1、數(shù) 學(xué) (理) 試卷（八）第 卷（選擇題共分）一、選擇題：本大題共小題，每小題分，共分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項已知全集 UR ， A x 1 x 2 ， B x x0 ，則 CU ( A B) x 0 x 2 x x 0 x x1 x x1復(fù)數(shù) 1i1i1i1i已知等比數(shù)列 an 的公比為，且 a1a35 ，則 a2a4 的值為 如圖是一正方體被過棱的中點、和頂點、的兩個截面截去兩個角后所得的幾何體，則該幾何體的主視圖為矚慫潤厲釤瘞睞櫪廡賴賃軔朧。 若 a (, )， b ( 1)， 則“ ”是 “a b ”的3充分不必要條件必要不充分條件充要條件既不充分也不必要條件x

2、 , x1右圖是計算函數(shù)y 0,1 x 2 的值的程序框圖，則x2, x2在 、 、 處應(yīng)分別填入的是 yx ， y0 ， y2x yx ， yx2 ， y0 y0 ， yx2 ， yx y0 ， yx ， yx 2在極坐標(biāo)系中，定點A 1,，動點 B 在直線cossin02上運動，當(dāng)線段AB 最短時，動點B 的極坐標(biāo)是 (2 , ) ( 2 , 3 )2424開始輸入 x否x1是x2是輸出 y結(jié)束否1 / 11 (3 ,) (3 , 3 )2424已知三棱錐 ABCO ， OA、OB、OC 兩兩垂直且長度均為，長為的線段MN 的一個端點 M 在棱 OA 上運動，另一個端點N 在BCO 內(nèi)運動

3、（含邊界） ，則 MN 的中點 P 的軌跡與三棱錐的面所圍成的幾何體的體積為或 36666 36或 36666第 卷（非選擇題 共分）二、填空題：本大題共小題，每小題分，共分把答案填在題中橫線上命題：xR, x 20 的否定是函數(shù) f ( x)2 cos2 x 1 的最小正周期為；單調(diào)遞減區(qū)間為如圖是甲、乙兩班同學(xué)身高（單位：）數(shù)據(jù)的莖葉圖，則甲班同學(xué)身高的中位數(shù)為；若從乙班身高不低于170cm 的同學(xué)中隨機抽取兩名，則身高為173cm 的同學(xué)被抽中的概率為甲班乙班已知 PA 是圓 O 的切線， 切點為 A ， PA2 AC 是圓 O 的直徑， PC 與圓 O 交于點 B ，PB 1 ，則圓

4、O 的半徑 R已知拋物線y22 px( p 0) 與雙曲線x2y 2 1 有相同的焦點F ，點 A 是兩曲線的a2b2一個交點，且AF x 軸，則雙曲線的離心率為在某條件下的汽車測試中， 駕駛員在一次加滿油后的連續(xù)行駛過程中從汽車儀表盤得到如下信息：時間油耗（升公里）可繼續(xù)行駛距離（公里）：注： 油耗加滿油后已用油量汽車剩余油量， 可繼續(xù)行駛距離加滿油后已行駛距離當(dāng)前油耗平均油耗指定時間內(nèi)的用油量指定時間內(nèi)的行駛距離從以上信息可以推斷在： ：這一小時內(nèi)（填上所有正確判斷的序號）行駛了公里；2 / 11行駛不足公里；平均油耗超過升公里；平均油耗恰為升公里；平均車速超過公里小時三、解答題：本大題共

5、小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程（本小題滿分分）在ABC 中， a、 b、 c分別為角 A、B、 C 所對的三邊，已知b2 +c2 a2 bc （ ）求角 A 的值；（ ）若 a3 ， cosC3c 的長，求3（本小題滿分分）如圖，四棱錐PABCD 的底面為正方形，側(cè)棱PA 底面 ABCD ，且 PAAD2 ，E, F , H分別是線段 PA, PD , AB 的中點（ ）求證： PB 平面 EFH ；（ ）求證： PD平面 AHF ；（ ）求二面角 HEFA的大小（本小題滿分分）為了參加廣州亞運會， 從四支較強的排球隊中選出人組成女子排球國家隊，隊員來源人數(shù)如下表：隊別北京上

6、海天津八一人數(shù)（ ）從這名隊員中隨機選出兩名，求兩人來自同一支隊的概率；（ ）中國女排奮力拼搏，戰(zhàn)勝韓國隊獲得冠軍若要求選出兩位隊員代表發(fā)言，設(shè)其中來自北京隊的人數(shù)為，求隨機變量的分布列，及數(shù)學(xué)期望E （本題滿分分）已知函數(shù) f ( x) x2ax b ln x （ x 0，實數(shù) a ， b 為常數(shù)）（ ）若 a1,b1，求 f (x) 在 x1處的切線方程；（ ）若 a2b ，討論函數(shù) f ( x) 的單調(diào)性（本小題滿分分）已知點 A(1,2) 是離心率為2 的橢圓 C ：x2y2 1( a b 0) 上的一點斜率為2 的2b2a2直線BD 交橢圓 C 于 B 、 D 兩點，且 A 、 B

