1、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換 （Fractional Fourier Fransform),簡介,19291980 早期未被人們重視的研究。 1980年，V.Namias 從特征值和特征函數(shù)的角度提出了分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的概念。定義為傳統(tǒng)傅立葉變換的分?jǐn)?shù)冪形式。 1994年， L.B.Ameida將分?jǐn)?shù)階傅立葉變換解釋為時(shí)頻面上的坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)。,456游戲大廳完整版,主要研究方向和成果,FRFT的基本性質(zhì) FRFT與其他時(shí)頻分析工具的關(guān)系 FRFT的光學(xué)實(shí)現(xiàn)技術(shù)和應(yīng)用 FRFT的數(shù)值計(jì)算與快速算法 FRFT在信號處理中的應(yīng)用 高維分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的研究,FRFT的一般研究思路：,1.將傅立葉變換的應(yīng)用直接推廣

2、到FRFT。 傳統(tǒng)的傅立葉變換是將信號在一組正交完備的正弦基上展開，所以正弦信號的傅立葉變換是一個(gè)函數(shù)。 分?jǐn)?shù)階傅立葉變換是將信號在一組正交的chirp信號上展開，則一個(gè)chirp信號的某一階次的FRFT也是一個(gè)函數(shù)。,FRFT的一般研究思路：,單分量、多分量Chirp信號的檢測和參數(shù)估計(jì)。 雷達(dá)信號的目標(biāo)檢測和識別。 SAR和ISAR成像。 運(yùn)動目標(biāo)檢測和識別。 寬帶干擾抑制。,FRFT的一般研究思路：,2.將FRFT視為時(shí)頻面上的旋轉(zhuǎn)算子 信號FRFT的時(shí)頻分布是信號時(shí)頻分布的一個(gè)旋轉(zhuǎn)。 可用于信號間的分離，噪聲抑制。這是分?jǐn)?shù)階傅立葉域?yàn)V波或掃頻濾波的基本原理。進(jìn)一步提出分?jǐn)?shù)階傅立葉變換域

3、的最佳濾波的概念。 可以應(yīng)用于多路復(fù)用技術(shù)。,FRFT的一般研究思路：,3.研究FRFT與其他時(shí)頻分析方法的關(guān)系 研究與Wigner_Ville分布、小波變換、短時(shí)傅立葉變換和Radon_Wigner變換的關(guān)系。利用已有的研究成果研究分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的應(yīng)用。,FRFT的一般研究思路：,例如：分?jǐn)?shù)階傅立葉變換和Radon_Wigner變換的關(guān)系。 信號分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的模平方是信號在該方向的Radon_Wigner變換。 利用這個(gè)結(jié)果可以研究基于分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的噪聲背景下的線性調(diào)頻信號檢測方法。,分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的定義：,討論：,變換核的性質(zhì)：,討論：,變換的性質(zhì)：,性質(zhì)4的證明：,FRFT的

4、其他定義：,特征函數(shù)和特征值（V.Namias,1980),計(jì)算：,分?jǐn)?shù)階傅立葉變換定義3：,分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的性質(zhì)：,線性性：,逆：,分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的性質(zhì)：,可交換性：,可結(jié)合性：,分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的性質(zhì)：,特征值與特征函數(shù)：,Parseval準(zhǔn)則：,分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的性質(zhì)：,與Wigner分布的關(guān)系：,分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的運(yùn)算性質(zhì),分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的運(yùn)算性質(zhì)：,分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的運(yùn)算性質(zhì)：,例：,例：,分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的運(yùn)算性質(zhì)：,常見信號的分?jǐn)?shù)階傅立葉變換,常見信號的分?jǐn)?shù)階傅立葉變換,常見信號的分?jǐn)?shù)階傅立葉變換,常見信號的分?jǐn)?shù)階傅立葉變換,常見信號的分?jǐn)?shù)階傅立葉變換,常見信號的分?jǐn)?shù)階傅立葉變換,分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的不確定性原理：,例：方波的分?jǐn)?shù)階傅立葉變換,分?jǐn)?shù)階卷積：,傅立葉變換卷積定理成立的原因：,1.線性調(diào)頻信號相乘,2.變尺度傅立葉變換,3.線性調(diào)頻信號相乘,分?jǐn)?shù)階卷積的定義：,分?jǐn)?shù)階卷積的定義：,定理：,思考題：,兩個(gè)函數(shù)的乘積的分?jǐn)?shù)階傅立葉變換有什么特點(diǎn)？ 兩個(gè)函數(shù)相關(guān)的分?jǐn)?shù)階傅立葉變換應(yīng)該如何定義？有什么特點(diǎn)？,離散分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的計(jì)算,FRFT的離散化問題,離散分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的計(jì)算,目前DFRFT的四種