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”) (1)若不等式ax2bxc0.() (2)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，則方程ax2bx

2、c0的兩個(gè)根是x1和x2.() (3)若方程ax2bxc0(a0)沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2bxc0的解集為R.(),(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的條件是a0且b24ac0.() (5)若二次函數(shù)yax2bxc的圖象開(kāi)口向下，則不等式ax2bxc0的解集一定不是空集.(),1.(教材改編)不等式x23x100的解集是 A.(2,5) B.(5，) C.(，2) D.(，2)(5，),考點(diǎn)自測(cè),答案,解析,2.設(shè)集合Mx|x23x40，Nx|0 x5，則MN等于 A.(0,4 B.0,4) C.1,0) D.(1,0,答案,解析,3.(教材改編)ylog2(3x22x2)的定義域是 _

3、.,答案,解析,4.(教材改編)若關(guān)于x的不等式ax2bx20的解集是 ，則ab_.,答案,解析,14,5.不等式x2ax40的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.,答案,解析,(，44，),題型分類(lèi)深度剖析,題型一一元二次不等式的求解,例1求不等式2x2x30的解集.,解答,命題點(diǎn)1不含參的不等式,例2解關(guān)于x的不等式：x2(a1)xa0.,解答,命題點(diǎn)2含參不等式,引申探究,將原不等式改為ax2(a1)x10，求不等式的解集.,解答,若a0，原不等式等價(jià)于x11.,當(dāng)a0時(shí)，解集為x|x1；,當(dāng)a1時(shí)，解集為；,思維升華,含有參數(shù)的不等式的求解，往往需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論. (1)若二次

4、項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，首先確定二次項(xiàng)系數(shù)是否為正數(shù)，再考慮分解因式，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，若不易分解因式，則可依據(jù)判別式符號(hào)進(jìn)行分類(lèi)討論； (2)若二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，確定不等式是不是二次不等式，然后再討論二次項(xiàng)系數(shù)不為零的情形，以便確定解集的形式； (3)對(duì)方程的根進(jìn)行討論，比較大小，以便寫(xiě)出解集.,跟蹤訓(xùn)練1解下列不等式： (1)0x2x24；,解答,(2)求不等式12x2axa2(aR)的解集.,解答,題型二一元二次不等式恒成立問(wèn)題,命題點(diǎn)1在R上的恒成立問(wèn)題,例3(1)若一元二次不等式2kx2kx 0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則k的取值范圍為 A.(3,0 B.3,0) C

5、.3,0 D.(3,0),答案,解析,k0，,(2)設(shè)a為常數(shù)，對(duì)于xR，ax2ax10，則a的取值范圍是 A.(0,4) B.0,4) C.(0，) D.(，4),答案,解析,命題點(diǎn)2在給定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題,例4設(shè)函數(shù)f(x)mx2mx1.若對(duì)于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范圍.,解答,要使f(x)m5在x1,3上恒成立，,有以下兩種方法：,當(dāng)m0時(shí)，g(x)在1,3上是增函數(shù)， 所以g(x)maxg(3)7m60，,當(dāng)m0時(shí)，60恒成立；,當(dāng)m0時(shí)，g(x)在1,3上是減函數(shù)， 所以g(x)maxg(1)m60，所以m6，所以m0.,命題點(diǎn)3給定參數(shù)范圍的恒成立問(wèn)題,例5對(duì)任

6、意m1,1，函數(shù)f(x)x2(m4)x42m的值恒大于零，求x的取值范圍.,解答,由f(x)x2(m4)x42m (x2)mx24x4， 令g(m)(x2)mx24x4. 由題意知在1,1上，g(m)的值恒大于零，,解得x3. 故當(dāng)x的取值范圍為(，1)(3，)時(shí)，對(duì)任意的m1,1，函數(shù)f(x)的值恒大于零.,思維升華,(1)對(duì)于一元二次不等式恒成立問(wèn)題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.另外常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值. (2)解決恒成立問(wèn)題一定要搞清誰(shuí)是主元，誰(shuí)是參數(shù)，一般地，知道誰(shuí)的

