1、,寧波中學(xué) 王國梁,排列組合應(yīng)用題解法綜述,計(jì)數(shù)問題中排列組合問題是最常見的，由于其解法往往是構(gòu)造性的, 因此方法靈活多樣, 不同解法導(dǎo)致問題難易變化也較大，而且解題過程出現(xiàn)“重復(fù)”和“遺漏”的錯(cuò)誤較難自檢發(fā)現(xiàn)。因而對這類問題歸納總結(jié)，并把握一些常見解題模型是必要的。,基 本 原 理,組合,排列,排列數(shù)公式,組合數(shù)公式,組合數(shù)性質(zhì),應(yīng) 用 問 題,知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖：,兩個(gè)原理的區(qū)別與聯(lián)系：,做一件事或完成一項(xiàng)工作的方法數(shù),直接（分類）完成,間接（分步驟）完成,做一件事，完成它可以有n類辦法， 第一類辦法中有m1種不同的方法， 第二類辦法中有m2種不同的方法， 第n類辦法中有mn種不同的方法， 那

2、么完成這件事共有 N=m1+m2+m3+mn 種不同的方法,做一件事，完成它可以有n個(gè)步驟， 做第一步中有m1種不同的方法， 做第二步中有m2種不同的方法， 做第n步中有mn種不同的方法， 那么完成這件事共有 N=m1m2m3mn 種不同的方法.,1.排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系：,從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元 素，按一定的順序排成一列,從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元 素，把它并成一組,所有排列的的個(gè)數(shù),所有組合的個(gè)數(shù),一、把握分類原理、分步原理是基礎(chǔ) 例1 北京市豐臺區(qū)高三練習(xí) 如圖，某電子器件是由三個(gè)電 阻組成的回路,其中有6個(gè)焊接 點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，如果某個(gè)焊接點(diǎn)脫落，整個(gè)電路就會(huì)不通?，F(xiàn)發(fā)

3、現(xiàn)電路不通了, 那么焊接點(diǎn)脫落的可能性共有（ ） 63種 （B）64種 （C）6種 （D）36種,分析:由加法原理可知,由乘法原理可知 222222-1=63,小結(jié)：本題主要考查了二個(gè)原理、分類討論的思想。以物理問題為背景（或其它背景如以英語單詞）的排列、組合應(yīng)用題，顯得小巧有新意.,練習(xí)1 北京朝陽區(qū)高三練習(xí)在今年國家公務(wù)員錄用中，某市農(nóng)業(yè)局準(zhǔn)備錄用文秘人員二名，農(nóng)業(yè)企業(yè)管理人員和農(nóng)業(yè)法制管理人員各一名，報(bào)考農(nóng)業(yè)局公務(wù)人員的考生有10人，則可能出現(xiàn)的錄用情況有_種（用數(shù)字作答）。,解法1:,解法2:,本題考查了乘法原理或先組后排。高考突出考查運(yùn)算能力，排列、組合的選擇填空題都要求以數(shù)字作答，

4、同學(xué)們千萬要注意。,二、注意區(qū)別“恰好”與“至少”,例2 云南省高考模擬試題從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的手套的不同取法共有（ ） (A) 480種（B）240種 （C）180種 （D）120種,種？,小結(jié)：“恰好有一個(gè)”是“只有一個(gè)”的意思?！爸辽儆幸粋€(gè)”則是“有一個(gè)或一個(gè)以上”，可用分類討論法求解，它也是“沒有一個(gè)”的反面，故可用“排除法”。,解：,練習(xí)2 云南省高考模擬從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中至少有一雙同色手套的不同取法共有_種,解：,三、特殊元素（或位置）優(yōu)先安排,例3 西安市高考模擬試題將5列車停在5條不同的軌道上，其中a列車不停在第一軌道上，b列車

