1、利用“隱圓”解決幾何問題光谷實驗中學(xué) 江芳幾何定值與最值問題，一般都是置于動態(tài)背景下，動與靜是相對的，我們可以研究問題中的變量，考慮當(dāng)變化的元素運動到特定的位置，使圖形變化為特殊圖形時，研究的量取得定值與最值在一個平面內(nèi)，線段OA繞它的一個固定的端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓。從畫圓的過程可以看出：（1）圓上各點到定點（圓心O）的距離都等于定長（半徑r）；（2）到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上。 根據(jù)圓的定義，在解決幾何問題中，只要觀察出幾個點到同一個定點的距離相等，這里常常隱藏了一個圓，我們就可以以這個定點為圓心，以這個距離為半徑作出這個隱藏的圓，從而幫助我們解決問題。

2、因為這個圓沒有畫出，因此我們把它稱為“隱圓”。筆者談一談利用“隱圓”解決幾何中的一些常見的問題。一利用“隱圓”求幾何的最值幾何中的最值近年廣泛出現(xiàn)于中考中，成為中考的熱點問題這是由于這類問題具有很強的探索性(目標(biāo)不明確)，解題時需要運用動態(tài)思維、數(shù)形結(jié)合、特殊與一般相結(jié)合、邏輯推理與合情想象相結(jié)合等思想方法幾何中的最值問題是指在一定的條件下，求平面幾何圖形中某個確定的量(如線段長度、角度大小、圖形面積)等的最大值或最小值，求幾何最值問題的基本方法有： 1極端位置法； 2幾何定理(公理)法；3“三角函數(shù)”法等例1.（武漢市2013年中考第16題）如圖，E、F是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿

3、足AE=DF,連接CF交BD與點G, 連接BE交AG與點H,若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是_.思路點撥：易證ABEDCF, ABGCBG則EBC=FCB=BAG=AEB,可證AHB=900，取AB的中點O,有OH=OA=OB,故H點在以AB為直徑的圓O上，當(dāng)H點在DO與圓O的交點時取得最小值-1.注：本題求最值是應(yīng)用的極端位置法。D點是定點，H點是動點，主要是找H點運動的極端位置，直線DO與圓O的交點是H點的極端位置。例2.如圖，ABC中，ABC=90, AB=6，BC=8，O為AC的中點，過O作OEOF,OE,OF分別交射線AB,BC于E、F, 則EF的最小值為_.思路點撥：取

4、EF的中點G，連接OG、BG、BO，ABC=EOF=900則GO=GB=GE=GF,則B、E、F、O在以G為圓心，以EF為直徑的圓上，EF=GB+GO，E、F點分別在AB、AC上運動，且滿足EOF=900,當(dāng)G點在BO上時，GB+GO最小，等于BO,即EF的最小值是BO.而OB=AC=5，因此EF的最小值是5.注：本題求最值是應(yīng)用幾何公理法，即應(yīng)用“兩點之間，線段最短”的公理，來求EF的最小值。例3.如圖，xOy=45，一把直角三角形ABC的兩個頂點A,B分別在Ox，Oy上移動，其中AB=10，點O到AB的距離的最大值為（ ）思路點撥：過A、O、B三點作O,過點O、O分別作AB的垂線，垂足為點

5、E、F，過O作OGOE,連接OO,根據(jù)垂線段最短可知，OGOO,易證OF=GE,則OE=OG+GEOO+OF,當(dāng)G點與O點重合時(此時E點與F點也重合)，OE取得最大值，連接OA, AOE=450,AE=BE=oE=5,OA=OO=5,OE的最大值是5+5注：本題求最值是應(yīng)用幾何公理法，即應(yīng)用“垂線段最短”的公理，來求EO的最大值。二利用隱圓求變量的取值范圍利用隱圓求變量的取值范圍，實際上可轉(zhuǎn)化為求最值，即求出變量的最大值和最小值，再進一步確定變量的取值范圍。例4. （武漢市2012中考題第16題）在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（3.0），點B為y軸正半軸上的一點，點C是第一象限內(nèi)一點，且A

6、C=2設(shè)tanBOC=m，則m的取值范圍是 思路點撥：本題實際就是求m的最大值或最小值，A點是定點，C點是動點,且AC=2,故C點在以A為圓心，2為半徑的圓上，而點C是第一象限內(nèi)一點，所以點C在切點M處BOC最小，此時tanBOC=，當(dāng)點C在G、F時，tanBOC為無窮大，m注：本題求最值是應(yīng)用的極端位置法。本題C點的極端位置是過O點做圓A的切線的切點為M、N,N點不符合題意。例5. .如圖，已知A、B兩點的坐標(biāo)分別為（8,0）、（0，-6），C的坐標(biāo)為（0，7），點P是坐標(biāo)平面內(nèi)一個動點，且PC=5，線段PB與x軸交于點D,則ABD面積的最大值是_.注：本題求最值是應(yīng)用的也極端位置法。本題P

7、點的極端位置是過B點做圓C的切線的切點為G、H，P的點在G點時，ABD面積的最大，P的點在H點時，ABD面積的最小。三利用隱圓求弧長，角度有些平面幾何題,用常規(guī)方法求解難度很大,技巧性強,且不易奏效.但若能針對題目的本質(zhì)特征,恰當(dāng)?shù)禺嫵鲭[藏的圓,巧妙地運用圓的有關(guān)知識找到解題捷徑,往往可化難為易,化繁為簡.例6.如圖，四邊形ABCD中，ACD=ADB=90，ADC=25, 則ABC=_思路點撥：以AB為直徑作E，則ABC=ADC=25注：本題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)EA=EB=EC=ED,構(gòu)造E.例7. （武漢市2013年中考第16題）如圖，A與B外切于點D，PC、PD、PE分別是圓的切線，C、D、E是切點

8、，若CED=x0, ECD=y0, B的半徑為R，則弧DE的長度是 A. B. C. D. 思路點撥: 由切線長定理可知：PC=PD=PE,點C、D、E在P上，則DPE=2ECD =2 y0, BDP=BEP=900, DBE=1800-2 y0,弧DE的長度是注：本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)PC=PD=PE,構(gòu)造P例8.(2013年武昌區(qū)中考模擬題1)如圖，已知直線l經(jīng)過圓O的圓心O，P是半徑OM上一動點，當(dāng)半徑OM繞點O旋轉(zhuǎn)時，總有點P到點O的距離等于點M到直線l的距離，若OM=10cm,則當(dāng)OM繞點O旋轉(zhuǎn)一周時，點P運動的路程為_.思路點撥：過P點作PFOM交圓O與點F，連接OF，取OF的中點G,有O