7、范圍，誰(shuí)就是主元，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù).,跟蹤訓(xùn)練2(1)已知函數(shù)f(x)x2mx1，若對(duì)于任意xm，m1， 都有f(x)0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.,答案,解析,(2)已知不等式mx22xm10，是否存在實(shí)數(shù)m對(duì)所有的實(shí)數(shù)x，使不等式恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.,解答,題型三一元二次不等式的應(yīng)用,例6某商品每件成本價(jià)為80元，售價(jià)為100元，每天售出100件.若售價(jià)降低x成(1成10%)，售出商品數(shù)量就增加 x成.要求售價(jià)不能低于成本價(jià). (1)設(shè)該商店一天的營(yíng)業(yè)額為y，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)，并寫(xiě)出定義域；,解析,(2)若再要求該商品一天營(yíng)業(yè)

8、額至少為10 260元，求x的取值范圍.,解答,思維升華,求解不等式應(yīng)用題的四個(gè)步驟 (1)閱讀理解，認(rèn)真審題，把握問(wèn)題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系. (2)引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，將文字信息轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，用不等式表示不等關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型. (3)解不等式，得出數(shù)學(xué)結(jié)論，要注意數(shù)學(xué)模型中自變量的實(shí)際意義. (4)回歸實(shí)際問(wèn)題，將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題的結(jié)果.,跟蹤訓(xùn)練3甲廠以x千克/小時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1x10)，每小時(shí)可獲得的利潤(rùn)是100(5x1 )元. (1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于3 000元，求x的取值范圍；,解答,即5x214x30， 又1x10，可解得3

9、x10. 即要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于3 000元，x的取值范圍是3,10.,(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)最大，問(wèn)：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求最大利潤(rùn).,解答,典例(1)已知函數(shù)f(x)x2axb(a，bR)的值域?yàn)?，)，若關(guān)于x的不等式f(x)0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.,轉(zhuǎn)化與化歸思想在不等式中的應(yīng)用,思想與方法系列14,函數(shù)的值域和不等式的解集轉(zhuǎn)化為a，b滿足的條件；不等式恒成立可以分離常數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問(wèn)題.,9,a|a3,答案,解析,思想方法指導(dǎo),(1)由題意知 f(x)x2axb,f(x)的值域?yàn)?，)，,即x22xa0恒成立. 即當(dāng)x1時(shí)，a(

10、x22x)g(x)恒成立. 而g(x)(x22x)(x1)21在1，)上單調(diào)遞減， g(x)maxg(1)3，故a3. 實(shí)數(shù)a的取值范圍是a|a3.,課時(shí)作業(yè),A.x|1x2 B.x|x1或x2 C.x|12,1.不等式(x1)(2x)0的解集為,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,A.(，1)(3，) B.(1,3) C.(，2)(2，) D.(1,2)(2,3),答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.若集合Ax|ax2ax10，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 A.a|

11、0a4 B.a|0a4 C.a|0a4 D.a|0a4,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,A.(3,1)(3，) B.(3,1)(2，) C.(1,1)(3，) D.(，3)(1,3),答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.已知不等式x22x30的解集為A，不等式x2x60的解集為B，不等式x2axb0的解集為AB，那么ab等于 A.3 B.1 C.1 D.3,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.若關(guān)于x的不等式x22ax8a20)的解集為(x1，x2)，且x2x115，則a等于

12、,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解得a6，b5，不等式x2bxa0即為x25x60，解集為(2,3).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*8.已知函數(shù)f(x)x2axb2b1(aR，bR)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(1x)f(1x)成立，當(dāng)x1,1時(shí)，f(x)0恒成立，則b的取值范圍是 A.12 C.b2 D.不能確定,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由f(1x)f(1x)知f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x1，,由f(x)的

13、圖象可知f(x)在1,1上為增函數(shù). x1,1時(shí)，f(x)minf(1)12b2b1b2b2， 令b2b20，解得b2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.若不等式2x22axa1有唯一解，則a的值為_(kāi).,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.設(shè)f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，若f(1)1，f(2) ， 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*11.已知f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x24x，那么，不等式f(x2)5的解集是_.,答案,解析,x|7x3,令x0，x0時(shí)，f(x)x24x，f(x)(x)24(x)x24x，又f(x)為偶函數(shù)，f(x)f(x)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,得5x0，即f(x)5的解集為(5,5). 由于f(x)向左平移兩個(gè)單位即得f(x2)， 故f(x2)5的解集為x|7x3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.設(shè)二次函數(shù)f(x)ax2bxc，函數(shù)F(x)f(x)x的