1、康托爾集合論集合論是19世紀(jì)70-80年代由德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立，它建立在一種無限觀“實(shí)無限”的基礎(chǔ)上。所謂“實(shí)無限”，即把“無限”作為一個(gè)已經(jīng)完成了的觀念實(shí)體來看待。例如，在集合論中用N=n：n是自然數(shù)表示全體自然數(shù)的集合就是如此。需要指出的是，在此之前的幾千年數(shù)學(xué)發(fā)展史中，占主導(dǎo)地位的是另一種無限觀，即古希臘哲學(xué)家亞里士多德所主張的“潛無限”觀念。所謂“潛無限”，是把“無限”作為一個(gè)不斷發(fā)展著的、又永遠(yuǎn)無法完成的過程來看待。例如，把自然數(shù)看成一個(gè)不斷延伸的無窮無盡的序列1，2，3，n，就是如此。集合論是數(shù)學(xué)觀念和數(shù)學(xué)方法上的一次革命性變革，由于它在解釋舊的數(shù)學(xué)理論和發(fā)展新的數(shù)學(xué)理論方面都極

2、為方便，因而逐漸為許多數(shù)學(xué)家所接受。實(shí)數(shù)理論奠定在集合論的基礎(chǔ)上，而且各種復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念都可以用“集合”概念定義出來，而各種數(shù)學(xué)理論又都可以“嵌入”集合論之內(nèi)。因此，集合論就成了全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，而且有力地促進(jìn)了各個(gè)數(shù)學(xué)分支的發(fā)展。現(xiàn)代數(shù)學(xué)幾乎所有的分支都會(huì)用到集合這個(gè)概念?？低袪柤?格奧爾格康托爾在1883年引入，是位于一條線段上的一些點(diǎn)的集合，具有許多顯著和深刻的性質(zhì)。通過考慮這個(gè)集合，康托爾和其他數(shù)學(xué)家奠定了現(xiàn)代點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)。雖然康托爾自己用一種一般、抽象的方法定義了這個(gè)集合，但是最常見的構(gòu)造是康托爾三分點(diǎn)集，由去掉一條線段的中間三分之一得出。康托爾自己只附帶介紹了三分點(diǎn)集的構(gòu)造，作

3、為一個(gè)更加一般的想法一個(gè)無處稠密的完備集的例子?？低袪柤怯刹粩嗳サ艟€段的中間三分之一而得出。將基本區(qū)間用分點(diǎn)， 與三等分，并除去中間的開區(qū)間（，）。把余下的兩個(gè)閉區(qū)間各三等分，并除去中間的開區(qū)間（，），（，）。然后再將余下的四個(gè)閉區(qū)間同法處理，如此等等。這樣便得到康托爾三分集與開集=（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）是的補(bǔ)集?？低袪柤褪怯伤羞^程中沒有被去掉的區(qū)間0, 1中的點(diǎn)組成?？低袪柸旨男再|(zhì)及證明（1）是一個(gè)閉集，不含有任何區(qū)間。這是顯然的，是任意個(gè)開集的并，所以仍是開集，是的補(bǔ)集，所以是閉集。這表明不含有任何區(qū)間的閉集是存在的。 （2）是完全集 證明：要證是完全集即證它

4、不含有孤立點(diǎn)。 假設(shè)有一孤立點(diǎn)，則存在（，）使（，）中不含中除以外的任一點(diǎn)。 所以（，），（，）。 于是將成為的某兩個(gè)區(qū)間的公共端點(diǎn)，但由于的做法是不可能的。 所以不存在這樣的點(diǎn)，與假設(shè)矛盾，所以得證是完全集。（3）是不可列的證明：假設(shè)是可列的，將中點(diǎn)編號(hào)成點(diǎn)列，也就是說，中任一點(diǎn)必在上述點(diǎn)列中出現(xiàn)。顯然，與中應(yīng)有一個(gè)不含有，用表示這個(gè)閉區(qū)間。將三等分后所得的左與右兩個(gè)閉區(qū)間中，應(yīng)有一個(gè)不含，用表示它。然后用表示三等分時(shí)不含的左或右的那個(gè)閉區(qū)間，如此等等。這樣，根據(jù)歸納法，得到一個(gè)閉區(qū)間列。由所述取法知， ，kN，同時(shí)，易見的長(zhǎng)為0（k）。于是根據(jù)數(shù)學(xué)分析中區(qū)間套定理，存在點(diǎn)，kN?？墒鞘堑鹊?/p>

5、端點(diǎn)集的聚點(diǎn)，從而是閉集的聚點(diǎn)，故。由于上面已指出，kN，故，kN。這是一個(gè)矛盾。故不可列。（4）的勢(shì)等于與同勢(shì)證明：引進(jìn)中小數(shù)的三進(jìn)表示來考察區(qū)間（，）中每個(gè)點(diǎn)x可表示成x=0.1，其中，是0，1，2三個(gè)數(shù)字中之一。這區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)均有兩種表示，規(guī)定采用（不出現(xiàn)數(shù)字1）：=0.0222，=0.2000，區(qū)間（，），（，）中的點(diǎn)x可表示成x=0.01或x=0.21，其中，是0，1，2中任一數(shù)字。而區(qū)間端點(diǎn)則采用（不出現(xiàn)數(shù)字1）：=0.0022，=0.2022，=0.0200，=0.2200。如此等等。根據(jù)歸納法分析可知，依上述規(guī)定，中的點(diǎn)的三進(jìn)表示中必有一位數(shù)字是1，且只有這樣的點(diǎn)才屬于。因而與集A=0. ：每個(gè)0，2成一一對(duì)應(yīng)。且A顯然與對(duì)等，故A的勢(shì)為，從而的勢(shì)為。（5）m=0證明：因?yàn)槭情_集由測(cè)度的定義有 m=+=1 m=1- m=1-1=0 我們得到是一個(gè)測(cè)度為零的不可列集。（6）是稀疏集因?yàn)?，不能包含R中的任何