1、2013年普通高等學(xué)校夏季招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(重慶卷)一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個(gè)備選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知全集U1,2,3,4,集合A1,2,B2,3,則( )A.1,3,4 B.3,4 C.3 D.4【測(cè)量目標(biāo)】集合的并集與補(bǔ)集運(yùn)算.【考查方式】先求出兩個(gè)集合的并集,再結(jié)合補(bǔ)集概念求解.【難易程度】容易 【參考答案】D【試題解析】1,2,3,而U1,2,3,4,故4，故選D2.命題“對(duì)任意,都有”的否定為( )A.對(duì)任意,都有 B.不存在,使得C.存在,使得 D.存在,使得【測(cè)量目標(biāo)】含有一個(gè)量詞的命題的否定.【考查方式】

2、根據(jù)含有一個(gè)量詞的命題的否定的方法直接求解.【難易程度】容易【參考答案】D【試題解析】全稱命題的否定是一個(gè)特稱命題(存在性命題)，故選D3.的最大值為( )A.9 B. C.3 D. 【測(cè)量目標(biāo)】函數(shù)的最值.【考查方式】利用配方法結(jié)合函數(shù)的定義域求解.【難易程度】容易【參考答案】B【試題解析】，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)取得最大值,故選B.4以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試中的成績(jī)(單位:分) .已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15,乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8,則x,y的值分別為( )A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8第4題圖 【測(cè)量目標(biāo)】莖葉圖.【考查方式】結(jié)合莖葉圖上的數(shù)據(jù)，根

3、據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的概念求解.【難易程度】容易【參考答案】C【試題解析】由甲組數(shù)據(jù)中位數(shù)為15，可得x5；而乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，可解得y8.故選C5.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( )第5題圖 A. B. C.200 D.240【測(cè)量目標(biāo)】由三視圖求幾何體的體積.【考查方式】先將三視圖還原為空間幾何體，在根據(jù)體積公式求解.【難易程度】容易【參考答案】C【試題解析】由幾何體的三視圖可得,該幾何體是一個(gè)橫放的直棱柱,棱柱底面為梯形,梯形兩底長(zhǎng)分別為2和8,高為4,棱柱的高為10,故該幾何體體積V(28)410200,故選C6.若abc,則函數(shù)f(x)(xa) (xb)(xb)(xc)(

4、xc)(xa)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間( )A. (a,b)和(b,c)內(nèi) B. (,a)和(a,b)內(nèi)C. (b,c)和(c,)內(nèi) D. (,a)和(c,)內(nèi)【測(cè)量目標(biāo)】函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷.【考查方式】利用函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值并判斷符號(hào).【難易程度】容易【參考答案】A【試題解析】由題意abc,可得f(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(ca)(cb)0.顯然f(a)f(b)0,f(b)f(c)0,所以該函數(shù)在(a,b)和(b,c)上均有零點(diǎn),故選A7.已知圓C1：(x2)2(y3)21,圓C2：(x3)2(y4)29,M,N分別是圓C1,C2上的動(dòng)點(diǎn),P為x軸上

5、的動(dòng)點(diǎn),則|PM|PN|的最小值為( )A. B. C. D. 【測(cè)量目標(biāo)】圓與圓的位置關(guān)系. 【考查方式】利用圓心坐標(biāo)和半徑，在結(jié)合對(duì)稱性求解.【難易程度】中等【參考答案】A【試題解析】圓C1,C2的圓心分別為C1,C2,由題意知|PM|PC1|1,|PN|PC2|3，|PM|PN|PC1|PC2|4，故所求值為|PC1|PC2|4的最小值.(步驟1 )又C1關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為C3(2,3),所以|PC1|PC2|4的最小值為|C3C2|4,故選A.(步驟2)8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,如果輸出s3,那么判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是( )A. B. C. D.第8題圖 【測(cè)量目標(biāo)】循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框