5、不停在第二軌道上，那么不同的停放方法有（ ） （A）120種 （B）96種 （C）78種 （D）72種,解：,練習(xí)3 北京東城區(qū)高考模擬試題從7盆不同的盆花中選出5盆擺放在主席臺前，其中有兩盆花不宜擺放在正中間，則一共有_種不同的擺放方法（用數(shù)字作答）。,解：,小結(jié)：1、“在”與“不在”可以相互轉(zhuǎn)化。解決某些元素在某些位置上用“定位法”，解決某些元素不在某些位置上一般用“間接法”或轉(zhuǎn)化為“在”的問題求解。,2、排列組合應(yīng)用題極易出現(xiàn)“重”、“漏”現(xiàn)象，而重”、“漏”錯(cuò)誤常發(fā)生在該不該分類、有無次序的問題上。為了更好地防“重”堵“漏”，在做題時(shí)需認(rèn)真分析自己做題思路，也可改變解題角度，利用一題多

6、解核對答案,四、“相鄰”用“捆綁”，“不鄰”就“插空”,例4 廣州市二模七人排成一排，甲、乙兩人必須相鄰，且甲、乙都不與丙相鄰，則不同的排法有（ ）種 960種 （B）840種 （C）720種 （D）600種,解：,另解：,小結(jié)：以元素相鄰為附加條件的應(yīng)把相鄰元素視為一個(gè)整體，即采用“捆綁法”；以某些元素不能相鄰為附加條件的,可采用“插空法”。“插空”有同時(shí)“插空”和有逐一“插空”,并要注意條件的限定.,練習(xí)4 黃岡5月高考模擬試題某城新建的一條道路上有12只路燈，為了節(jié)省用電而不影響正常的照明，可以熄滅其中三盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，可以熄滅的方法共有（ ） （A）

7、種（B） 種 （C） 種 （D） 種,注:上題中熄滅三盞燈,改為將其中三盞燈改成紅、黃、綠色燈,且它們從相鄰也不在兩端如何解?,解：,解：,五、混合問題，先“組”后“排”,例5 對某種產(chǎn)品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一進(jìn)行測試，至區(qū)分出所有次品為止，若所有次品恰好在第5次測試時(shí)全部發(fā)現(xiàn),則這樣的測試方法有種可能？,解：由題意知前5次測試恰有4次測到次品，且第5次測試是次品。故有： 種可能,練習(xí)5 某學(xué)習(xí)小組有5個(gè)男生3個(gè)女生，從中選3名男生和1名女生參加三項(xiàng)競賽活動(dòng)，每項(xiàng)活動(dòng)至少有1人參加，則有不同參賽方法_種.,解：采用先組后排方法:,小結(jié)：本題涉及一類重要問題：問題中既有元素的限制

8、，又有排列的問題，一般是先元素（即組合）后排列。,六、分清排列、組合、等分的算法區(qū)別,例6 (1)今有10件不同獎(jiǎng)品,從中選6件分給甲一件,乙二件和丙三件,有多少種分法? (2) 今有10件不同獎(jiǎng)品, 從中選6件分給三人,其中1人一件1人二件1人三件, 有多少種分法? (3) 今有10件不同獎(jiǎng)品, 從中選6件分成三份,每份2件, 有多少種分法?,解：（1）,（2）,(3),小結(jié)：排列與組合的區(qū)別在于元素是否有序; m等分的組合問題是非等分情況的;而元素相同時(shí)又要另行考慮.,練習(xí)6 (1)今有10件不同獎(jiǎng)品,從中選6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少種分法? (2) 今有10件不同獎(jiǎng)

9、品,從中選6件分給甲乙丙三人,每人二件有多少種分法?,解: (1),(2),七、分類組合,隔板處理,例7 從6個(gè)學(xué)校中選出30名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽,每校至少有1人,這樣有幾種選法?,分析:問題相當(dāng)于把個(gè)30相同球放入6個(gè)不同盒子(盒子不能空的)有幾種放法?這類問可用“隔板法”處理. 解:采用“隔板法” 得:,練習(xí)7 某班45名學(xué)生要向希望工程捐書200本,其中30名團(tuán)員每人至少捐2本,而其余15人可以不捐.若不考慮書的不同種類全班各位同學(xué)捐書有幾種捐法?,解:設(shè)30名團(tuán)員分別捐書 本,其余15人分別捐書 本 則: 由“隔板法”知共有 種不同捐法.,小結(jié)：把n個(gè)相同元素分成m份每份,至少1個(gè)元素,

