1、函數(shù)單調(diào)性的判別,函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù),定理4.6 設(shè)函數(shù)=()在,上連續(xù)，在(,)內(nèi)可導(dǎo) 若 0，(,)，則()在,上單調(diào)增加； 若 0，(,)，則()在,上單調(diào)減少。,函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù),證：在,上任取兩點 1 , 2 , 1 0 由 1 , 2 的任意性，可知()在,上單調(diào)遞增。,函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù),例1 確定函數(shù)=()的單調(diào)區(qū)間。其中 =2 3 9 2 +123. 解：求()的導(dǎo)函數(shù)(). =6 2 18+12=6 1 2,函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù),例2 確定 = 5 2/3 的單調(diào)區(qū)間. 解： = 5 3 2 1/3 所以當(dāng)=0時，導(dǎo)數(shù)不存在。,函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù),命題1 若函數(shù) , ()在區(qū)間,上滿

2、足 0, (,) 則必有 , ,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,命題2 若函數(shù) , ()在區(qū)間,上滿足 0, (,) 則必有 , (,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,例3 證明： 1 2 2 0 證：先證 ln 1+ 0, (0) 所以 0,(0), 即 ln 1+ .,函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù),再證： 1 2 2 0, 0 所以 0, 0 , 原不等式成立。,函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù),極值問題 驅(qū)動數(shù)學(xué)發(fā)展的黃金問題。數(shù)學(xué)在很大程度上因為解決或為了解決這些問題而獲得長足的進步。,函數(shù)的極值與最值,一些極值問題 例1 最速降線問題 (變分法),函數(shù)的極值與最值,例2 懸鏈線問題 (變分法),函數(shù)的極值與最值,懸鏈線,一些極值最值問題

3、 郵遞員 - 最短路徑問題 博弈論 - 最佳策略問題 計算機 - 最佳搜索/排序算法 交通 - 最佳管制方案 金融 - 最佳投資組合 通訊 - 最優(yōu)編碼方案,函數(shù)的極值與最值,一、函數(shù)的極值與求法 定義4.1 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義. 若對該鄰域內(nèi)任意一點 0 ，都有 0 ，則( 0 )稱為()的極大值，點 0 為極大值點。 反之稱( 0 )為極小值。,函數(shù)的極值與最值,函數(shù)的極值與最值,定理4.7 (極值點的必要條件) 設(shè)函數(shù)()在點 0 的某鄰域內(nèi)有定義，點 0 是極值點的必要條件是: 0 =0 或 ( 0 )不存在 證明類似羅爾中值定理,函數(shù)的極值與最值,注意： 導(dǎo)數(shù)為零的點稱為 駐

4、點。 定理4.7僅為極值存在的必要條件。也就是說，極值點要在駐點中篩選。,函數(shù)的極值與最值,定理4.8 (極值點存在的充分條件 - ) 設(shè)函數(shù)()在點 0 連續(xù)，且在點 0 的某空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)。 若在點 0 的兩側(cè)鄰域內(nèi)，()的正負性不同，則 0 為極值點。從左至右， ()由正變負為極大值；否則為極小值。 否則不是極值點。,函數(shù)的極值與最值,注意： 定理4.8 為極值存在的充分條件。只有滿足定理成立條件的()才適用該判定方法。 該方法的一個優(yōu)點是不需要()在點 0 處可導(dǎo)。 通常以列表法使用該定理確定極值。,函數(shù)的極值與最值,例1 求 = 2 1 2/3 的極值。 解：首先求得 = 4 3 1

5、 +1 1/3 以駐點和導(dǎo)數(shù)不存在點分隔區(qū)間。,函數(shù)的極值與最值,定理4.8 (極值點存在的充分條件 - ) 設(shè) 0 是()的駐點，二階導(dǎo)數(shù)( 0 )存在且不為零，則 當(dāng) 0 0時，( 0 )為極小值。 當(dāng) 0 0時，( 0 )為極大值。,函數(shù)的極值與最值,僅證：當(dāng) 0 0時，( 0 )為極小值。 證：設(shè)點在 0 的鄰域內(nèi)，則有 1 ( 0 ,) 0 = 1 0 = 1 0 0 = 2 1 0 0 , 2 0 , 1 0,函數(shù)的極值與最值,注意： 定理4.8 的優(yōu)點在于在駐點處求二階導(dǎo)數(shù)就能判定極值類型，可以避免使用列表法(較繁瑣)。 缺點： 當(dāng) 0 =0時方法失效。 當(dāng) 0 不存在時方法失效。,函數(shù)的極值與最值,例2 求 = 3 3的極值。 解： =3 +1 1 求得駐點為 1 =1, 2 =1 再由 =6 可知 1 =60 (1) 為極小值.,函數(shù)的極值與最值,最值(最大/最小)的求法 -