1、有限元方法的發(fā)展及應(yīng)用摘 要：有限元法是一種高效能、常用的計算方法。有限元法在早期是以變分原理為基礎(chǔ)發(fā)展起來的，所以它廣泛地應(yīng)用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各類物理場中。自從1969年以來，某些學(xué)者在流體力學(xué)中應(yīng)用加權(quán)余數(shù)法中的迦遼金法或最小二乘法等同樣獲得了有限元方程，因而有限元法可應(yīng)用于以任何微分方程所描述的各類物理場中，而不再要求這類物理場和泛函的極值問題有所聯(lián)系。基本思想：由解給定的泊松方程化為求解泛函的極值問題。1 有限元法介紹1.1 有限元法定義有限元法（FEA，F(xiàn)inite Element Analysis）的基本概念是用較簡單的問題代替復(fù)雜問題后再求解。它是起源于20世紀(jì)

2、50年代末60年代初興起的應(yīng)用數(shù)學(xué)、現(xiàn)代力學(xué)及計算機(jī)科學(xué)相互滲透、綜合利用的邊緣科學(xué)。有限元法的基本思想是將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成，對每一單元假定一個合適的(較簡單的）近似解，然后推導(dǎo)求解這個域總的滿足條件(如結(jié)構(gòu)的平衡條件），從而得到問題的解。這個解不是準(zhǔn)確解，而是近似解，因為實際問題被較簡單的問題所代替。由于大多數(shù)實際問題難以得到準(zhǔn)確解，而有限元不僅計算精度高，而且能適應(yīng)各種復(fù)雜形狀，因而成為行之有效的工程分析手段。有限元法最初應(yīng)用在工程科學(xué)技術(shù)中,用于模擬并且解決工程力學(xué)、熱學(xué)、電磁學(xué)等物理問題。1.2 有限元法優(yōu)缺點有限元方法是目前解決科學(xué)和工程問題最有效的數(shù)值

3、方法，與其它數(shù)值方法相比，它具有適用于任意幾何形狀和邊界條件、材料和幾何非線性問題、容易編程、成熟的大型商用軟件較多等優(yōu)點。（1）概念淺顯，容易掌握，可以在不同理論層面上建立起對有限元法的理解，既可以通過非常直觀的物理解釋來理解，也可以建立基于嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論分析。（2）有很強(qiáng)的適用性，應(yīng)用范圍極其廣泛。它不僅能成功地處理線性彈性力學(xué)問題、費均質(zhì)材料、各向異性材料、非線性應(yīng)立-應(yīng)變關(guān)系、大變形問題、動力學(xué)問題已及復(fù)雜非線性邊界條件等問題，而且隨著其基本理論和方法的逐步完善和改進(jìn)，能成功地用來求解如熱傳導(dǎo)、流體力學(xué)、電磁場等領(lǐng)域的各類線性、非線性問題。他幾乎適用于求解所有的連續(xù)介質(zhì)和場問題，以至于

4、目前開始向納米量級的分子動力學(xué)滲透。（3）有限元法采用矩陣形式表達(dá)，便于編制計算機(jī)軟件。這樣，不僅可以充分利用高速計算機(jī)所提供的方便，使問題得以快速求解，而且可以使求解問題的方法規(guī)范化、軟件商業(yè)化，為有限元法推廣和應(yīng)用奠定了良好的基礎(chǔ)。但是，在求解一些特殊問題，特別是間斷問題時，有限元方法存在著某些固有的缺陷。例如：（1）有限元采用的是連續(xù)性的位移近似函數(shù)，對于裂紋類強(qiáng)間斷問題，為獲得足夠的計算精度，需要對網(wǎng)格進(jìn)行足夠的細(xì)分，計算量極大。（2）在采用拉格朗日法求解金屬沖壓成形、裂紋動態(tài)擴(kuò)展、流固耦合、局部剪切等涉及特大變形問題時，有限元網(wǎng)格可能會產(chǎn)生嚴(yán)重扭曲，使計算精度急劇下降甚至計算無法繼續(xù)