6、圖.【考查方式】利用循環(huán)結(jié)構(gòu)運(yùn)算并結(jié)合輸出結(jié)果求解.【難易程度】中等【參考答案】B【試題解析】由程序框圖可知,輸出的結(jié)果為slog23log34logk(k1)log2(k1) .由s3,即log2(k1)3,解得k7.又因?yàn)椴粷M足判斷框內(nèi)的條件時(shí)才能輸出s,所以條件應(yīng)為k7.故選B.9.( ) A. B. C. D. 【測(cè)量目標(biāo)】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,誘導(dǎo)公式.【考查方式】利用商數(shù)關(guān)系，三角恒等及角度拆分求解.【難易程度】較難【參考答案】C【試題解析】(步驟1 ).故選C. (步驟2 )10.在平面上,|1,.若|,則|的取值范圍是( )A. B. C. D. 【測(cè)量目標(biāo)】平面向量的數(shù)量積

7、運(yùn)算.【考查方式】利用所給條件轉(zhuǎn)化為以為起點(diǎn)的向量表示，再利用所給關(guān)系列出不等式求解.【難易程度】較難【參考答案】D【試題解析】因?yàn)?所以可以A為原點(diǎn),分別以,所在直線為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)B1(a,0),B2(0,b),O(x,y)，則(a,b),即P(a,b)(步驟1 )由|1,得(xa)2y2x2(yb)21.所以(xa)21y20,(yb)21x20. (步驟2 )由|,得(xa)2(yb)2，即01x21y2.(步驟3 )所以x2y22，即.所以|的取值范圍是,故選D.(步驟4 )二、填空題：本大題共6小題，考生作答5小題，每小題5分，共25分把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上

8、11.已知復(fù)數(shù)(i是虛數(shù)單位),則|z|_.【測(cè)量目標(biāo)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算.【考查方式】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再利用定義求解.【難易程度】容易【參考答案】【試題解析】，.12.已知是等差數(shù)列,公差,為其前項(xiàng)和,若成等比數(shù)列,則_.【測(cè)量目標(biāo)】等差數(shù)列的前項(xiàng)和，等比數(shù)列性質(zhì). 【考查方式】利用等比中項(xiàng)及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解.【難易程度】中等【參考答案】64【試題解析】由a11且a1，a2，a5成等比數(shù)列,得a1(a14d)(a1d)2,解得d2,故S88a1d64.13.從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個(gè)抗震救災(zāi)醫(yī)療小組,則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是_(用

9、數(shù)字作答)【測(cè)量目標(biāo)】排列組合及其應(yīng)用.【考查方式】利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理,組合數(shù)公式求解.【難易程度】中等【參考答案】590【試題解析】設(shè)選骨科醫(yī)生x名,腦外科醫(yī)生y名，則需選內(nèi)科醫(yī)生(5xy)人. (步驟1 )(1)當(dāng)xy1時(shí),有種不同選法；(2)當(dāng)x1,y2時(shí),有種不同選法；(3)當(dāng)x1,y3時(shí),有種不同選法；(4)當(dāng)x2,y1時(shí),有種不同選法；(5)當(dāng)x2,y2時(shí),有種不同選法；(6)當(dāng)x3,y1時(shí),有種不同選法;(步驟2 )所以不同的選法共有120180601209020590種(步驟3 )考生注意：(14)、(15)、(16)三題為選做題,請(qǐng)從中任選兩題作答,若三題全做,則按前兩題給分1

10、4.如圖,在ABC中,C90,A60,AB20,過(guò)C作ABC的外接圓的切線CD,BDCD,BD與外接圓交于點(diǎn)E,則DE的長(zhǎng)為_(kāi)第14題圖 【測(cè)量目標(biāo)】圓的性質(zhì)的應(yīng)用.【考查方式】利用圓的幾何性質(zhì)、解三角形求解.【難易程度】中等【參考答案】5【試題解析】在RtABC中,A60,AB20,可得BC.由弦切角定理,可得BCDA60. (步驟1)在RtBCD中,可求得CD,BD15.又由切割線定理，可得CD2DEDB,可求得DE5. (步驟2)15.在直角坐標(biāo)系xOy中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.若極坐標(biāo)方程為cos 4的直線與曲線(t為參數(shù))相交于A,B兩點(diǎn),則|AB|_.【測(cè)

