1、第4章 概率分布,統(tǒng)計笑話之一(統(tǒng)計學(xué)家),三個教授（一個物理學(xué)家、一個化學(xué)家和一個統(tǒng)計學(xué)家）被召到院長辦公室，他們剛剛坐定就發(fā)現(xiàn)一個廢紙簍著火了。物理學(xué)家說：“我知道怎么辦，把材料溫度降至可燃溫度以下，火自然就滅了?！?化學(xué)家不同意，“不對，必須先切斷氧氣的供應(yīng)，缺少了反應(yīng)物，火才會滅?！闭?dāng)物理學(xué)家和化學(xué)家爭論不休的時候，他們驚訝得發(fā)現(xiàn)統(tǒng)計學(xué)家跑來跑去點燃一個又一個廢紙簍。 “你在干什么？！”統(tǒng)計學(xué)家答道：“我正在做抽樣檢驗！”,第 4 章 概率分布,4.1 度量事件發(fā)生的可能性 4.2 隨機變量的概率分布 4.3 由正態(tài)分布導(dǎo)出的幾個重要分布 4.4 樣本統(tǒng)計量的概率分布 4.5 統(tǒng)計量

2、的標(biāo)準(zhǔn)誤差,學(xué)習(xí)目標(biāo),概率、隨機變量、總體分布、樣本分布、抽樣分布 計算隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差 用Excel計算分布的概率 理解抽樣分布與總體分布的關(guān)系 由正態(tài)導(dǎo)出的幾個重要分布 標(biāo)準(zhǔn)誤差的計算,4.1 度量事件發(fā)生的可能性,事件的概率 概率的統(tǒng)計定義和主觀概率定義,事件的概率,事件的概率(probability),事件A的概率是對事件A在試驗中出現(xiàn)的可能性大小的一種度量 表示事件A出現(xiàn)可能性大小的數(shù)值 事件A的概率表示為P(A),概率的統(tǒng)計定義,概率的統(tǒng)計定義, 在相同條件下進(jìn)行n次隨機試驗，事件A出現(xiàn) m 次，則比值 m/n 稱為事件A發(fā)生的頻率。隨著n的增大，該頻率圍繞某一常數(shù)P上下擺

3、動，且波動的幅度逐漸減小，取向于穩(wěn)定，這個頻率的穩(wěn)定值即為事件A的概率，記為,事件的概率,例如，投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面和反面的頻率， 隨著投擲次數(shù) n 的增大，出現(xiàn)正面和反面的頻率 穩(wěn)定在1/2左右,概率的統(tǒng)計定義 (例題分析),【例】：某工廠為節(jié)約用電，規(guī)定每天的用電量指標(biāo) 為1000度。按照上個月的用電記錄，30天中有12天的 用電量超過規(guī)定指標(biāo)，若第二個月仍沒有具體的節(jié)電 措施，試問該廠第一天用電量超過指標(biāo)的概率。 解：上個月30天的記錄可以看作是重復(fù)進(jìn)行了30次 試驗，試驗A表示用電超過指標(biāo)出現(xiàn)了12次。根據(jù)概 率的統(tǒng)計定義有,主觀概率定義,主觀概率定義,對一些無法重復(fù)的試驗，確定其結(jié)

4、果的概率只能根據(jù)以往的經(jīng)驗人為確定 概率是一個決策者對某事件是否發(fā)生，根據(jù)個人掌握的信息對該事件發(fā)生可能性的判斷 例如，我認(rèn)為2003年的中國股市是一個盤整年,4.2 隨機變量的概率分布,4.2.1 隨機變量及其概括性度量 4.2.1離散型隨機變量的概率分布 4.2.3連續(xù)型隨機變量的概率分布,4.2.1 隨機變量及其概括性度量,隨機變量的概念,隨機變量(random variables),一次試驗的結(jié)果的數(shù)值性描述 一般用 X、Y、Z 來表示 例如: 投擲兩枚硬幣出現(xiàn)正面的數(shù)量 根據(jù)取值情況的不同分為離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量,離散型隨機變量(discrete random variab