5、，因此，需要不斷地進(jìn)行網(wǎng)格重構(gòu)，計算量極大。同時，為了模擬裂紋的動態(tài)擴(kuò)展過程，也需要不斷地進(jìn)行網(wǎng)格重構(gòu)。（3）在處理夾雜問題時，單元的邊須位于夾雜與基體的界面處，即使對于網(wǎng)格自動化程度很高的二維問題這也很不容易，而三維問題則更復(fù)雜。1.3 有限元法的派生 有限元法作為數(shù)值方法中的基礎(chǔ)方法，有其一定的使用范圍，也由于一定的弊端決定了其不完全通用性。在有限元方法基礎(chǔ)上，發(fā)展出有其特殊使用范圍的更精準(zhǔn)的派生數(shù)值方法，下面介紹幾種重要的數(shù)值方法。1.3.1有限差分法有限差分法（FDM，F(xiàn)inite Difference Method）已經(jīng)發(fā)展的一些近似數(shù)值分析方法中，最初常用的是有限差分法，它可以處理

6、一些相當(dāng)困難的問題。但對于幾何形狀復(fù)雜的邊界條件，其解的精度受到限制，甚至發(fā)生困難。作為60年代最重要的科技成就之一的有單元法。在理論和工程應(yīng)用上都得到迅速發(fā)展，幾乎所有用經(jīng)典力學(xué)解析方法難以解決的工程力學(xué)問題郁可以用有限元方法求解。它將連續(xù)的求解域離散為一組有限個單元的組合體，解析地模擬或逼近求解區(qū)域。由于單元能按各種不同的聯(lián)結(jié)方式組合在一起，且單元本身又可有不同的幾何形狀，因此可以適應(yīng)幾何形狀復(fù)雜的求解域。有限元的另一特點是利用每一單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來表示全求解區(qū)域上待求的未知場函數(shù)。單元內(nèi)的近似函數(shù)由未知場函數(shù)在各個單元結(jié)點上數(shù)值以及插值函數(shù)表達(dá)，這就使未知場函數(shù)的結(jié)點值成為新的未知量

7、，把一個連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題，只要結(jié)點來知量解出，便可以確定單元組合體上的場函數(shù)。隨著單元數(shù)目的增加，近似解收斂于精確解。但是有限元方法常常需要很大的存貯容量，甚至大得無法計算；由于相鄰界面上只能位移協(xié)調(diào)，對于奇異性問題（應(yīng)力出現(xiàn)間斷）的處理比較麻煩。這是有限單元法的不足之處。1.3.2邊界元法邊界元法（BEM，Boundary Element Method）是在有限元法之后發(fā)展起來的一種較精確有效的工程數(shù)值分析方法。與有限元法在連續(xù)體域內(nèi)劃分單元的基本思想不同，邊界元法是在定義域的邊界上劃分單元，用滿足控制方程的函數(shù)去逼近邊界條件，通過對邊界分元插值離散，化為代數(shù)方程

8、組求解。降低了問題的維數(shù)，可用較簡單的單元準(zhǔn)確地模擬邊界形狀，利用微分算子的解析的基本解作為邊界積分方程的核函數(shù)，而具有解析與數(shù)值相結(jié)合的特點，通常具有較高的精度。邊界元法的主要缺點是它的應(yīng)用范圍以存在相應(yīng)微分算子的基本解為前提，對于非均勻介質(zhì)等問題難以應(yīng)用，故其適用范圍遠(yuǎn)不如有限元法廣泛，而且通常由它建立的求解代數(shù)方程組的系數(shù)陣是非對稱滿陣，對解題規(guī)模產(chǎn)生較大限制。上述兩種數(shù)值方法的主要區(qū)別在于，邊界元法是“邊界”方法，而有限元法是“區(qū)域”方法，但都是針對連續(xù)介質(zhì)而言，只能獲得某一荷載或邊界條件下的穩(wěn)定解。對于節(jié)理裂隙發(fā)育的巖體或顆粒散體的處理則要麻煩得多，更無法進(jìn)行大變形、分離、回轉(zhuǎn)及塌落

9、過程的模擬。這就使得人們?nèi)ヌ剿骱蛯で筮m合模擬節(jié)理巖體和顆粒散體運動變形特性的有效數(shù)值方法。1.3.3 離散元法離散元法（DEM，Distinct Element Method）是由Cundall P A (1971)首先提出并應(yīng)用于巖土體穩(wěn)定性分析的一種數(shù)值分析方法。它是一種動態(tài)的數(shù)值分析方法,可以用來模擬邊坡巖體的非均質(zhì)、不連續(xù)和大變形等特點,因而,也就成為目前較為流行的一種巖土體穩(wěn)定性分析數(shù)值方法。該方法在進(jìn)行計算時,首先將邊坡巖體劃分為若干剛性塊體 (目前已可以考慮塊體的彈性變形) ,以牛頓第二運動定律為基礎(chǔ),結(jié)合不同本構(gòu)關(guān)系,考慮塊體受力后的運動及由此導(dǎo)致的受力狀態(tài)和塊體運動隨時間的變

