1、3.2.1 幾類不同增長的函數(shù)模型,通過一些實例,來感受一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的廣泛應用;結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同增長的函數(shù)模型意義，理解它們的增長差異性,學習目標,互動交流,探求新知,例1、假設你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：,回報的累積值,方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多 回報10元；,方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前 一天翻一番。,請問，你會選擇哪種投資方案呢？,1.考慮回報量,除了要考慮每天的回報量之外,還得考慮什么?,想一想：,方案一：每天回報40元；,我來說,想一想：,2

2、.本題中涉及哪些數(shù)量關(guān)系?如何利用函數(shù)描述這些數(shù)量關(guān)系?,我來說,設第x天所得回報是y元,則方案一可用函數(shù)y=40(xN*)進行描述;方案二可以用函數(shù)y=10 x(xN*)進行描述;方案三可以用函數(shù) 進行描述。,想一想：,3.怎樣去研究這三個函數(shù),才能找到最佳的方案呢?,要對三個方案作出選擇,就要對它們的增長情況進行分析,用計算器計算出三種方案所得回報的增長情況,列表如下：,我來說,0 0 0 0 0 0,0 0 0 0,10 10 10 10 10,10 10 10 10,0.4 0.8 1.6 3.2 6.4,12.8 25.6 51.2 107374182.4,我想問,根據(jù)所列的表格中提

3、供的數(shù)據(jù),你對三種方案分別表現(xiàn)出的回報資金的增長差異有什么認識?,我來說,方案一每天的回報不變;方案二、三每天的回報都在增加,且方案三隨x的增加每天的回報越來越大,比方案二要大得多。,我想問,作出三個方案的圖象看看?,圖112-1,我想問,根據(jù)以上分析,你認為該作出何種選擇?,從問題1可知,考慮回報量,除了要考慮每天的回報量之外,還得考慮回報的累積值.你能把前11天回報的累積值算出來嗎?,累計回報表,我想問,結(jié)論:,投資8天以下（不含8天）,應選擇第一種投資方案；投資810天，應選擇第二種投資方案；投資11天（含11天）以上，應選擇第三種投資方案。,解決實際問題的一般步驟是什么?,例題的啟示,

4、解決實際問題的步驟：,實際問題,讀懂問題,抽象概括,數(shù)學問題,演算,推理,數(shù)學問題的解,還原說明,實際問題的解,例2、某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨著銷售利潤x (單位：萬元)的增加而增加，但獎金數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%。現(xiàn)有三個獎勵模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪個模型能符合公司的要求呢？,我想問,本題中涉及了哪幾類函數(shù)模型?實質(zhì)是什么?,本例涉及了一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)三類函數(shù)模型,實質(zhì)是比較三個函數(shù)的增長情況。,我來說

5、,我再問,怎樣才能判斷所給的獎勵模型是否符合公司的要求呢?,我來說,要對每一個獎勵模型的獎金總額是否超出5萬元,以及獎勵比例是否超過25%進行分析,才能做出正確選擇。,解:借助計算機作出三個函數(shù)的圖象如下:,對于模型y=0.25x,它在區(qū)間10,1000上遞增,當x(20,1000)時,y5,因此該模型不符合要求。,對于模型 ,由函數(shù)圖象,并利用計算器,可知在區(qū)間(805,806)內(nèi)有一個點 滿足 ,由于它在10,1000上遞增,因此當 時,y5,因此該模型也不符合要求。,對于模型 ,它在區(qū)間10,1000上遞增,而且當x=1000時, ,所以它符合獎金總數(shù)不超過5萬元的要求。,再計算按模型

6、獎勵時,獎金是否不超過利潤的25%,即當x10,1000時,是否有,成立。,令 ,x10,1000,利用計算機作出函數(shù)f(x)的圖象,由圖可知它是減函數(shù),因此 f(x)f(10)-0.31670 即,所以,當x10,1000時,說明按模型3獎勵,獎金不超過利潤的25%。 綜上所述,模型 確實符合公司的要求。,問題提出,1.指數(shù)函數(shù)y=ax (a1)，對數(shù)函數(shù) y=logax(a1)和冪函數(shù)y=x n (n0)在區(qū)間（0，+）上的單調(diào)性如何？,2.利用這三類函數(shù)模型解決實際問題，其增長速度是有差異的，我們怎樣認識這種差異呢？,探究（一）：特殊冪、指、對函數(shù)模型的差異,對于函數(shù)模型 ：y=2x,

7、y=x2, y=log2x 其中x0.,思考2:對于函數(shù)模型y=2x和y=x2，觀察下列自變量與函數(shù)值對應表：,當x0時，你估計函數(shù)y=2x和y=x2的圖象共有幾個交點？,思考3:在同一坐標系中這三個函數(shù)圖象的相對位置關(guān)系如何？請畫出其大致圖象.,思考4:根據(jù)圖象，不等式log2x2xx2和 log2xx22x成立的x的取值范圍分別如何？,思考5:上述不等式表明，這三個函數(shù)模型增長的快慢情況如何？,探究（二）：一般冪、指、對函數(shù)模型的差異,思考1:對任意給定的a1和n0，在區(qū)間 (0,+)上ax是否恒大于xn? ax是否恒小于xn?,思考2:當a1，n0時，在區(qū)間(0,+)上, ax與xn的大

8、小關(guān)系應如何闡述？,思考3:一般地，指數(shù)函數(shù)y=ax (a1)和冪函數(shù)y=xn(n0)在區(qū)間(0,+)上，其增長的快慢情況是如何變化的？,總存在一個 ，當x 時，就會有,思考4:對任意給定的a1和n0，在區(qū)間 (0,+)上,logax是否恒大于xn? logax是否恒小于xn?,思考5:隨著x的增大,logax增長速度的快慢程度如何變化? xn增長速度的快慢程度如何變化？,思考6:當x充分大時,logax(a1)xn與(n0)誰的增長速度相對較快？,總存在一個 ，當x 時，就會有,思考7:一般地，對數(shù)函數(shù)y=logax(a1)和冪函數(shù)y=xn(n0) 在區(qū)間(0,+)上，其增長的快慢情況如何是

9、如何變化的？,思考8:對于指數(shù)函數(shù)y=ax(a1)，對數(shù)函數(shù) y=logax(a1)和冪函數(shù)y=xn(n0)，總存在一個x0，使xx0時,ax,logax,xn三者的大小關(guān)系如何？,思考9:指數(shù)函數(shù)y=ax (0a1)，對數(shù)函數(shù)y=logax(0a1)和冪函數(shù)y=xn(n0),在區(qū)間(0,+)上衰減的快慢情況如何？,總存在一個 ，當x 時， 就會有,結(jié)論,一般地,對于指數(shù)函數(shù) 和冪函數(shù),通過探索可以發(fā)現(xiàn),在區(qū)間(0,+)上,無論n比a大多少,盡管在x的一定變化范圍內(nèi), 會小于 , 但由于 的增長快于 的增長,因此,總存在一個 ,當 時,就會有,同樣地,對于對數(shù)函數(shù) 和冪函數(shù) ,在區(qū)間(0,+)上,隨著x的增大, 增長得越來越慢,圖象就像是漸漸地與x軸平行一樣,盡管在x的一定變化范圍內(nèi), 可能會大于 ,但由于 的增長慢于 的增長,因此,總存在一個 ,當 時,就會有,綜上所述,在區(qū)間(0,+)上,盡管 , 和 都是增函數(shù),但它們的增長速度不同,而且不在同一個檔次上,隨著x的增大,