5、les),隨機變量 X 取有限個值或所有取值都可以逐個列舉出來 X1 , X2， 以確定的概率取這些不同的值 離散型隨機變量的一些例子,連續(xù)型隨機變量(continuous random variables),隨機變量 X 取無限個值 所有可能取值不可以逐個列舉出來，而是取數(shù)軸上某一區(qū)間內(nèi)的任意點 連續(xù)型隨機變量的一些例子,4.2.2離散型隨機變量的概率分布,離散型隨機變量的概率分布,列出離散型隨機變量X的所有可能取值 列出隨機變量取這些值的概率 通常用下面的表格來表示,P(X =xi)=pi稱為離散型隨機變量的概率函數(shù) pi0,離散型隨機變量的概率分布 (例題分析),【例1】如規(guī)定打靶中域得

6、3分，中域得2分，中域得1分，中域外得0分。今某射手每100次射擊，平均有30次中域，55次中域，10次中，5次中域外。則考察每次射擊得分為0,1,2,3這一離散型隨機變量，其概率分布為,離散型隨機變量的概率分布(01分布),一個離散型隨機變量X只取兩個可能的值 例如，男性用 1表示，女性用0表示；合格品用 1 表示，不合格品用0表示 列出隨機變量取這兩個值的概率,離散型隨機變量的概率分布 (01分布),【例2】已知一批產(chǎn)品的次品率為p0.05，合格率為q=1-p=1-0.5=0.95。并指定廢品用0表示，合格品用1表示。則任取一件為廢品或合格品這一離散型隨機變量，其概率分布為,離散型隨機變量

7、的概率分布(均勻分布),一個離散型隨機變量取各個值的概率相同 列出隨機變量取值及其取值的概率 例如，投擲一枚骰子，出現(xiàn)的點數(shù)及其出現(xiàn)各點的概率,離散型隨機變量的概率分布 (均勻分布),【例3】投擲一枚骰子，出現(xiàn)的點數(shù)是個離散型隨機變量，其概率分布為,離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差,離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望(expected value),在離散型隨機變量X的一切可能取值的完備組中，各可能取值xi與其取相對應(yīng)的概率pi乘積之和 描述離散型隨機變量取值的集中程度 計算公式為,離散型隨機變量的方差(variance),隨機變量X的每一個取值與期望值的離差平方和的數(shù)學(xué)期望，記為D(X) 描述離散型隨機

8、變量取值的分散程度 計算公式為,離散型隨機變量的方差 (例題分析),【例4】投擲一枚骰子，出現(xiàn)的點數(shù)是個離散型隨機變量，其概率分布為如下。計算數(shù)學(xué)期望和方差,解：數(shù)學(xué)期望為：,方差為：,幾種常見的離散型概率分布,常見的離散型概率分布,二項試驗(貝努里試驗),二項分布與貝努里試驗有關(guān) 貝努里試驗具有如下屬性 試驗包含了n 個相同的試驗 每次試驗只有兩個可能的結(jié)果，即“成功”和“失敗” 出現(xiàn)“成功”的概率 p 對每次試驗結(jié)果是相同的；“失敗”的概率 q 也相同，且 p + q = 1 試驗是相互獨立的 試驗“成功”或“失敗”可以計數(shù),二項分布(Binomial distribution),進(jìn)行 n

9、 次重復(fù)試驗，出現(xiàn)“成功”的次數(shù)的概率分布稱為二項分布 設(shè)X為 n 次重復(fù)試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，X 取 x 的概率為,二項分布,顯然， 對于PX=x 0， x =1,2,n，有 同樣有 當(dāng) n = 1 時，二項分布化簡為,二項分布的數(shù)學(xué)期望和方差,二項分布的數(shù)學(xué)期望為: E ( X ) np 方差為: D ( X ) npq,二項分布 (例題分析),【例5】已知100件產(chǎn)品中有5件次品，現(xiàn)從中任取一件，有放回地抽取3次。求在所抽取的3件產(chǎn)品中恰好有2件次品的概率 解：設(shè) X 為所抽取的3件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則XB ( 3 , 0.05)，根據(jù)二項分布公式有,泊松分布(Poisson distr

10、ibution),用于描述在一指定時間范圍內(nèi)或在一定的長度、面積、體積之內(nèi)每一事件出現(xiàn)次數(shù)的分布 泊松分布的例子 一個城市在一個月內(nèi)發(fā)生的交通事故次數(shù) 消費者協(xié)會一個星期內(nèi)收到的消費者投訴次數(shù) 人壽保險公司每天收到的死亡聲明的人數(shù),泊松概率分布函數(shù), 給定的時間間隔、長度、面積、體積內(nèi)“成功”的平均數(shù) e = 2.71828 x 給定的時間間隔、長度、面積、體積內(nèi)“成功”的次數(shù),泊松概率分布的期望和方差,泊松分布的數(shù)學(xué)期望為 E ( X ) = 方差為 D ( X ) = ,泊松分布 (例題分析),【例】假定某企業(yè)的職工中在周一請假的人數(shù)X服從泊松分布，且設(shè)周一請事假的平均人數(shù)為2.5人。求

