1、1,計(jì)算方法4 常微分方程的差分方法,航空科學(xué)與工程學(xué)院,2,收斂性與穩(wěn)定性,差分方法的基本思想: 通過(guò)離散化，將微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程(代數(shù)方程)。 合理性檢驗(yàn) 解的收斂性。 當(dāng)h=0時(shí)，yn是否會(huì)收斂到y(tǒng)(xn)?,3,收斂性問(wèn)題 若 ，則稱該方法收斂。,4,Euler方法的收斂性 Euler格式：看看,5,令yn=y(xn)，則近似值：局部截?cái)嗾`差從而存在定數(shù)C，使,6,而：式中，L是f關(guān)于y的Lipschitz常數(shù)。 存在常數(shù)L，使對(duì)于任何一對(duì)點(diǎn)(x，y1)、(x，y2)，均有不等式 成立，L稱為L(zhǎng)ipschitz常數(shù)。,7,令 ，從而有： 反復(fù)遞推有：設(shè)xn-x0=nhT(T為常數(shù))

2、，則從而,8,顯然，如果初值準(zhǔn)確，則有h0,en 0. Euler格式收斂。,9,穩(wěn)定性 每一步的計(jì)算并不嚴(yán)格準(zhǔn)確，存在計(jì)算誤差的傳播問(wèn)題擾動(dòng)。 若則稱為穩(wěn)定的。,10,穩(wěn)定性問(wèn)題的討論Euler格式和隱式Euler格式,11,Euler格式 設(shè)在節(jié)點(diǎn)值yn上有一擾動(dòng)值n，它的傳播使節(jié)點(diǎn)值yn+1上產(chǎn)生大小為n+1的擾動(dòng)值。假設(shè)Euler方法的計(jì)算過(guò)程不再引入新的誤差，則擾動(dòng)值滿足：,12,擾動(dòng)值滿足原來(lái)的差分方程，如果原差分方程的解是不增長(zhǎng)的，即有這時(shí)就能保證Euler方法的穩(wěn)定性。 從而需要 Euler格式條件穩(wěn)定,13,隱式Euler方法 由于0，從而有 與 恒成立。 隱式Euler格式

3、是恒穩(wěn)定(無(wú)條件穩(wěn)定)的,14,方程組與高階方程的情況,對(duì)方程y=f，將y、f理解為向量。 一階方程組 令xn=x0+nh，n=1，2，以yn、zn表示節(jié)點(diǎn)xn上的近似解。,15,改進(jìn)的Euler格式：預(yù)報(bào)校正,16,四階Runge-Kutta格式,17,高階微分方程(或方程組)的初值問(wèn)題，歸結(jié)為一階方程組求解。 對(duì)如下二階方程 引入z=y，則可化為一階方程的初值問(wèn)題,18,四階Runge-Kutta格式,19,邊值問(wèn)題,考察如下邊值問(wèn)題 取 設(shè)將求解區(qū)間a,b劃分為N等分，步長(zhǎng)h=(b-a)/N，節(jié)點(diǎn)xn=x0+nh(n=0,1,N)，用差商代替導(dǎo)數(shù)，可將邊值問(wèn)題離散化，導(dǎo)出如下差分方程組。,20,可整理得