1、第二章 矩陣的初等變換 與線性方程組,矩陣的初等變換,初等矩陣,矩陣的秩,線性方程組的求解,第一節(jié) 矩陣的初等變換,矩陣的初等變換,矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形,解,將方程組的消元過程與增廣矩陣的變換過程進(jìn)行對比。,(1) 把方程組中第二個(gè)方程加上第一個(gè)方程的-2 倍，把第三個(gè)方程加上第一個(gè)方程的-1倍，得：,(2) 交換方程組中第二與第三個(gè)方程的位置，得,(3) 把方程組的第三個(gè)方程加上第二個(gè)方程的5倍，得,(4) 把方程組中的第三個(gè)方程兩邊同乘-1/19，得,(1),2.方程組進(jìn)行了如下三種基本變換：,1. 方程組(1)的特點(diǎn)：自上而下看，未知量個(gè)數(shù)依 次減少，成為階梯形方程組。,3. 由于這三種變換

2、都是可逆的，所以變換前后的 方程組是同解的。這三種變換稱為同解變換。,說明：,(3) 把一個(gè)方程的常數(shù)倍加到另一個(gè)方程上去。,(2) 用一個(gè)非零常數(shù)乘某一個(gè)方程；,(1) 交換兩個(gè)方程的位置；,由,得方程組的解為:,說明：,此題的求解過程分為兩步：,(2) 回代求出方程組的解。,按順序消元，使方程組變?yōu)橥獾碾A梯形方 程組；,稱這種求解線性方程組的方法為高斯消元法。,對方程組的變換可轉(zhuǎn)化為對其增廣矩陣的行作相應(yīng)的變換。注意不要打亂系數(shù)的排列順序。,逐步向上求解,以下三種變換稱為矩陣的初等行變換：,定義2.1,(1) 交換矩陣兩行。,(2) 以非零數(shù) k 乘矩陣某一行的所有元素。,(3) 把矩陣

3、某一行元素的 k 倍加到另一行對應(yīng) 的元素上去。,(第 j 行的k 倍加到第i行上,記作 ),(第 i 行乘數(shù) k , 記作 ),(對調(diào) i, j 兩行，記作 ),把定義中的行換成列，即得矩陣的初等列變換。初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。,說明：,2. 三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是同 一類型的初等變換：,的逆變換是,的逆變換是,的逆變換是,3. 矩陣A經(jīng)若干次初等變換化為B，記為,此時(shí)稱A與B等價(jià)，記為,行等價(jià)。記為,列等價(jià)。記為,顯然，等價(jià)關(guān)系滿足：自反性，對稱性，傳遞性。,例1,利用初等變換將,化為階梯形矩陣。,解,=,即為行階梯形矩陣。,特點(diǎn)：,(1) 可劃出一條階梯

4、線，線的下方全為零；,(2) 每個(gè)臺階只有一行，,稱為行最簡形矩陣。,特點(diǎn)：,在具備行階梯形矩陣特點(diǎn)的同時(shí)，非零行的非零首元為1，且其所在列的其他元素全為0。,則稱F為A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形。,定義2.3,若 矩陣A可經(jīng)若干次初等變換化為形如,的矩陣，即,說明：,等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形的特點(diǎn)是其左上角為單位陣，其 余元素全為0。,2. 等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形由m,n,r三個(gè)數(shù)唯一完全確定，其 中r就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)。,定理,任意一個(gè)矩陣總可以經(jīng)有限次初等變換(行變換和列變換) 把它化為等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形。,例2 用初等變換化矩陣,為行最簡形矩陣和標(biāo)準(zhǔn)形矩陣.,解,行最簡形矩陣,標(biāo)準(zhǔn)形矩陣,例3 設(shè),問：矩陣A 和B是否等

5、價(jià)？,先求 A、B的標(biāo)準(zhǔn)形,解,即,即,故,小 結(jié),1.初等行(列)變換,初等變換的逆變換仍為初等變換, 且類型相同,3.矩陣等價(jià)的性質(zhì)：,4. 階梯形 最簡形 標(biāo)準(zhǔn)形,練習(xí),化矩陣 為行階梯形,行最簡形，標(biāo)準(zhǔn)形,作業(yè)：73頁A-2,第二節(jié) 初等矩陣,初等矩陣的概念,初等矩陣與初等變換的關(guān)系,由單位矩陣E 經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣,三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣：,定義2.4,稱為初等矩陣。,(1) 交換矩陣兩行。,(2) 以非零數(shù) k 乘矩陣某一行的所有元素。,(3) 把矩陣某一行元素的 k 倍加到另一行對應(yīng) 的元素上去。,(1) 交換 E 中第 i，j 兩行(列) ，得到矩陣：,(2)