11、（1）X 的均值及標(biāo)準(zhǔn)差 （2）在給定的某周一正好請事假是5人的概率 解：(1) E(X)=2.5；D(X) = 2.5=1.581 (2),泊松分布(作為二項分布的近似),當(dāng)試驗的次數(shù) n 很大，成功的概率 p 很小時，可用泊松分布來近似地計算二項分布的概率，即,實際應(yīng)用中，當(dāng) P0.25，n20，np5時，近似效果良好,超幾何分布,二項分布只適合于重復(fù)抽樣,但實際中很少采用重復(fù)抽樣。如何采用不重復(fù)抽樣，特各次試驗并不獨立，“成功”的概率也互不相等，而且N很小或樣本量n相對于N來說較大時，這時，樣本中的“成功”的次數(shù)則服從超幾何概率分布，記作XH（n,N,M）。,用EXCEL的HYPGEOM

12、DIST函數(shù)計算超幾何分布概率,例1.從一批含有13只正品, 2只次品的產(chǎn)品中, 不放回任取3件, 求取得次品數(shù)為X的分布.,變式:從5名學(xué)生(3男2女)中安排2名學(xué)生值日, 求安排女生人數(shù)X的分布.,例2.高三(1)班的聯(lián)歡會上設(shè)計了一項游戲, 在一個口袋中裝有10個紅球, 20個白球, 這些球除顏色外完全相同, 一次從中摸出5個球, 摸到4個紅球1個白球的就中一等獎, 求中一等獎的概率.,例3.生產(chǎn)方提供50箱的一批產(chǎn)品, 其中有2箱不合格產(chǎn)品, 采購方接收該批產(chǎn)品的準(zhǔn)則是: 從該批產(chǎn)品中任取5箱產(chǎn)品進(jìn)行檢測, 若至多有1箱不合格產(chǎn)品, 便接收該批產(chǎn)品, 問: 該批產(chǎn)品被接收的概率是多少?

13、,4.3 連續(xù)型隨機變量及其分布,連續(xù)型隨機變量的概率分布,連續(xù)型隨機變量的概率分布,連續(xù)型隨機變量可以取某一區(qū)間或整個實數(shù)軸上的任意一個值 它取任何一個特定的值的概率都等于0 不能列出每一個值及其相應(yīng)的概率 通常研究它取某一區(qū)間值的概率 用數(shù)學(xué)函數(shù)的形式和分布函數(shù)的形式來描述,概率密度函數(shù)(probability density function),設(shè)X為一連續(xù)型隨機變量，x 為任意實數(shù)，X的概率密度函數(shù)記為f(x)，它滿足條件,f(x)不是概率,概率密度函數(shù), 密度函數(shù) f(x)表示X 的所有取值 x 及其頻數(shù)f(x),概率密度函數(shù), 在平面直角坐標(biāo)系中畫出f(x)的圖形，則對于任何實數(shù)

14、x1 x2，P(x1 X x2)是該曲線下從x1 到 x2的面積,概率是曲線下的面積,分布函數(shù) (distribution function),連續(xù)型隨機變量的概率也可以用分布函數(shù)F(x)來表示 分布函數(shù)定義為,根據(jù)分布函數(shù)，P(aXb)可以寫為,分布函數(shù)與密度函數(shù)的圖示,密度函數(shù)曲線下的面積等于1 分布函數(shù)是曲線下小于 x0 的面積,連續(xù)型隨機變量的期望和方差,連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望為 方差為,均勻分布,均勻分布(uniform distribution),若隨機變量X的概率密度函數(shù)為 稱X在區(qū)間a ,b上均勻分布 數(shù)學(xué)期望和方差分別為,正態(tài)分布,正態(tài)分布(normal distribut