7、、 D 三點不重合3 / 11（ ）求橢圓 C 的方程；（ ） ABD 的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值； 若不存在， 請說明理由？（ ）求證：直線AB 、 AD 的斜率之和為定值(本小題滿分分 )已 知 集 合 A a1 ,a2 , a3 , , an ， 其 中 aiR(1i n, n 2) ， l ( A)表 示 和ai a j (1 i jn) 中所有不同值的個數(shù)（ ）設(shè)集合 P 2,4,6,8 ， Q 2,4,8,16 ，分別求 l ( P) 和 l (Q) ；（ ）若集合 A 2,4,8, ,2n ，求證： l ( A)n(n 1)；2（ ） l ( A) 是否存在最小

8、值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由？數(shù)學(xué) (理 )試卷（八）參考答案一、選擇題：本大題共小題，每小題分，共分 .題號答案二、填空題：本大題共小題，每小題分，共分 .x R , x 2； k , k2 ( k Z)1.0. ； 3.3.21. 聞創(chuàng)溝燴鐺險愛氌譴凈禍測樅。三、解答題：本大題共小題，共分 .（本小題滿分分）在ABC 中， a、 b、 c分別為角 A、B、 C 所對的三邊，已知 b2 +c2a2bc （ ）求角 A 的值；cosC3（ ）若 a3 ，求 c 的長3 ，b2 +c2a2cos Ab2c2a21解：（ ）bc2bc2 分，0 AA3 分殘騖樓諍錈瀨濟(jì)溆塹籟婭

9、騍東。4 / 11A3ABC 中，3 ， a3 ，cosC（ ）在3sin C1cos2 C11633分aC,sin A由正弦定理知：sin Cc63326a sin C33csin A2分2 63 分釅錒極額閉鎮(zhèn)檜豬訣錐顧葒鈀。（本小題滿分分）如圖，四棱錐P ABCD 的底面為正方形，側(cè)棱PA 底面 ABCD ，且PA AD2 ， E, F , H分別是線段PA, PD , AB 的中點（ ）求證： PB 平面 EFH ；（ ）求證： PD平面 AHF ；（ ）求二面角 HEFA的大小解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) xyz ，A(0,0,0), B(2,0,0), C (2,2,0),D

10、 (0,2,0) ,P( 0,0,2) ， E(0,0,1) ， F (0,1,1) ，H (1,0,0) 分uuuruuur（ ）證明： PB(2,0, 2) ， EH(1,0, 1) ，uuuruuur PB 2EH , PB平面 EFH ，且 EH平面 EFH ，5 / 11 PB 平面 EFH 分uuuruuuruuur（ ）解： PD(0, 2,2)， AH(1,0,0) ， AF(0,1,1) ，uuuruuur0021(2)10,PDAFuuuruuur0120(2)00.PDAHPDAF , PDAH ，又Q AF I AHA ，PD平面 AHF 分 彈貿(mào)攝爾霽斃攬磚鹵廡詒爾膚

11、。（ ）設(shè)平面 HEF的法向量為 n( x, y, z) ,uuuruuur1) ，因為 EF(0,1,0) ， EH(1,0,ruuury0,nEFruuur則 nEHxz0, 取 n(1,0,1).又因為平面 AEF 的法向量為 m(1,0,0),uur rurr10 012cosmn,m, nurr所以| m | n |2 122 分uur r45o,m, n所以二面角 HEFA 的大小為 45 分（本小題滿分分）為了參加廣州亞運會， 從四支較強的排球隊中選出人組成女子排球國家隊，隊員來源人數(shù)如下表：隊別北京上海天津八一人數(shù)( )從這名隊員中隨機選出兩名，求兩人來自同一支隊的概率；( )

12、中國女排奮力拼搏，戰(zhàn)勝韓國隊獲得冠軍若要求選出兩位隊員代表發(fā)言，設(shè)其中來自北京隊的人數(shù)為，求隨機變量的分布列，及數(shù)學(xué)期望E解： ( ) “從這名隊員中隨機選出兩名，兩人來自于同一隊”記作事件，C42C62C32C522P( A)C29則.分18( )的所有可能取值為， ， . 分謀蕎摶篋飆鐸懟類蔣薔點鉍雜。6 / 11C14291C41C14156C426P (0)153P(1)153P(2)153C 2，C 2，C2，181818的分布列為：91566153153153分E( )0915664129 . 分153153153（本題滿分分）已知函數(shù) f ( x)x2axb ln x （ x0