6、以非零數(shù) k 乘E的第 i 行(列)，得到矩陣：,(3) 把E的第 j 行的 k 倍加到第 i 行上，得到矩陣：,(1) 初等矩陣的行列式都不為零，故初等矩陣都可,(2) 初等矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣仍為初等矩陣。,注意：,逆，且各自的逆矩陣仍是同類型的初等矩陣。,兩者用不同語言來描述矩陣之間的同一種關(guān)系,如：,對A施行一次初等列變換，相當(dāng)于用一個(gè)相應(yīng)的,變換, 相當(dāng)于用一個(gè)相應(yīng)的m 階初等矩陣左乘A；,定理2.2,n 階初等矩陣右乘A。,如：,表示交換矩陣A的i，j兩行。,設(shè)初等矩陣,解,例1,可逆矩陣經(jīng)初等變換后仍為可逆矩陣。,設(shè)矩陣B是通過對A施行一次初等行變換而得,到的，即,或,由于初等矩陣可逆

7、，若A可逆，則B可逆。,定理2.3,證,或,定理2.4,由于任意矩陣A都可經(jīng)有限次初等行變換化為,即一定存在n階初等矩陣,行最簡形，,使得,。若可逆,則F 可逆，,從而F必為單位矩陣,即,充分性,若A通過一系列初等行變換可化為單位矩陣E,于是A可逆,推論,由定理2.4，有,即,同理,初等變換法,用初等變換法求逆矩陣時(shí)，不必先考慮逆矩陣是否存在。若變換過程中，與A等價(jià)的矩陣中有零行，就可斷定矩陣A不可逆。,說明：,解,利用矩陣的初等行變換解矩陣方程 AX=B,利用矩陣的初等列變換解矩陣方程 XC=D,例3,解,定理2.5,2. 初等變換法求逆矩陣,小 結(jié),3. 初等行變換解矩陣方程 AX=B,4

8、. 初等列變換解矩陣方程 XC=D,上述四個(gè)等式中哪個(gè)成立？,作業(yè)：73頁A-3.4,第二節(jié) 初等矩陣,初等矩陣的概念,初等矩陣與初等變換的關(guān)系,由單位矩陣E 經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣,三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣：,定義2.4,稱為初等矩陣。,(1) 交換矩陣兩行。,(2) 以非零數(shù) k 乘矩陣某一行的所有元素。,(3) 把矩陣某一行元素的 k 倍加到另一行對應(yīng) 的元素上去。,(1) 交換 E 中第 i，j 兩行(列) ，得到矩陣：,(2) 以非零數(shù) k 乘E的第 i 行(列)，得到矩陣：,(3) 把E的第 j 行的 k 倍加到第 i 行上，得到矩陣：,(1) 初等矩陣的行列式都不為零，

9、故初等矩陣都可,(2) 初等矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣仍為初等矩陣。,注意：,逆，且各自的逆矩陣仍是同類型的初等矩陣。,兩者用不同語言來描述矩陣之間的同一種關(guān)系,如：,對A施行一次初等列變換，相當(dāng)于用一個(gè)相應(yīng)的,變換, 相當(dāng)于用一個(gè)相應(yīng)的m 階初等矩陣左乘A；,定理2.2,n 階初等矩陣右乘A。,如：,表示交換矩陣A的i，j兩行。,設(shè)初等矩陣,解,例1,可逆矩陣經(jīng)初等變換后仍為可逆矩陣。,設(shè)矩陣B是通過對A施行一次初等行變換而得,到的，即,或,由于初等矩陣可逆，若A可逆，則B可逆。,定理2.3,證,或,定理2.4,由于任意矩陣A都可經(jīng)有限次初等行變換化為,即一定存在n階初等矩陣,行最簡形，,使得,。若可逆

10、,則F 可逆，,從而F必為單位矩陣,即,充分性,若A通過一系列初等行變換可化為單位矩陣E,于是A可逆,推論,由定理2.4，有,即,同理,初等變換法,用初等變換法求逆矩陣時(shí)，不必先考慮逆矩陣是否存在。若變換過程中，與A等價(jià)的矩陣中有零行，就可斷定矩陣A不可逆。,說明：,解,利用矩陣的初等行變換解矩陣方程 AX=B,利用矩陣的初等列變換解矩陣方程 XC=D,例3,解,定理2.5,2. 初等變換法求逆矩陣,小 結(jié),3. 初等行變換解矩陣方程 AX=B,4. 初等列變換解矩陣方程 XC=D,上述四個(gè)等式中哪個(gè)成立？,作業(yè)：73頁A-3.4,第三節(jié) 矩陣的秩,矩陣秩的概念,矩陣秩的計(jì)算,定義2.5,位于