15、ion),1.描述連續(xù)型隨機變量的最重要的分布 2.可用于近似離散型隨機變量的分布 例如: 二項分布 3.經(jīng)典統(tǒng)計推斷的基礎(chǔ),概率密度函數(shù),f(x) = 隨機變量 X 的頻數(shù) = 總體方差 =3.14159; e = 2.71828 x = 隨機變量的取值 (- x ) = 總體均值,正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì),概率密度函數(shù)在x 的上方，即f (x)0 正態(tài)曲線的最高點在均值，它也是分布的中位數(shù)和眾數(shù) 正態(tài)分布是一個分布族，每一特定正態(tài)分布通過均值的標(biāo)準(zhǔn)差來區(qū)分。 決定曲線的高度，決定曲線的平緩程度，即寬度 曲線f(x)相對于均值對稱，尾端向兩個方向無限延伸，且理論上永遠(yuǎn)不會與橫軸相交 正態(tài)曲線下的總

16、面積等于1 隨機變量的概率由曲線下的面積給出, 和 對正態(tài)曲線的影響,正態(tài)分布的概率,概率是曲線下的面積!,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(standardize the normal distribution),一般的正態(tài)分布取決于均值和標(biāo)準(zhǔn)差 計算概率時 ，每一個正態(tài)分布都需要有自己的正態(tài)概率分布表，這種表格是無窮多的 若能將一般的正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，計算概率時只需要查一張表,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù),標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù),任何一個一般的正態(tài)分布，可通過下面的線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù),標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的使用,將一個一般的轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 計算概率時 ，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)

17、概率分布表 對于負(fù)的 x ，可由 (-x) x得到 對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即XN(0,1)，有 P (a X b) b a P (|X| a) 2 a 1 對于一般正態(tài)分布，即XN( , )，有,標(biāo)準(zhǔn)化的例子 P(5 X 6.2),標(biāo)準(zhǔn)化的例子P(2.9 X 7.1),一般正態(tài)分布,用EXCEL中的NORMDIST函數(shù)計算正態(tài)分布的概率 用EXCEL中的NORMSINV函數(shù)計算概率為a時標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的反函數(shù),正態(tài)分布(例題分析),【例】設(shè)XN(0，1)，求以下概率： (1) P(X 2)； (3) P(-12)=1- P(2 X)=1-0.9973=0.0227 (3) P(-1X 3)= P(X

18、 3)- P(X -1) = (3)- (-1)= (3) 1-(1) = 0.9987-(1-0.8413)=0.8354 (4) P(| X | 2) = P(-2 X | 2)= (2)- (-2) = (2)- 1-(2)=2 (2)- 1=0.9545,正態(tài)分布 (例題分析),【例】設(shè)XN(5，32)，求以下概率 (1) P(X 10) ； (2) P(2X 10) 解： (1),(2),數(shù)據(jù)的正態(tài)性評估,用SPSS繪制正態(tài)概率圖:,超幾何分布,超幾何分布,設(shè)一批產(chǎn)品共N件，其中有M件不合格，從中按不放回任意取出n件，其中不格品數(shù)X是一個隨機變量，它的可能取值是0，1，2，min（n

19、，N），可以導(dǎo)出X的分布列為： x=1，2，3，min（n，N） 這種概率分布稱為超幾何分布。 當(dāng)N很大，n相對較小時，超幾何分布近似于二項分布。,返回,超幾何分布(舉例),【例】假定有10支股票,其中有3支購買后可以獲利,另外7支購買后將會虧損.如果你打算從10支股票中選擇4支購買,但你并不知道哪3支是獲利的,哪7支是虧損的. 求:(1)有3支能獲利的股票都被你選中的概率有多大? (2)3支能獲利的股票中有2支被你選中的概率有多大?,解:設(shè)N=10，M=3，n=4,二項分布的正態(tài)近似,二項分布的正態(tài)近似,當(dāng)n 很大時，二項隨機變量X近似服從正態(tài)分布Nnp , np(1-p) 對于一個二項隨機

20、變量X，當(dāng)n很大時，求 P(x1Xx2)時可用正態(tài)分布近似為,為什么概率是近似的,增加的部分與減少的部分不一定相等,二項分布的正態(tài)近似（實例）,【例】100臺機床彼此獨立地工作，每臺機床的實際工作時間占全部工作時間的8%。求 (1)任一時刻有7080臺機床在工作的概率 (2)任一時刻有80臺以上機床在工作的概率 解：設(shè)X表示100機床中工作著的機床數(shù)，則XB(100,0.8)?，F(xiàn)用正態(tài)分布近似計算，np=80，npq=16 (1),(2),4.3由正態(tài)導(dǎo)出的幾個重要的分布,4.3.1 2分布 4.3.2 t分布 4.3.3 F分布,由阿貝(Abbe) 于1863年首先給出，后來由海爾墨特(He

