1、*3 上極限和下極限,數(shù)列的上極限與下極限是非常有用的概念, 通過,一、上(下)極限的基本概念,程來說, 上(下)極限也是不可缺少的工具.,極限或下極限來解決問題. 此外, 對于不少后繼課,考慮的某些數(shù)列不存在極限的情形, 那時需要用上,冊第十二、十四章討論級數(shù)收斂性時, 常會遇到所,它們可得出數(shù)列極限存在的另一個充要條件. 在下,二、上(下)極限的基本性質(zhì),返回,一、上(下)極限的基本概念,注 點集的聚點與數(shù)列的聚點之間的區(qū)別在于:,內(nèi)均含有 中的無限多項, 則稱 x0 是數(shù)列,的一個聚點.,限多個項”. 現(xiàn)舉例如下:,前者要求 “含有無限多個點”, 后者要求 “含有無,定理7.4 有界數(shù)列

2、至少存在一個聚點, 并且有最大,但作為數(shù)列來說, 它卻有兩個聚點:,從數(shù)列聚點的定義不難看出, x0 是數(shù)列 的聚,點的一個充要條件是: 存在 的一個子列,聚點和最小聚點.,故由確界原理, 存在,的一個聚點.,的無限多項. 現(xiàn)依次令,這樣就得到了 xn 的一個子列滿足:,同理可證,即證得,注 由定理 7.4 得知, 有界數(shù)列必有上、下極限.,提供了一個新的平臺.,的上、下極限總是存在的, 這為研究數(shù)列的性質(zhì),極限來研究該數(shù)列往往是徒勞的; 但是有界數(shù)列,數(shù)列若有界, 它的極限可以不存在, 此時想通過,這樣, 上、下極限的優(yōu)越性就顯現(xiàn)出來了: 一個,例1 考察以下兩個數(shù)列的上、下極限:,從中可大

3、致看出數(shù)列的極限和數(shù)列的上、下極限,之間存在著的內(nèi)在聯(lián)系. 詳細討論請見下文.,二、上(下)極限的基本性質(zhì),由上、下極限的定義, 立即得出:,下面這個定理刻畫了極限與上、下極限之間的關(guān),系.,(1),(2),只有有限項. 這就是說, B,不是 的聚點, 故 僅有一個聚點 A, 從而,反之, 若上式成立, 則 的聚點惟一 (設(shè)為 A) ,一的假設(shè)相矛盾.,另一聚點, 導(dǎo)致與聚點惟,性定理, 這無限多項必有,的無限多項. 由致密,倘若不然,則存在,此時易證,的充要條件是: 對于任意的,(i) 存在 N, 當 n N 時,的充要條件是: 對于任意的,(i) 存在 N, 當 n N 時,證 在形式上是

4、對稱的, 所以僅證明 .,還有聚點, 這與 A 是最大聚點相矛盾. 設(shè)這有限項,的最大下標為 N, 那么當 n N 時,上含有 xn 的無限項, 即 A 是 xn 的聚點.,而對于任意的,則取上(下)極限后, 原來的不等號方向保持不變:,聚點, 所以存在 ,特別若 則更有,故存在 的一個收斂子列 ,(3),(4),同理可證關(guān)于上極限的不等式; 而 (4) 式則可由,又因,(1) 與 (3) 式直接推得.,證 這里只證明 (i) , (ii) 可同理證明. 設(shè),由定理7.7, 存在 N, 當 n N 時,(5),(6),再由定理 7.8 的 (4) 式, 得,因為 是任意的, 故,注 這里嚴格不

5、等的情形確實會發(fā)生, 例如,故,求證 的全體聚點的集合為,任給 , 欲證 如若不然, 則存在,之內(nèi). 又因 所以存在,這就是說, 當 時, 所有的 均不在,當 n K 時, 由 (7) 導(dǎo)致所有,的 或者都有 或者都有,前者與 B 是 的聚點矛盾; 后者與 A 是,的聚點矛盾. 故證得 , 即 從而,定理7.9 設(shè) xn 為有界數(shù)列. 則有,(i) A 是 xn 的上極限的充要條件是,(ii) B 是 xn 的下極限的充要條件是,(8),(9),所以有,同理, 由于,這樣得到的子列 因仍為有界的,故其上極限,因 是任意的, 所以又得 . 從而證得,照此做下去,可求得 使,使得,求上極限, 由不等式性質(zhì) (4), 得出,亦存在, 設(shè)為 (10) 式關(guān)于 k,例3 用上、下極限證明: 若 為有界發(fā)散數(shù)列,注 本例命題用現(xiàn)在這種證法,可以說是最簡捷的.,使得,為 于是存在 的兩個子列,證 由定理7.6 , 有界數(shù)列 發(fā)散的充要條件,則存在 的兩個子列, 收斂于不同的極限.,例4 證明: 對任何有界數(shù)列 有,(11),(12),證 根據(jù)定理7.9 的 (8) 與 (9), 可得,若能證明 便不難得出結(jié)果.,分析 將 (11) 式改寫為,把它用于 (12) 式, 并利用例1 的結(jié)論 (6), 便有,這也就證明了 (11) 式.,復(fù)習(xí)