11、這些行列的交叉點(diǎn)上的,個(gè)元素按原來的次序組成的k 階行列式, 稱,為矩陣A 的一個(gè)k 階子式。,說明：,特別地,n階方陣A只有一個(gè)n階子式，即,如,列構(gòu)成的三階子式為：,比如選定1，2，3行和1，2，4,定義2.6,如果矩陣A中有一個(gè) r 階子式,稱為矩陣A的秩，記作,或,即：,如,注意：,(1) 規(guī)定零矩陣的秩為零。,(2) 秩為r 的矩陣可能有等于零的r，r -1階子式。,1用矩陣秩的定義求矩陣的秩,方法：,例1,解,計(jì)算A的3階子式，,例2,解,說明：,行階梯形矩陣非零行的行數(shù)就是矩陣的秩,2用初等變換求矩陣的秩,，則,矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。,定理2.6,即若,說明：,(1) 任

12、意矩陣經(jīng)初等行變換化為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣非零行的行數(shù)即為原矩陣的秩。,(2) 矩陣的行階梯形不唯一，但階梯形中非零行的行數(shù)唯一，即矩陣的秩唯一，由此，矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形唯一。,設(shè)A是 矩陣，B是m 階滿秩矩陣，,C是n階滿秩矩陣，則必有：,證 因?yàn)锽階m滿秩矩陣，所以矩陣B可逆,從而B可分解為有限個(gè)初等矩陣的乘積，,由定理2.6，,同理可證:,推論：,可以看做對A施行有限次初等行變換，,利用初等行變換化矩陣B為行階梯形矩陣：,解,例4,解,分析：,例5,解,則這個(gè)子式便是A的一個(gè)最高階非零子式.,例5 設(shè)A =,試討論 x 為何值時(shí),有R(A)=1 ?,解,(2)初等變換法,1. 矩陣秩的概

13、念,2. 求矩陣秩的方法,(1)利用定義,(把矩陣用初等行變換化為行階梯形，行階梯形矩陣非零行的行數(shù)就是矩陣的秩),(尋找矩陣中非零子式的最高階數(shù));,小 結(jié),作業(yè)：74頁A-5.6,第四節(jié) 線性方程組的求解,線性方程組的基本概念,線性方程組解的判別,(1),說明：,若線性方程組有解，則稱它是相容的；否則稱為不相容的。,(5),對方程組的增廣矩陣施行初等行變換,解,則(2)的同解方程組為：,“回代”求出解：,此方程組有無窮多組解。,令 ，則方程組,的解為：,(C為任意常數(shù)),例2 討論方程組,的解。,對方程組的增廣矩陣施行初等行變換,解,原方程組的同解方程組為：,最后一個(gè)方程為矛盾方程，說明方

14、程組無解，即原方程組是不相容的。,方程組的解的情況可以歸結(jié)為：有惟一解，有無窮多解和無解三種情況。,問題：,定理,n元線性方程組,(1) 無解的充要條件是,(2) 有惟一解的充要條件是,(3) 有無限多解的充要條件是,證,增廣矩陣B經(jīng)初等行變換可化為行最簡形：,前n列由方程組的系數(shù)矩陣A變換得到。,情形1,，即 時(shí)，方程組無解；,情形2,且r n，即 時(shí)，,對應(yīng)的方程組為：,的自由變量。,可任意取值，稱為方程組(*),(*)的一個(gè)解，也就是方程組 的一個(gè)解，,從而方程組有無窮多組解。,(個(gè)數(shù)為n-r),令自由未知量：,方程組的一般解為：,( 為任意常數(shù) ),情形3,且r = n，即 時(shí)，,對應(yīng)

15、的方程組為：,即原方程組有惟一確定的一組解。,設(shè)齊次線性方程組,的系數(shù)矩陣為A，,推論,方程組有惟一解，即零解；,方程組有無窮多解，即有非零解。,例3 設(shè)線性方程組,為何值時(shí)方程組有解？有解時(shí)，求出所有的解,方程組可變形為：,解,對其系數(shù)矩陣施行初等行變換：,當(dāng),時(shí)，,，方程組有無窮多解，,對應(yīng)的方程組為：,即,( 為任意常數(shù) ),當(dāng),時(shí)，,，方程組有無窮多解，,對應(yīng)的方程組為：,( 為任意常數(shù) ),1、對于含參數(shù)的矩陣作初等變換時(shí)，若需要對某些因式作變換，應(yīng)注意因式可以等于零，必須對因式等于零的情況另作討論.,2、求解一般線性方程組可分如以下幾步進(jìn)行： (1) 寫出方程組的增廣矩陣。 (2) 將方程組的增廣矩陣經(jīng)過初等行變換，化 為行階梯形，判斷方程組是否有解。若無 解，停止；否則進(jìn)行下一步。,注意：,(4) 把第(3)步所得每個(gè)方程改寫為用自由變量 表示基本變量的形式，即得方程組的一般 解。,(3) 繼續(xù)對增廣矩陣施行初等