13、，實數(shù) a ， b 為常數(shù)）（ ）若 a1,b1，求 f (x)在 x1處的切線方程；（ ）若 a2b ，討論函數(shù)f ( x) 的單調(diào)性解：（ ）因為 a1,b1，所以函數(shù)f ( x)x2xln x ， f (1)2又 f (x)2 x 11x ， f (1)2 分所以 y22( x1)即 f (x) 在 x 1處的切線方程為2x y0 分（ ）因為 a2b ，所以f (x)x2(2b) xb ln x ，則f (x)2x(2b)b(2xb)(x1)xx( x0)x1b令 f (x)2 ， x21分0 ，得b0f (x) 的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1) ，單調(diào)遞增區(qū)間為 (1,) ；（）當(dāng) 20

14、時，函數(shù)，即 b分b10b2 時， f ( x) ， f (x) 的變化情況如下表：（）當(dāng)2，即 0xb)b(1,)(0,( ,1)227 / 11f( x)f ( x)ZZbb,1)f ( x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為(0, )(1,) ，單調(diào)遞減區(qū)間為(所以，函數(shù)2 ，2；分b12 時，函數(shù)f ( x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,) ；分（）當(dāng) 2，即 bb12 時， f ( x) ， f ( x) 的變化情況如下表：（）當(dāng) 2，即 bx(0,1)(1,b)(b , )22f( x)f ( x)ZZ所以函數(shù) f ( x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 (0,1)( b ,)(1,b )， 2，單調(diào)遞減區(qū)間為2

15、；分綜上，當(dāng) b 0 時，函數(shù) f (x) 的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1) ，單調(diào)遞增區(qū)間為(1,) ；當(dāng) 0(0, b)(1,) ，單調(diào)遞減區(qū)間為( b ,1)b 2 時，函數(shù) f (x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為2 ，2；當(dāng)b2 時，函數(shù) f ( x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為(0, ) ；當(dāng) b2 時，函數(shù) f (x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為( b ,)(1,b)(0,1) ， 2，單調(diào)遞減區(qū)間為2 分 廈礴懇蹣駢時盡繼價騷巹癩龔。（本小題滿分分）2x2y21( ab0)已知點 A(1,2) 是離心率為 2 的橢圓 C ：b2a22 的上的一點斜率為直線BD 交橢圓 C 于 B 、 D 兩點，且 A 、 B 、

16、D 三點不重合（ ）求橢圓 C 的方程；（ ） ABD 的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值； 若不存在， 請說明理由？8 / 11（ ）求證：直線AB 、 AD 的斜率之和為定值e2c121， a2b2c2解：（ ）2a ，b2a2a 2 ， b2 ， c2x2y2124分煢楨廣鰳鯡選塊網(wǎng)羈淚鍍齊鈞。y2xb（ ）設(shè)直線的方程為y2xb2x2y244x222bxb2408b26402 2b2 2x1x22 b,x1 x2b2424BD1 ( 2 )2 x1x234364 8b268 b242，db設(shè) d 為點 A 到直線： y2xb 的距離，3S ABD1 BD d2(8b2 )b2

17、2，當(dāng)且僅當(dāng) b2 時取等號 .24因為2( 22 ,22) ，所以當(dāng) b2 時，ABD 的面積最大，最大值為2 分（ ）設(shè) D ( x1 , y1) ， B( x2 , y2 ) ，直線 AB、 AD 的斜率分別為： k AB 、 kAD ，則y12 y222x1 b22 x2b2kADkABx11x2 1x1 1x2 122x1x22bx1x2( x1x2 )1*將（ ）中 、 式代入 * 式整理得22x1x22bx1x2( x1x2 ) 1 ，即 kADkAB分鵝婭盡損鵪慘歷蘢鴛賴縈詰聾。9 / 11(本小題滿分分)已 知 集 合A a1 ,a2 , a3, , an ， 其 中aiR(

18、1i n, n 2)，l ( A)表 示 和ai a j (1 i jn)中所有不同值的個數(shù)（ ）設(shè)集合 P 2,4,6,8 ， Q 2,4,8,16 ，分別求 l ( P) 和 l (Q) ；,2n ，求證： l ( A)n(n 1)（ ）若集合 A 2,4,8,2；（ ） l ( A) 是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由？解：（ ）由 246,268,2810,4610,4812,6814,得 l ( P) 5 .由 246,2810,21618,4812,41620,81624,得 l (Q) 6 分籟叢媽羥為贍僨蟶練淨(jìng)櫧撻曉。（ ）證明：因為 aia j(1 ijC n2n(n 1)l ( A)n(n 1) .n) 最多有2個值，所以2又集合 A 2,4,8,2n ，任取 aia j , akal(1ijn,1k ln),當(dāng) jl 時 ,不妨設(shè) jl，則 aia j2a j2 j 1al akal ，即 aia jakal .當(dāng) jl , ik 時， aia jakal .因此，當(dāng)且僅當(dāng)ik, jl時，aia jak al.即所有 aia j (1ijn) 的值兩兩不同，l ( A)n(n1) .所以2分預(yù)頌圣鉉儐歲齦訝驊糴買闥齙。（ ） l ( A) 存在最小值，且最小值為2n3 不妨設(shè) a1a2a3an , 可得10 /