10、化。它允許塊體間發(fā)生平動、轉(zhuǎn)動,甚至脫離母體下落,結(jié)合CAD技術(shù)可以在計算機(jī)上形象地反應(yīng)出邊坡巖體中的應(yīng)力場、位移及速度等力學(xué)參量的全程變化。該方法對塊狀結(jié)構(gòu)、層狀破裂或一般碎裂結(jié)構(gòu)巖體比較適合。1.3.4 廣義有限元法廣義有限元方法（GFEM，Generalized Finite Method）是常規(guī)有限元方法在思想上的延伸，它基于單位分解方法,通過在結(jié)點處引入廣義自由度，對結(jié)點自由度進(jìn)行再次插值,從而提高有限元方法的逼近精度，或滿足對特定問題的特殊逼近要求?；趶V義有限元方法對單元形狀函數(shù)構(gòu)造理論的深入研究，具有任意內(nèi)部特征（空洞、夾雜、裂紋等）及外部特征（凹角、角點、棱邊等）的復(fù)雜問題,

11、都將在簡單、且與區(qū)域無關(guān)的有限元網(wǎng)格上加以求解。1.3.5 擴(kuò)展有限元法擴(kuò)展有限元（XFEM，Extended Finite Element Method）是在標(biāo)準(zhǔn)有限元方法的框架下，提出來的一種用于解決裂紋、孔洞、夾雜等間斷問題的數(shù)值方法。在有限元的近似函數(shù)中，增加能反映待求問題間斷特性的附加函數(shù)項，采用水平集方法（LSM）描述間斷面的幾何特性及其移動規(guī)律。擴(kuò)展有限元方法與標(biāo)準(zhǔn)有限元方法相比，具有計算精度高、勿需網(wǎng)格重構(gòu)等特點。2 有限元法的發(fā)展有限元法是R.Courant于1943年首先提出的。自從提出有限元概念以來,有限元理論及其應(yīng)用得到了迅速發(fā)展。過去不能解決或能解決但求解精度不高的問

12、題，都得到了新的解決方案。傳統(tǒng)的FEM假設(shè)：分析域是無限的；材料是同質(zhì)的，甚至在大部分的分析中認(rèn)為材料是各向同性的;對邊界條件簡化處理。但實際問題往往是分析域有限、材料各向異性或邊界條件難以確定等。為解決這類問題,美國學(xué)者提出用GFEM （Gener-alized Finite Element Method）解決分析域內(nèi)含有大量孔洞特征的問題；比利時學(xué)者提出用HSM （the Hybrid metis Singular element of Membrane plate）解決實際開裂問題。在FEM應(yīng)用領(lǐng)域不斷擴(kuò)展、求解精度不斷提高的同時，F(xiàn)EM也從分析比較向優(yōu)化設(shè)計方向發(fā)展。印度Mahanty

13、博士用ANSYS對拖拉機(jī)前橋進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，結(jié)果不但降低了約40%的前橋自重，還避免了在制造過程中的大量焊接工藝，降低了生產(chǎn)成本。FEM在國內(nèi)的應(yīng)用也十分廣泛。自從我國成功開發(fā)了國內(nèi)第一個通用有限元程序系統(tǒng)JIGFEX后，有限元法滲透到工程分析的各個領(lǐng)域中，從大型的三峽工程到微米級器件都采用FEM進(jìn)行分析，在我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展中擁有廣闊的發(fā)展前景。目前在進(jìn)行大型復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)中的物理場分析時，為了估計并控制誤差,常用基于后驗誤差估計的自適應(yīng)有限元法?；诤筇幚矸ㄓ嬎阏`差,與傳統(tǒng)算法不同，將網(wǎng)格自適應(yīng)過程分成均勻化和變密度化2個迭代過程。在均勻化迭代過程中，采用均勻網(wǎng)格尺寸對整體區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格劃分，以便得到

