1、2016-2017學(xué)年度上學(xué)期期末考試備考黃金講練,第三講 直線與方程,一、學(xué)習(xí)目標(biāo),1.掌握直線的傾斜角的概念、斜率公式； 掌握直線的方程的幾種形式及其相互轉(zhuǎn)化，以及直線方程知識(shí)的靈活運(yùn)用； 掌握兩直線位置關(guān)系的判定，點(diǎn)到直線的距離公式及其公式的運(yùn)用； 2.充分理解解析思想（坐標(biāo)法），加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)和應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)； 3.積極主動(dòng)，認(rèn)真研究，以極大的熱情投入學(xué)習(xí)中去。,二、知識(shí)梳理,（1）直線的傾斜角 定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是 . （2）直線的斜率 定義：傾斜角不是90

2、的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即 。斜率反映直線與軸的傾斜程度。,0180,當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ； 當(dāng) 時(shí)， 。 過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式： 注意下面四點(diǎn)： (1)當(dāng) 時(shí)，公式右邊無(wú)意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90； (2)k與P1、P2的順序無(wú)關(guān)； (3)以后求斜率可不通過(guò)傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得； (4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。,不存在,（3）直線方程 點(diǎn)斜式： ，直線斜率k，且過(guò)點(diǎn) 注意：當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，k=0，直線的方程是y=y1。當(dāng)直線的斜率為90時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示但因 上每一點(diǎn)

3、的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1。 斜截式： ，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b,兩點(diǎn)式： （ ） 截矩式： 其中直線 與 軸交于點(diǎn) ,與軸交于點(diǎn) 。 一般式 ： （A，B不全為0） 注意：各式的適用范圍；特殊的方程，如： 平行于x軸的直線： （b為常數(shù)）； 平行于y軸的直線： （a為常數(shù)）；,（5）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線 平行直線系 平行于已知直線 （ 是不全 為0的常數(shù)）的直線系： （C為常數(shù)） 過(guò)定點(diǎn)的直線系 （）斜率為k的直線系 ： ，直線過(guò)定點(diǎn) ； （）過(guò)兩條直線 ， 的交點(diǎn)的直線系方程為 （ 為參數(shù)），其中直線 不在直線系中。,（6）兩直線平行與垂直 當(dāng)

4、 ， 時(shí)， ； 注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否。 （7）兩條直線的交點(diǎn) ， 相交 交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組 的一組解。,方程組無(wú)解 ；方程組有無(wú)數(shù)解 重合 （8）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè) 是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，則 （9）點(diǎn)到直線距離公式： （10）兩平行直線距離公式 在任一直線上任取一點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解。,三、典型例題,例1.過(guò)點(diǎn)A(5，4)作一直線 ，使它與兩坐標(biāo)軸相交且與兩軸所圍成的三角形的面積為5，求直線 的方程,【解析】由題意知，直線 的斜率存在 設(shè)直線為y4k(x5)，交x軸于點(diǎn) ，交y軸于點(diǎn) (0,5k4) ， ，解得 所以所求直線l的方程為2x

5、5y100，或8x5y200. 【方法規(guī)律】求直線的方程，可先設(shè)方程，然后根據(jù)條件求系數(shù)。,變式練習(xí)1過(guò)點(diǎn)P(1,0)，Q(0,2)分別作兩條互相平行的直線，使它們?cè)趚軸上截距之差的絕對(duì)值為1，求這兩條直線的方程,【解析】(1)當(dāng)兩條直線的斜率不存在時(shí)，兩條直線的方程分別為x1，x0，它們?cè)趚軸上截距之差的絕對(duì)值為1，滿足題意； (2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k， 則兩條直線的方程分別為yk(x1)，ykx2.,令y0，分別得x1，x2/k. 由題意得 ，即k1. 則直線的方程為yx1，yx2， 即xy10，xy20. 綜上可知，所求的直線方程為x1，x0，或xy10，xy20.,【答案

