1、第十二章,動量矩定理,120 引言,均質(zhì)輪受外力作用而繞其質(zhì)心O作定軸轉(zhuǎn)動，它有角速度和角加速度，但對于輪的動量為：,外力的矢量和為：,這個問題不能用動量定理來描述輪繞其質(zhì)心作定軸轉(zhuǎn)動是的運動。,121 動量矩,一、質(zhì)點的動量矩,動量矩：動量對某點（軸）之矩。,1、質(zhì)點對某點之矩：質(zhì)點在某瞬時的動量對O點之矩定義為質(zhì)點在某瞬時對點O的動量矩。,質(zhì)點A對點O的動量矩：,質(zhì)點A對Z軸的動量矩：,方向： 是代數(shù)量，它的正負(fù)可以通過右手定則判斷；即：手心握轉(zhuǎn)動軸（坐標(biāo)軸），四指的指向為質(zhì)點動量的方向，大拇指指向為該動量矩的方向，若方向與坐標(biāo)軸正向相同為正、相反為負(fù)。 或：從坐標(biāo)軸正向看去，逆時針為正、

2、順時針為負(fù)。,單位：,大?。?二、質(zhì)點系動量矩,1、對點的動量矩：,2、對軸的動量矩（即上式在各軸上的投影）：,3、剛體的動量矩,（1）平移剛體：剛體上任意點的速度均與其質(zhì)心速度相同。故可將其看作為質(zhì)量集中與質(zhì)心的一個質(zhì)點。,對點的：,對軸的：,（2）定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)動軸的動量矩：,定軸轉(zhuǎn)動剛體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量,（3）平面運動剛體的動量矩,平面運動剛體對垂直與其質(zhì)量對稱平面內(nèi)任一固定軸的動量矩為：,即：其對z軸的動量矩等于剛體隨質(zhì)心作平移時的動量對該軸的動量矩，與其繞過質(zhì)心的軸作定軸轉(zhuǎn)動時對該軸的動量矩之和。,122 動量矩定理,一、質(zhì)點的動量矩定理,設(shè)有質(zhì)點A，受外力作用，由牛頓第二定律：,

3、且,在等式兩邊同時叉乘矢徑,其中：,質(zhì)點對點的動量矩定理,即：質(zhì)點對任一點的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)等于作用在質(zhì)點上的力對該點之矩。,上式向坐標(biāo)軸投影后得：,即：質(zhì)點對固定軸的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)等于作用在質(zhì)點上的力對該軸之矩。,質(zhì)點對軸的動量矩定理,二、質(zhì)點系的動量矩定理,質(zhì)點系中某質(zhì)點對固定點的動量矩定理為：,質(zhì)點系對固定點的動量矩定理為：,其中：,質(zhì)點系對固定點的動量矩定理,即：質(zhì)點系對某固定點的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于質(zhì)點系的外力對該點之矩的矢量和。,上式向軸投影后的：,質(zhì)點系對固定軸的動量矩定理,即：質(zhì)點系對某固定軸的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于質(zhì)點系的外力對該軸之矩的矢量和。,三、動量矩守恒定

4、理,若： 則 （常矢量）,若： 則 （常量）,123 剛體的轉(zhuǎn)動慣量,剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量：剛體內(nèi)各質(zhì)點質(zhì)量與各質(zhì)點到軸的矢徑大小平方的乘積之和。,單位：,一、簡單形狀剛體的轉(zhuǎn)動慣量,1、均質(zhì)桿對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量,單位長度的質(zhì)量為：,2、均質(zhì)薄圓環(huán)對過圓心軸的轉(zhuǎn)動慣量,單位弧長的質(zhì)量為：,取微弧長為：,3、均質(zhì)薄圓盤對過圓心軸的轉(zhuǎn)動慣量,可將圓盤分割成無數(shù)小的圓環(huán)，則各圓環(huán)質(zhì)量為：,另外：,二、平行移軸定理計算復(fù)雜形狀剛體轉(zhuǎn)動慣量,平行移軸定理：,即：剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于剛體對過其質(zhì)心且與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積。,例1：求均質(zhì)細(xì)直桿對過其端點O的軸的