14、一個合適的起始均勻網(wǎng)格；在變密度化迭代過程中只進(jìn)行網(wǎng)格的細(xì)化操作，并充分利用上一次迭代的結(jié)果，在單元所在的曲邊三角形區(qū)域內(nèi)部進(jìn)行局部網(wǎng)格細(xì)化，保證了全局網(wǎng)格尺寸分布的合理性，使得不同尺寸的網(wǎng)格能光滑銜接，從而提高網(wǎng)格質(zhì)量。整個方案簡單易行，穩(wěn)定可靠，數(shù)次迭代即可快速收斂,生成的網(wǎng)格布局合理，質(zhì)量高。2.1有限元法的國內(nèi)外研究現(xiàn)狀FEM作為求解數(shù)學(xué)物理問題的一種數(shù)值方法，已經(jīng)歷了50余年的發(fā)展。20世紀(jì)50年代，它作為處理固體力學(xué)問題的方法出現(xiàn)。1943年，Courant第一次提出單元概念。19451955年,Argyris等人在結(jié)構(gòu)矩陣分析方面取得了很大進(jìn)展。1956年，Turner、Clou

15、gh等人把剛架位移法的思路推廣應(yīng)用于彈性力學(xué)平面問題。1960年,Clough首先把解決彈性力學(xué)平面問題的方法稱為“有限元法”,并描繪為“有限元法 = Rayleigh Ritz法 + 分片函數(shù)”。幾乎與此同時,我國數(shù)學(xué)家馮康也獨立提出了類似方法。FEM理論研究的重大進(jìn)展，引起了數(shù)學(xué)界的高度重視。自20世紀(jì)60年代以來,人們加強(qiáng)了對FEM數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究。如大型線性方程組和特征值問題的數(shù)值方法、離散誤差分析、解的收斂性和穩(wěn)定性等。FEM理論研究成果為其應(yīng)用奠定了基礎(chǔ),計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展為其提供了條件。20世紀(jì)70年代以來，相繼出現(xiàn)了一些通用的有限元分析(FEA: Finite Element An

16、alysis)系統(tǒng),如SAP、ASKA、NASTRAN等，這些FEA系統(tǒng)可進(jìn)行航空航天領(lǐng)域的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、剛度分析,從而推動了FEM在工程中的實際應(yīng)用。20世紀(jì)80年代以來，隨著工程工作站的出現(xiàn)和廣泛應(yīng)用,原來運行于大中型機(jī)上的FEA系統(tǒng)得以在其上運行，同時也出現(xiàn)了一批通用的FEA系統(tǒng),如ANSYS-PC、NISA,SUPERSAP等。20世紀(jì)90年代以來,隨著微機(jī)性能的顯著提高，大批FEA系統(tǒng)紛紛向微機(jī)移植，出現(xiàn)了基于Windows的微機(jī)版FEA系統(tǒng)。經(jīng)過半個多世紀(jì)的發(fā)展,FEM已從彈性力學(xué)平面問題擴(kuò)展到空間問題、板殼問題;從靜力問題擴(kuò)展到動力問題、穩(wěn)定問題和波動問題;從線性問題擴(kuò)展到非線性問題

17、；從固體力學(xué)領(lǐng)域擴(kuò)展到流體力學(xué)、傳熱學(xué)、電磁學(xué)等其他連續(xù)介質(zhì)領(lǐng)域；從單一物理場計算擴(kuò)展到多物理場的耦合計算。它經(jīng)歷了從低級到高級、從簡單到復(fù)雜的發(fā)展過程,目前已成為工程計算最有效的辦法之一。2.2有限元法的網(wǎng)格化分發(fā)展作為有限元走向工程應(yīng)用樞紐的有限元網(wǎng)格劃分，是有限元法的一個非常重要的研究領(lǐng)域，經(jīng)歷了40 多年的發(fā)展歷程。有限元網(wǎng)格劃分算法研究中的某些難點問題始終未能得到真正意義上的解決，它們的解決對工程問題具有重要的現(xiàn)實價值和理論意義。有限元分析的基本過程可分為三個階段：有限元模型的建立（即前處理）、有限元解算、結(jié)果處理和評定（即后處理）。根據(jù)經(jīng)驗, 有限元分析各階段所用的時間為：40%-