10、問有多少種不同分法的問題可以采用“隔板法”得出共有 種.,本課回顧復(fù)習(xí)了二個(gè)計(jì)數(shù)原理和排列組合數(shù)公式,重點(diǎn)分析了排列組合應(yīng)用題常見的幾種模型,以及解決這些問題的幾種典型方法。我們還另外附有一組練習(xí)題供大家課后參考。 謝謝大家!,； 飛劍問道 lqu82hmo 伙兒到孔夫子供奉室領(lǐng)取各自的工錢。耿英已經(jīng)等在那里了，她的身旁放了一個(gè)大木箱，里邊放著足夠支付大家全部工錢的，整散不一的銀子。她的面前，是一本已經(jīng)結(jié)算好了的賬??；一大摞原始記錄也放在旁邊。盡管耿老爹一再請大家過去領(lǐng)取各自的工錢，但除了那些土木工匠師傅們之外，幫工的鄉(xiāng)親們誰都不愿意領(lǐng)取自己的那一份應(yīng)得的報(bào)酬。最后，在耿家全家人的再三勸說下，

11、只有很少的一部分家庭經(jīng)濟(jì)不寬裕的人各自領(lǐng)取了不多的一點(diǎn)兒。見此情況，耿家父子們當(dāng)即就做出一個(gè)重大決定：第一年辦學(xué)免收所有學(xué)雜費(fèi)用！將所有在場的鄉(xiāng)民們?nèi)考性诳追蜃庸┓钍仪懊嬷螅⒗系舐曅迹骸班l(xiāng)親們哪，既然大家伙兒不愿意領(lǐng)取自己應(yīng)得的報(bào)酬，即使領(lǐng)取了的，也距離足額工錢相差甚遠(yuǎn)，那咱這小學(xué)堂和大戲臺原定的修建費(fèi)用就節(jié)余了不少呢，這些銀子將全部用在以后的辦學(xué)上。明年正月里招收的第一批學(xué)生，咱全部免收任何費(fèi)用了，學(xué)生們只需要自備筆、墨、紙、硯什么的即可。至于以后如何收取學(xué)雜費(fèi)用，咱到時(shí)候根據(jù)實(shí)際使用情況再說！”全場報(bào)以熱烈的掌聲！掌聲平息后，耿正大聲宣布：“鄉(xiāng)親們，咱們新建的這座學(xué)堂正式定名為

12、耿家小學(xué)堂了。眼下，除了課本兒還尚未編制印刷妥當(dāng)之外，其他一應(yīng)事項(xiàng)已經(jīng)全部就緒了！”熱烈的掌聲再度響起！耿正趕快抬起雙手示意大家安靜，繼續(xù)說道：“按照計(jì)劃，咱們的小學(xué)堂學(xué)制為五年。教學(xué)計(jì)劃初步設(shè)定為：一年級教授簡單的認(rèn)字、寫字和計(jì)算技巧；二年級增加珠算和禮儀；三年級增加寫作和人文地理；四年級增加歷史和資治；五年級增加天文常識。這些都是主課。另外，咱們學(xué)堂里還計(jì)劃安排一些文娛活動(dòng)、體育鍛煉和勞動(dòng)等方面的課程。”掌聲再起，耿正再次示意大家安靜，接著說道：“在文娛活動(dòng)課堂上，可以讓娃娃們學(xué)習(xí)一些朗誦、吟唱和演奏樂器的基礎(chǔ)知識和基本技能，并且根據(jù)學(xué)生們各自的特長進(jìn)行專門的培養(yǎng)。至于體育鍛煉和勞動(dòng)課程，可以增強(qiáng)娃娃們的體質(zhì)，培養(yǎng)他們熱愛勞動(dòng)的好習(xí)慣，都是很有用的。至于這些課程將占有多大的比例，以及學(xué)堂的大、小假期怎么安排，眼下還沒有最后確定下來呢，咱在開學(xué)的時(shí)候再宣布哇?！币晃患毙宰拥泥l(xiāng)民馬上問：“什么時(shí)候開學(xué)呀？”耿