5、轉(zhuǎn)動慣量。,例2：求鐘擺對過點O的軸的轉(zhuǎn)動慣量。,解：,解：,桿對過點對過點O的軸的轉(zhuǎn)動慣量：,圓盤對過其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量：,桿對過點對過點O的軸的轉(zhuǎn)動慣量，用平行移軸定理求得：,124 質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩定理,本節(jié)主要研究：當(dāng)選擇質(zhì)心作為動量矩和力矩的矩心世，質(zhì)心的運動對動量矩的影響。,（1）,（2）,1、質(zhì)點系相對固定點運動的動量矩,（3）,2、質(zhì)點系相對定坐標(biāo)系的運動（絕對運動）的對質(zhì)心的動量矩,（4）,3、質(zhì)點系相對質(zhì)心的運動（相對運動）對質(zhì)心的動量矩,（5）,將（2）式代入（4）得：,（6）,將（1）式代入（3）得：,（7）,將（7）式代入（6）得：,質(zhì)點系質(zhì)心的動量對固定點的動

6、量矩,質(zhì)點系相對質(zhì)心的運動（相對運動）對 質(zhì)心點的動量矩,（8）,則第（8）式可寫為如下格式：,即：質(zhì)點系對于固定點的動量矩，等于質(zhì)點系質(zhì)心動量對該點的動量矩，與質(zhì)點系相對質(zhì)心的運動對質(zhì)心動量矩的矢量和。,由動量矩定理：,左邊：,右邊：,質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩定理,即：質(zhì)點系在相對質(zhì)心作平動的坐標(biāo)系的運動中，相對質(zhì)心的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于質(zhì)點系上所有外力對質(zhì)心之矩的矢量和。,125 剛體的運動微分方程,對轉(zhuǎn)動軸的動量矩為：,動量矩定理：,且,剛體定軸轉(zhuǎn)動時的運動微分方程,一、定軸轉(zhuǎn)動剛體的運動微分方程,二、平面運動剛體的運動微分方程,剛體相對質(zhì)心軸的動量矩定理為,剛體質(zhì)心運動的運動微分方程

7、為,（2）,（1）,（1）、（2）式共同成為剛體平面運動的運動微分方程為,例1：單擺將質(zhì)量為m的小球用長為的線懸掛于水平軸上，使其在重力作用下繞懸掛軸O在鉛直平面內(nèi)擺動。線自重不計且不可伸長，擺線由偏角 時從靜止開始釋放，求單擺的運動規(guī)律。,解：將小球視為質(zhì)點。其速度為 且垂直于擺線。擺對軸的動量矩為,注意：在計算動量矩與力矩時，符號規(guī)定應(yīng)一致（在本題中規(guī)定逆時針轉(zhuǎn)向為正）。 根據(jù)動量矩定理，有,即,（1）,并令,則（1）式化為,解此微分方程，并將運動初始條件帶入，即當(dāng)t=0時,由此可知，單擺的運動是做簡諧振動。其振動周期為,解：軸與軸的定軸轉(zhuǎn)動微分方程分別為,例2：雙軸傳動系統(tǒng)中，傳動軸與對各自轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為 與 ，兩齒輪的節(jié)圓半徑分別為 與 ，齒數(shù)分別為 與 ，在軸上作用有主動力矩 ，在軸上作用有阻力矩 ，如圖所示。求軸的角加速度。,傳動比為：,聯(lián)立上述三式得：,例3：質(zhì)量為m半徑為R的均質(zhì)圓輪置放在傾角為 的斜面上，在重力的作用下由靜止開始運動，設(shè)輪與斜面間的靜、動滑動摩擦系數(shù)分別為 、 ，不計滾動摩阻。試分析輪的運動。,解：取輪為研究對象，根據(jù)平面運動微分方程有,且,情況一：設(shè)接觸處絕對光滑。則F=0,情況二：設(shè)接觸處絕對粗糙。輪只滾不滑，做純滾動。F為靜滑動摩擦力。,例4：均質(zhì)滑輪A、B的質(zhì)量為 與 ，半徑分別為 與 ，物