21、rmert)和卡皮爾遜(KPearson) 分別于1875年和1900年推導(dǎo)出來 設(shè) ，則 令 ，則 Y 服從自由度為1的2分布，即 當(dāng)總體 ，從中抽取容量為n的樣本，則,4.3.1 2分布(2 distribution),分布的變量值始終為正 分布的形狀取決于其自由度n的大小，通常為不對稱的正偏分布，但隨著自由度的增大逐漸趨于對稱 期望為：E(2)=n，方差為：D(2)=2n(n為自由度) 可加性：若U和V為兩個獨立的2分布隨機變量，U2(n1)， V2(n2),則U+V這一隨機變量服從自由度為n1+n2的2分布,2分布(性質(zhì)和特點),(c2)分布(圖示),用EXCEL中的CHIDIST函數(shù)

22、計算c2分布的右尾概率 用EXCEL中的CHIINV函數(shù)計算概率給定右尾概率和自由度時相應(yīng)的反函數(shù)值c2值,4.3.2 t 分布( t distribution),t 分布的提出者是WILLIAM GOSSET，由于他經(jīng)常用筆名“student”發(fā)表文章。用t表示樣本均值標(biāo)準(zhǔn)化后的新隨機變量，因此稱為t 分布，也稱學(xué)生分布。,t 分布( t distribution),t分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個特定的t分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，t分布也逐漸趨于正態(tài)分布,利用EXCEL中的TDIST函數(shù)可以計算給定t值和自由度時t分布的概率值，利

23、用TINV函數(shù)可以計算給定概率和 自由度的相應(yīng)的t值。,由統(tǒng)計學(xué)家費舍(R.A.Fisher) 提出的，以其姓氏的第一個字母來命名的 設(shè)若U為服從自由度為n1的2分布，即U2(n1)，V為服從自由度為n2的2分布，即V2(n2),且U和V相互獨立，則 稱F為服從自由度n1和n2的F分布，記為,4.3.3 F分布(F distribution),F分布(圖示), 不同自由度的F分布,利用EXCEL中的FDIST函數(shù)可以計算給定F值和自由度n1和n2時F分布的右尾概率，利用FINV函數(shù)可以計算給定右尾概率與自由度n1和n2時的相應(yīng)的F值。,4.4 樣本統(tǒng)計量的概率分布,4.4.1 三種不同性質(zhì)的分

24、布 4.4.2 樣本統(tǒng)計量的抽樣分布,4.4.1 三種不同性質(zhì)的分布,總體分布 樣本分布 抽樣分布,總體中各元素的觀察值所形成的分布 分布通常是未知的 可以假定它服從某種分布,總體分布(population distribution),一個樣本中各觀察值的分布 也稱經(jīng)驗分布 當(dāng)樣本容量n逐漸增大時，樣本分布逐漸接近總體的分布,樣本分布(sample distribution),樣本統(tǒng)計量的概率分布 是一種理論概率分布 隨機變量是 樣本統(tǒng)計量 樣本均值, 樣本比例，樣本方差等 結(jié)果來自容量相同的所有可能樣本 提供了樣本統(tǒng)計量長遠(yuǎn)我們穩(wěn)定的信息，是進(jìn)行推斷的理論基礎(chǔ)，也是抽樣推斷科學(xué)性的重要依據(jù),

25、抽樣分布 (sampling distribution),抽樣分布 (sampling distribution),4.4.2 樣本統(tǒng)計量的抽樣分布,樣本均值的抽樣分布 樣本比例的抽樣分布 抽樣方差的抽樣分布,樣本均值的抽樣分布,容量相同的所有可能樣本的樣本均值的概率分布 一種理論概率分布 進(jìn)行推斷總體總體均值的理論基礎(chǔ),樣本均值的抽樣分布,樣本均值的抽樣分布(例題分析),【例】設(shè)一個總體，含有4個元素(個體) ，即總體單位數(shù)N=4。4 個個體分別為x1=1、x2=2、x3=3 、x4=4 ?？傮w的均值、方差及分布如下,均值和方差,樣本均值的抽樣分布 (例題分析), 現(xiàn)從總體中抽取n2的簡單隨機樣本，在重復(fù)抽樣條件下，共有42=16個樣本。所有樣本的結(jié)果為,樣本均值的抽樣分布 (例題分析), 計算出各樣本的均值，如下表。并給出樣本均值的抽樣分布,樣本均值的分布與總體分布的比較 (例題分析), = 2.5 2 =1.25,