11、量目標(biāo)】坐標(biāo)系與參數(shù)方程.【考查方式】利用極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程求解.【難易程度】較難【參考答案】16【試題解析】由極坐標(biāo)方程cos 4,化為直角坐標(biāo)方程可得x4,而由曲線參數(shù)方程消參得x3y2，y24364,即y8,(步驟1)|AB|8(8)|16. (步驟2)16.若關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x5|x3|a無(wú)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【測(cè)量目標(biāo)】解絕對(duì)值不等式.【考查方式】利用不等式的解法求解.【難易程度】較難【參考答案】(，8【試題解析】由絕對(duì)值不等式,得|x5|x3|(x5)(x3)|8，(步驟1)不等式|x5|x3|a無(wú)解時(shí),a的取值范圍為(,8(步驟2)三、解答題：本大題共6

12、小題，共75分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17.(本小題滿分13分,(1)小問(wèn)6分,(2)小問(wèn)7分.)設(shè)f(x)a(x5)26lnx,其中aR，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線與y軸相交于點(diǎn)(0,6)(1)確定a的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值【測(cè)量目標(biāo)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值.【考查方式】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、函數(shù)的定義域、函數(shù)的單調(diào)性求解.【難易程度】容易【試題解析】(1)因f(x)a(x5)26ln x，故2a(x5).(步驟1)令x1,得f(1)16a,68a，所以曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為y16a(68a)(x1),由點(diǎn)(0,6

13、)在切線上可得616a8a6,故.(步驟2)(2)由(1)知，f(x)(x5)26ln x(x0)，x5.(步驟3)令0，解得x12,x23.當(dāng)0x2或x3時(shí),故f(x)在(0,2),(3,)上為增函數(shù);當(dāng)2x3時(shí), ,故f(x)在(2,3)上為減函數(shù).(步驟4)由此可知f(x)在x2處取得極大值f(2)6ln 2,在x3處取得極小值f(3)26ln 3. (步驟5)18.(本小題滿分13分,(1)小問(wèn)5分,(2)小問(wèn)8分.)某商場(chǎng)舉行的“三色球”購(gòu)物摸獎(jiǎng)活動(dòng)規(guī)定：在一次摸獎(jiǎng)中，摸獎(jiǎng)?wù)呦葟难b有3個(gè)紅球與4個(gè)白球的袋中任意摸出3個(gè)球,再?gòu)难b有1個(gè)藍(lán)球與2個(gè)白球的袋中任意摸出1個(gè)球.根據(jù)摸出4個(gè)球

14、中紅球與藍(lán)球的個(gè)數(shù),設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)如下：獎(jiǎng)級(jí)摸出紅、藍(lán)球個(gè)數(shù)獲獎(jiǎng)金額一等獎(jiǎng)3紅1藍(lán)200元二等獎(jiǎng)3紅0藍(lán)50元三等獎(jiǎng)2紅1藍(lán)10元其余情況無(wú)獎(jiǎng)且每次摸獎(jiǎng)最多只能獲得一個(gè)獎(jiǎng)級(jí)(1)求一次摸獎(jiǎng)恰好摸到1個(gè)紅球的概率；(2)求摸獎(jiǎng)?wù)咴谝淮蚊?jiǎng)中獲獎(jiǎng)金額X的分布列與期望E(X)【測(cè)量目標(biāo)】古典概型，離散型隨機(jī)變量的期望.【考查方式】利用概率公式求解古典概型和獨(dú)立事件的概率.【難易程度】中等【試題解析】設(shè)Ai(i0,1,2,3)表示摸到i個(gè)紅球,Bj(j0,1)表示摸到j(luò)個(gè)藍(lán)球，則Ai與Bj獨(dú)立(步驟1)(1)恰好摸到1個(gè)紅球的概率為P(A1).(步驟2)(2)X的所有可能值為0,10,50,200,

