1、三角形“四心”的向量表示,經(jīng)典原創(chuàng) 最新修改版 曾維勇,1,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,三角形三邊的中垂線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)為三角形外接圓的圓心，稱外心。,證明外心定理,證明: 設(shè)AB、BC的中垂線交于點(diǎn)O， 則有OA=OB=OC， 故O也在AC的中垂線上， 因?yàn)镺到三頂點(diǎn)的距離相等， 故點(diǎn)O是ABC外接圓的圓心 因而稱為外心,O,O,2,點(diǎn)評(píng)：本題將平面向量模的定義與三角形外心 的定義及性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合。,O是,的外心,B,3,A,B,C,A,B,C,A,B,C,三角形三邊上的高交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫三角形的垂心。,D,E,F,證明:

2、AD、BE、CF為ABC三條高， 過點(diǎn)A、B、C分別作對(duì)邊的平行線 相交成ABC，AD為BC 的中垂線；同理BE、CF也分別為 AC、AB的中垂線， 由外心定理，它們交于一點(diǎn)， 命題得證,證明垂心定理,A,B,C,4,例1如圖，AD、BE、CF是ABC的三條高， 求證：AD、BE、CF相交于一點(diǎn)。,又點(diǎn)D在AH的延長(zhǎng)線上，AD、BE、CF相交于一點(diǎn),證：設(shè)BE、CF交于一點(diǎn)H，,5,證：設(shè),化簡(jiǎn)：,同理：,從而,6,是ABC的邊BC的高AD 上的任意向量，過垂心.,7,例3 O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)， 動(dòng)點(diǎn) P 滿足,則P的軌跡一定通過ABC的 _,在ABC的邊BC的

3、高AD上.,P的軌跡一定通過ABC的垂心.,所以，,時(shí)，,解:,8,解:,例4.（2005全國(guó)）點(diǎn)O是ABC所在平面上一點(diǎn)， 若 ， 則點(diǎn)O是ABC的（ ） （A）三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn) （B）三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) （C）三條中線的交點(diǎn) （D）三條高線的交點(diǎn),則O在CA邊的高線上,同理可得O在CB邊的高線上.,D,9,5. (2005湖南) P是ABC所在平面上一點(diǎn)，若 則P是ABC的（ ） A外心B內(nèi)心C重心D垂心,D,解:,故P是ABC的垂心.,10,A,B,C,A,B,C,A,B,C,三角形三邊中線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫三角形的重心。,證明重心定理,E,F,D,G,11,是BC邊上的中

4、線AD上的任意向量，過重心.,5.,12,證明:,連結(jié)OE，則OD=DE， BD=DC，,作平行四邊形OBEC.,D是BC的中點(diǎn)， AD為BC邊上的中線.,故O為ABC的重心.,已知O為ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且,求證：O為ABC的重心.,E,D,O,OE與OA共線.,13,例1 P是ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn).G是ABC的重心,思考： 若O為ABC外心，G是ABC的重心，則,O為ABC的內(nèi)心、垂心呢？,14,例2證明：三角形重心與頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的兩倍,證明:,想想看？,15,B,16,2009年海南、寧夏理數(shù)卷的第9題:,例4.,C,17,A,Q,也可特取正三角形！,18,B,19,A,

5、B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,三角形三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)為三角形內(nèi)切圓的圓心，稱內(nèi)心。,證明內(nèi)心定理,證明 : 設(shè)A、B的平分線相交于I, 過I作IDBC，IEAC， IFAB，則有IE=IF=ID 因此I也在C的平分線上， 即三角形三內(nèi)角平分線 交于一點(diǎn),I,I,E,F,D,H,內(nèi)角平分線定理：,20,1.設(shè)a,b,c是三角形的三條邊長(zhǎng)，O是三角形ABC內(nèi)心的 充要條件是,21,2003天津理科高考題,B,是BAC的角平分線上的任意向量，過內(nèi)心；,2. O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)， 動(dòng)點(diǎn)P滿足 則P的軌跡一定通過ABC的（ ） A外心

6、 B內(nèi)心 C重心 D垂心,22,2. O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)， 動(dòng)點(diǎn)P滿足 則P的軌跡一定通過ABC的（ ） A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心,A,C,B,M,N,F,P,1,1,菱形AMFN,P,P,B,23,傳統(tǒng)解法：,例3.（2005全國(guó)I）ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，且 ，則實(shí)數(shù)m= .,1,也可特取直角三角形!,24,例3.（2005全國(guó)卷理科）第15題 ABC的外接圓圓心為O，兩條邊上的高的交 點(diǎn)為H， 則實(shí)數(shù)m = ,O,(H),1,分析：如果用一般的三角形解決本題較難，不妨設(shè)ABC是 以C為直角的直角三角形，則O為斜邊AB上的中點(diǎn)

7、， H與C重合， 于是得出m1.,點(diǎn)評(píng)：這種通過特殊值確定一般性結(jié)果的思路還有很多， 如歸納、猜想、證明的方法，過定點(diǎn)問題，定值 問題也可以用這樣的思路。,25,例3.（2005全國(guó)卷理科）第15題 ABC的外接圓圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn) 為H， 則實(shí)數(shù)m = ,也可特取正三角形來思考!,1或mR,26,參考：若O、H分別是ABC的外心和垂心.,求證,證明 ： 若ABC的垂心為H，外心為O，如圖. 連BO并延長(zhǎng)交外接圓于D，連結(jié)AD，CD. ,又垂心為H，,AHCD，CHAD， 四邊形AHCD為平行四邊形， ,故,想想看？,27,4.（2006陜西）已知非零向量 與 滿足 則ABC為（ ） A三邊均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰非等邊三角形 D等邊三角形,解法一：根據(jù)四個(gè)選擇項(xiàng)的特點(diǎn)，本題可采用驗(yàn)證法來處理. 不妨先驗(yàn)證等邊三角形，剛好適合題意，則可同時(shí) 排除其他三個(gè)選擇項(xiàng)，故答案必選 D.,