18、45%用于模型的前處理，50%-55%用于后處理，而分析計算只占5%左右； 更有指出有限元建模占有限元分析一半以上的工作量, 甚至高達(dá) 80%。因此，有限元分析的前后處理一直都是有限元分析的瓶頸問題，嚴(yán)重地阻礙著有限元分析技術(shù)的應(yīng)用和發(fā)展。許多學(xué)者對有限元網(wǎng)格生成方法近 30 年的研究進(jìn)行了概括和總結(jié)，對某些重要分支領(lǐng)域的研究進(jìn)展方面也做出了貢獻(xiàn)。近年來, 有限元網(wǎng)格生成方法研究有兩個顯著特點：（1）經(jīng)歷了一個進(jìn)化過程，一些方法的研究與應(yīng)用出現(xiàn)停滯，而另外一些方法在不斷地深入、完善和發(fā)展，成為適應(yīng)性強(qiáng)、應(yīng)用范圍廣泛的通用方法；（2）領(lǐng)域和主題在不斷擴(kuò)展和深入，研究重點由二維平面問題轉(zhuǎn)移到三維曲

19、面和三維實體問題，從三角形、四面體網(wǎng)格自動生成轉(zhuǎn)移到四邊形、六面體網(wǎng)格自動生成。3 有限元法的應(yīng)用有限元法最初應(yīng)用在求解結(jié)構(gòu)的平面問題上,發(fā)展至今，已由二維問題擴(kuò)展到三維問題、板殼問題，由靜力學(xué)問題擴(kuò)展到動力學(xué)問題、穩(wěn)定性問題，由結(jié)構(gòu)力學(xué)擴(kuò)展到流體力學(xué)、電磁學(xué)、傳熱學(xué)等學(xué)科，由線性問題擴(kuò)展到非線性問題，由彈性材料擴(kuò)展到彈塑性、塑性、粘彈性、粘塑性和復(fù)合材料，從航空技術(shù)領(lǐng)域擴(kuò)展到航天、土木建筑、機(jī)械制造、水利工程、造船、電子技術(shù)及原子能等，由單一物理場的求解擴(kuò)展到多物理場的耦合，其應(yīng)用的深度和廣度都得到了極大的拓展。3.1有限元法的應(yīng)用過程FEM應(yīng)用于實際問題須經(jīng)歷以下過程，如圖1所示。程序開發(fā)

20、算法研究有限元方程數(shù)學(xué)描述未知問題應(yīng)用理論研究有限元建模否是計算結(jié)果有限元建模結(jié)果處理數(shù)值計算系統(tǒng)開發(fā)已知問題提出改進(jìn)的方案圖1. FEM的應(yīng)用過程（1）問題的數(shù)學(xué)描述。對問題客觀規(guī)律的數(shù)學(xué)描述(通常是微分方程及邊界條件)是建立有限元方程的前提。單元特性矩陣和整體有限元方程都是基于數(shù)學(xué)模型建立的。常見的彈性力學(xué)基本方程、運動方程、熱傳導(dǎo)方程等都是對客觀現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述。（2）有限元方程的建立。利用變分原理,通過離散、單元分析、整體分析等過程,建立數(shù)學(xué)模型的有限元方程，它通常是一組易于用數(shù)值方法求解的代數(shù)方程。（3）算法研究。有限元方程的計算量龐大，須有有效的算法來保證計算效率和精度，同時考慮對計

21、算條件的要求。如求解大型線性方程組的帶寬法、波前法，求解大型特征值問題的分塊Lanczos法等。（4）程序開發(fā)。數(shù)值計算依賴于計算機(jī),因此求解算法需用相應(yīng)的計算程序來實現(xiàn)。（5）有限元建模。對應(yīng)于FEA系統(tǒng)的前處理(Pre-processing)。它為數(shù)值計算提供所有原始輸入數(shù)據(jù)(節(jié)點數(shù)據(jù)、單元數(shù)據(jù)和邊界條件數(shù)據(jù))。因為模型形式直接決定計算精度和規(guī)模，且建模所需時間約占整個FEA的70%左右，所以建模質(zhì)量和效率是FEA的關(guān)鍵。圖2列出了有限元建模中的關(guān)鍵技術(shù)。CAD系統(tǒng)幾何建模單元特性定義網(wǎng)格劃分邊界條件定義模型處理截面造型圖2 有限元建模的關(guān)鍵技術(shù)（6）數(shù)值計算。對應(yīng)于FEA系統(tǒng)的計算(So