15、且P(X200)P(A3B1)P(A3)P(B1)，P(X50)P(A3B0)P(A3)P(B0)，P(X10)P(A2B1)P(A2)P(B1)，P(X0).(步驟3)綜上知X的分布列為X01050200P從而有E(X)010502004(元)(步驟4)19.(本小題滿分13分,(1)小問(wèn)5分,(2)小問(wèn)8分.)如圖,四棱錐PABCD中,PA底面ABCD,BCCD2，AC4,ACBACD,F為PC的中點(diǎn),AFPB(1)求PA的長(zhǎng)；(2)求二面角BAFD的正弦值第19題圖 【測(cè)量目標(biāo)】二面角，空間直角坐標(biāo)系.【考查方式】利用線面位置關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系求解.【難易程度】中等【試題解析】(1)

16、如圖,連接BD交AC于O,因?yàn)锽CCD,即BCD為等腰三角形.又AC平分BCD,故ACBD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,則OCCD1,而AC4,得AOACOC3,又ODCD,故A(0,3,0),B(,0,0)，C(0,1,0),D(,0,0).(步驟1)第19題圖 因PA底面ABCD,可設(shè)P(0,3,z),由F為PC邊中點(diǎn),F.(步驟2)又,(,3,)，因AFPB,故0,(步驟3)即60,(舍去)，所以|.(步驟4)(2)由(1)知(,3,0),(,3,0),(0,2,),設(shè)平面FAD的法向量為n1(x1,y1,z1),平面FAB的法向量為n2(x

17、2,y2,z2),(步驟5)由n10,n10，得(步驟6)因此可取n1(3,2)(步驟7)由n20,n20，得故可取n2(3,2)(步驟8)從而法向量n1，n2的夾角的余弦值為cosn1，n2，故二面角BAFD的正弦值為.(步驟9)20.(本小題滿分12分,(1)小問(wèn)4分,(2)小問(wèn)8分.)在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且a2b2abc2.(1)求C；(2)設(shè)cos Acos B,求的值【測(cè)量目標(biāo)】余弦定理,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.【考查方式】利用余弦定理的變形求解,借助三角恒等變換將所給等式化簡(jiǎn)求解.【難易程度】中等【試題解析】(1)因?yàn)閍2b2abc2，由余弦定理有co

18、s C，(步驟1)故.(步驟2)(2)由題意得.(步驟3)因此(tan sin Acos A)(tan sin Bcos B)，tan2sin Asin Btan (sin Acos Bcos Asin B)cos Acos B，tan2sin Asin Btan sin(AB)cos Acos B.(步驟4)因?yàn)?AB，所以sin(AB),(步驟5)因?yàn)閏os(AB)cos Acos Bsin Asin B，即sin Asin B，解得sin Asin B.(步驟6)由得tan25tan 40，解得tan 1或tan 4. (步驟7)21.(本小題滿分12分，(1)小問(wèn)4分，(2)小問(wèn)8分)

19、如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率，過(guò)左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于A,A兩點(diǎn),|AA|4.(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)取垂直于x軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P,P,過(guò)P,P作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外.若PQPQ,求圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程第21題圖 【測(cè)量目標(biāo)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,圓錐曲線中的軌跡問(wèn)題.【考查方式】利用橢圓的方程,集合性質(zhì),平面向量數(shù)量積及軌跡方程的求法求解.【難易程度】較難【試題解析】(1)由題意知點(diǎn)A(c,2)在橢圓上，則.(步驟1)從而e21.由得，從而.故該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(步驟2)(2)由橢圓的對(duì)稱性，可設(shè)又設(shè)M(x，y)是橢圓上任意一點(diǎn)，則|QM|2(xx0)2y2x22x0xx02(x2x0)2x028(x4,4)(步驟3)設(shè)P(x1，y1),由題意,P是橢圓上到Q的距離最小的點(diǎn)，因此,上式當(dāng)xx1時(shí)取最小值.(步驟4)又因x1(4,4)，所以上式當(dāng)x2x0時(shí)取最小值，從而x12x0,且|QP|28x02.因?yàn)镻QPQ，且P(x1,y1)，所以(x1x0,y1)(x1x0,y1)0，(步驟5)即(x1x0)2y120.由橢圓方程及x12x0得，解得,.(步驟6)從而|QP|28x02.故這樣的圓有兩個(gè),其標(biāo)