6、】x1，x0，或xy10，xy20.,例2.已知直線l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，求m的值，使得：(1)l1l2；(2)l1l2.,【解析】法一:當(dāng)m0或2時(shí)，兩直線既不平行，也不垂直；當(dāng)m0且m2時(shí)，直線l1，l2的斜率分為： . (1)若l1l2，則 ，解得 . (2)若l1l2，則由 ，得m1或m3. 又當(dāng)m3時(shí)，l1與l2重合，故m3舍去 故l1l2時(shí)，m1.,法二(1)l1l2，m23m0， . (2)l1l2，3m(m2)0且2m6(m2)，故m1.,【方法規(guī)律】已知兩直線的方程中都含有參數(shù)，求不同的位置關(guān)系時(shí)參數(shù)的取值，可以利用平行(或垂直)的條件列方程求解,變式

7、練習(xí)2已知點(diǎn)A(2,2)和直線l：3x4y200. (1)求過(guò)點(diǎn)A，且和直線l平行的直線方程； (2)求過(guò)點(diǎn)A，且和直線l垂直的直線方程,【答案】(1)3x4y140 (2)4x3y20 【解析】(1)因?yàn)樗笾本€與l：3x4y200平行，所以設(shè)所求直線方程為3x4ym0. 又因?yàn)樗笾本€過(guò)點(diǎn)A(2,2)， 所以3242m0，所以m14，,所以所求直線方程為3x4y140. (2)因?yàn)樗笾本€與直線l：3x4y200垂直，所以設(shè)所求直線方程為4x3yn0. 又因?yàn)樗笾本€過(guò)點(diǎn)A(2,2)， 所以4232n0，所以n2， 所以所求直線方程為4x3y20.,例3.一條光線經(jīng)過(guò)P(2,3)點(diǎn)，射在直

8、線l：xy10上，反射后穿過(guò)點(diǎn)Q(1,1) (1)求入射光線的方程； (2)求這條光線從P 到Q 的長(zhǎng)度.,【解析】(1)設(shè)點(diǎn)Q(x，y)為Q關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)且QQ交l于M點(diǎn) kl1，kQQ1. QQ所在直線方程為y11(x1)， 即xy0. 由 解得l與QQ的交點(diǎn)M的坐標(biāo) .,又M為QQ的中點(diǎn)， 由此得 ，解之得 Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，2) 設(shè)入射光線與l的交點(diǎn)為N，則P、N、Q共線 又P(2,3)，Q(2，2)，得入射光線方程為 ，即5x4y20.,(2)l是QQ的垂直平分線，從而|NQ|NQ|，|PN|NQ|PN|NQ|PQ| . 即這條光線從P到Q的長(zhǎng)度是 .,【方法規(guī)律】利用入射線與反

9、射線的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱問(wèn)題，即求Q點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn),變式練習(xí)3求直線l1：2xy40關(guān)于直線l：3x4y10的對(duì)稱直線l2的方程.,【答案】2x11y160. 【解析】解方程組 ，得 所以直線l1與l相交，且交點(diǎn)為E(3，2)，E也在直線l2上，在直線l1：2xy40上取點(diǎn)A(2,0)，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為B(x0，y0)，,于是有 ，解得 ， 即 . 故由兩點(diǎn)式得直線l2的方程為 2x11y160.,例4.點(diǎn)P(2，1)到直線l：(13)x(1)y250的距離為d，求d的最大值,【解析】直線l的方程可化為xy2(3xy5)0， 由 ，解得 ， 直線l過(guò)定點(diǎn) . 如圖，

10、d|PA|； 當(dāng)PAl時(shí)，d取最大值|PA|. ，d的最大值為 .,變式練習(xí)4直線l1過(guò)點(diǎn)P(1,2)，斜率為 ，把l1繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30得直線l2，求直線l1和l2的方程,【解析】設(shè)直線l1的斜率為k，傾斜角為. 由題意，知直線l1的方程是 ， 即x3y60. k1tan 1，l1的傾斜角1150. 如圖，l1繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30，得到直線l2的傾斜角215030120， 直線l2的斜率k2tan 120， l2的方程為 ，即 .,四、課堂練習(xí),2.已知點(diǎn)A(0,2)，B(2,0)若點(diǎn)C在函數(shù)yx2的圖象上，則使得ABC的面積為2的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為() A4 B3 C2 D1,五、課后練習(xí),【答案】C 【解析】當(dāng)a0時(shí)，A，B，C，D均不成立； 當(dāng)a0時(shí)，只有C成立,4.直線過(guò)點(diǎn) (3,2)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則