22、lving)。它由一系列計算程序組成,計算程序又稱求解器(solver)。每個求解器完成特定類型的計算。因此求解器越多,系統(tǒng)功能越強(qiáng)。（7）結(jié)果處理。對應(yīng)于FEA系統(tǒng)的后處理(Post-processing)。它對計算結(jié)果進(jìn)行處理、顯示、運算和列表等。若按照(1)(7)過程,問題得以解決，則FEM應(yīng)用結(jié)束;反之,則需根據(jù)求解結(jié)果提出改進(jìn)方案,循環(huán)執(zhí)行(5)(7)過程,直至問題解決或得到最佳設(shè)計。對于一個全新的問題,必須從第一步開始。而對已知的問題，可從第(5)步開始，即直接利用已有的FEA系統(tǒng),建立有限元模型。在實際應(yīng)用中，絕大多數(shù)問題都屬于第二類問題。3.2 有限元法的應(yīng)用領(lǐng)域FEM最早應(yīng)用

23、于固體力學(xué)領(lǐng)域,但由于其解決問題的有效性和實用性，很快推廣應(yīng)用于溫度場、電磁場、流場、聲場等連續(xù)介質(zhì)領(lǐng)域。目前FEM的應(yīng)用領(lǐng)域主要包括：（1）靜力分析。包括線性非線性靜力分析。線性靜力分析研究線彈性結(jié)構(gòu)的變形和應(yīng)力，它是工程結(jié)構(gòu)分析和設(shè)計中最基本的方法。非線性結(jié)構(gòu)靜力分析主要研究外載作用下引起的非線性響應(yīng)，其中非線性來源主要是材料非線性、幾何非線性和邊界條件非線性3大類。（2）動力分析。主要包括以下分析類型：1）模態(tài)分析。用于求解多自由度系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。為計算得到的計算機(jī)主板的前三階振型。2）瞬態(tài)響應(yīng)分析。求解在時域內(nèi)結(jié)構(gòu)承受隨時間變化的載荷和速度作用時的動力響應(yīng)。3）簡諧響應(yīng)分析。對簡諧激勵

24、結(jié)構(gòu)在其平衡位置的振動進(jìn)行分析。4）頻譜響應(yīng)分析和隨機(jī)振動分析。用于分析結(jié)構(gòu)受已知頻率激勵時的最大響應(yīng)。5）屈曲和失穩(wěn)分析。分析考察結(jié)構(gòu)的極限承載能力，研究結(jié)構(gòu)總體或局部的穩(wěn)定性，獲得結(jié)構(gòu)失穩(wěn)形態(tài)和失穩(wěn)路徑。6）自動接觸分析。用于接觸邊界定義和摩擦分析。（3）失效和破壞分析。包括斷裂分析（線彈性斷裂分析和彈塑性斷裂分析）、裂紋萌生與擴(kuò)展分析、跌落分析和疲勞失效分析。（4）熱傳導(dǎo)分析。包括穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)分析、瞬態(tài)熱傳導(dǎo)分析、熱輻射、強(qiáng)迫對流及溫度的耦合分析。（5）電磁場分析。它用于對電磁場中電感、電容、磁通量密度、渦流、電場分布、磁力線分布、能量損失等物理量進(jìn)行分析。（6）聲場分析。它用來研究在含有

25、流體介質(zhì)中聲波的傳播問題,或分析浸在流體中的固體結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性。（7）研究流體速度、壓強(qiáng)、密度變化規(guī)律和粘滯流體的運動規(guī)律及粘滯流體中運動物體所受阻力及其它熱力學(xué)性質(zhì)。（8）耦合場分析。考慮兩種或兩種以上物理場的交叉作用和相互影響(耦合)。3.3 有限元法的應(yīng)用的熱點和前景隨著FEM研究的深入，過去不能解決或能解決但求解精度不高的問題，都得到了新的解決方案。傳統(tǒng)的FEM假設(shè)：分析域是無限的；材料是同質(zhì)的,甚至在大部分的分析中認(rèn)為材料是各向同性的;對邊界條件簡化處理。但實際問題往往是分析域有限、材料各向異性或邊界條件難以確定等。為解決這類問題，美國的heofanis Strouboulis & LinZhang等人提出用GFEM (Generalized Finite Element Method)解決分析域內(nèi)含有大量孔洞特征的問題；比利時的Nguyen Dang Hung和越南的Tran Thanh Ngoc提出用HSM (the Hy