1、24.2.2 切線長定理,第24章 圓,已知o及o外的一點P，PA與o相切于A點，連接OA、OP，如果將o沿直線OP翻折，存在一點與A點重合嗎？,思考:,O,P,A,B,你能發(fā)現(xiàn)OA與PA，OB與PB之間的關(guān)系嗎？,PA、PB所在的直線分別是o兩條切線。,在經(jīng)過圓外一點的切線上，這一點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長,O,P,A,B,切線與切線長是一回事嗎？,切線長概念,它們有什么區(qū)別與聯(lián)系呢？,切線和切線長是兩個不同的概念： 1、切線是一條與圓相切的直線，不能度量； 2、切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量。,切線和切線長,比一比,O,A,B,P,1,2

2、,折一折,請證明你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。,PA = PB,OPA=OPB,證明：PA，PB與O相切，點A，B是切點 OAPA，OBPB 即OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OP RtAOPRtBOP(HL) PA = PB OPA=OPB,試用文字語言敘述你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論,證一證,PA、PB分別切O于A、B,PA = PB,OPA=OPB,從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。,幾何語言:,反思：切線長定理為證明線段相等、角相等提供新的方法,切線長定理,A,P,O,B,若連結(jié)兩切點A、B，AB交OP于點M.你又能得出什么新的結(jié)論?并給出證明.,OP垂直平

3、分AB,證明：PA，PB是O的切線,點A，B是切點 PA = PB OPA=OPB PAB是等腰三角形，PM為頂角的平分線 OP垂直平分AB,試一試,A,P,O,。,B,若延長PO交O于點C，連結(jié)CA、CB，你又能得出什么新的結(jié)論?并給出證明.,CA=CB,證明：PA，PB是O的切線,點A，B是切點 PA = PB OPA=OPB PC=PC PCA PCB AC=BC,C,。,P,B,A,O,（3）連結(jié)圓心和圓外一點,（2）連結(jié)兩切點,（1）分別連結(jié)圓心和切點,反思：在解決有關(guān)圓的切線長問題時，往往需要我們構(gòu)建基本圖形。,想一想,（2）已知OA=3cm,OP=6cm，則APB=,P,A,B,

4、C,O,60,（4）OP交O于M，則 ， ,M,牛刀小試,（3）若P=70，則AOB= ,110,（1）若PA=4、PM=2，求圓O的半徑OA,OA=3,已知：如圖,PA、PB是O的切線，切點分別是A、B，Q為AB上一點，過Q點作O的切線，交PA、PB于E、F點，已知PA=12CM，求PEF的周長。,易證EQ=EA, FQ=FB, PA=PB, PE+EQ=PA=12cm,PF+FQ=PB=PA=12cm,周長為24cm,牛刀再試,探究：PA、PB是O的兩條切線，A、B為切點，直線OP交于O于點D、E，交AB于C。,B,A,P,O,C,E,D,（1）寫出圖中所有的垂直關(guān)系,OAPA，OB PB

5、，AB OP,（3）寫出圖中所有的全等三角形,AOP BOP， AOC BOC， ACP BCP,（4）寫出圖中所有的等腰三角形,ABP AOB,（2）寫出圖中與OAC相等的角,OAC=OBC=APC=BPC,練習1.（口答）如圖所示PA、PB分別切 圓O于A、B，并與圓O的切線分別相交于 C、D，已知PA=7cm， (1)求PCD的周長 (2) 如果P=46,求COD的度數(shù),C, O,P,B,D,A,E,切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩 條切線的夾角。,PA、PB分別切O于A、B,PA = PB ,OPA=OPB,OP垂直平分AB,切線長定理為

6、證明線段相等，角相等，弧相等，垂直關(guān)系提供了理論依據(jù)。必須掌握并能靈活應用。,P97思考：,o,o,o,外切圓圓心：三角形三邊垂直平分線的交點。 外切圓的半徑：交點到三角形任意一個定點的距離。,三角形外接圓,三角形內(nèi)切圓,內(nèi)切圓圓心：三角形三個內(nèi)角平分線的交點。 內(nèi)切圓的半徑：交點到三角形任意一邊的垂直距離。,A,A,B,B,C,C,例1 ABC的內(nèi)切圓O與BC、CA、AB分別相切于 點D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， 求AF、BD、CE的長.,解:,設(shè)AF=x(cm), BD=y(cm),CEz(cm), AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm)., O與ABC的三邊都相切,AFAE,BDBF,CECD,練習1.如圖，ABC中,C =90 ,它的內(nèi)切圓O分別與邊AB、BC、CA相切于點D、E、F，且BD=12，AD=8，求O的半徑r.,例2 、如圖，四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA和圓O分別相切于點L、M、N、P， 求證： AD+BC=AB+CD,證明：由切線長定理得,AL=AP，LB=MB,NC=MC， DN=DP,AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP,即 AB+CD=AD+BC,補充：