1、1.4 生活中的優(yōu)化問題舉例,新源縣第二中學高二數(shù)學組 授課人：李中輝 高二（6）班,知識回顧,一、如何判斷函數(shù)的單調性？,f(x)為增函數(shù),f(x)為減函數(shù),二、如何求函數(shù)的極值與最值？,知識背景：,生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題.通過前面的學習，我們知道，導數(shù)是求函數(shù)最大（小）值的有力工具，本節(jié)我們運用導數(shù)，解決一些生活中的 優(yōu)化問題.,課題引人：,小游戲 游戲規(guī)則：把一根電線從中間任意一點剪斷就得到兩根較短的電線，把這兩根電線折成兩個小正方形，如果兩個小正方形面積之和最小的一位同學獲勝！ 思考：從哪里剪開可以使面積和最??？并且動手試試看。,例

2、1：海報版面尺寸的設計 學?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進行宣傳?，F(xiàn)讓你設計一張如圖所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dm2，上、下兩邊各空2dm，左、右兩邊各空1dm，如何設計海報的尺寸，才能使四周空白面積最??？,2,128,y,x,1,因此，x=16是函數(shù)S(x)的極小值，也是最小值點。所以，當版心高為16dm，寬為8dm時，能使四周空白面積最小。,2,128,y,x,1,練習1、一條長為l的鐵絲截成兩段，分別 彎成兩個正方形，要使兩個正方形 的面積和最小，兩段鐵絲的長度分 別是多少？,則兩個正方形面積和為,由問題的實際意義可知：,背景知識：某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料

3、。瓶子的制造成本是0.8r2分，其中 r 是瓶子的半徑，單位是厘米.已知每出售1 ml 的飲料，制造商可獲利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為 6cm.,()瓶子的半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤大？ ()瓶子的半徑多大時，每瓶的利潤最小？,實例探究二：利潤最大問題,解：,由于瓶子的半徑為r,所以每瓶飲料的利潤為：,令,因此，當r2時，f(r)0,它表示f(r)單調遞增，即半徑越大，利潤越高；,當r2時，f(r)0,它表示f(r)單調遞減，即半徑越大，利潤越低。,（1）半徑為2時，利潤最小。這時f(2)0,表示此種瓶內飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負值；,（2）半徑為6時，利

4、潤最大。,實例探究二：利潤最大問題,換一個角度: 如果我們不用導數(shù)工具,直接 從函數(shù)的圖象(圖1.4-2)上觀察,你 有什么發(fā)現(xiàn)?,y,0,2,3,r,(圖1.4-2),從圖象上容易看出, 1.當r=3時,f(3)=0,即瓶子半徑是 3cm時,飲料的利潤與飲料瓶的 成本恰好相等; 2.當r3時,利潤才為正值.,解決優(yōu)化問題的方法之一：通過搜集大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，建立與其相應的數(shù)學模型，再通過研究相應函數(shù)的性質，提出優(yōu)化方案，使問題得到解決在這個過程中，導數(shù)往往是一個有利的工具，其基本思路如以下流程圖所示:,方法小結,優(yōu)化問題,用函數(shù)表示數(shù)學問題,用導數(shù)解決數(shù)學問題,優(yōu)化問題的答案,建立數(shù)學模型,解

5、決數(shù)學模型,作答,思考1,表面積,設半徑為R,則高為h,表面積寫成R的函數(shù),問題就轉化求函數(shù)的最值問題,作業(yè):在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去邊長相等的正方形,再把它的邊沿虛線折起(如圖),做成一個無蓋的方底鐵皮箱.箱底邊長為多少時,箱子容積最大?最大容積是多少?,x,h,解 設箱底邊長為 x,則箱高為,箱子容積為,由,解得 x1=0 (舍), x2=40.,x,h,解 設箱底邊長為 x,箱子容積為,由,解得 x1=0 (舍), x2=40.,當x(0,40)時,V(x)0;當x(40,60)時,V(x)0.,函數(shù)V (x)在x=40處取得極大值,這個極大值就是函數(shù)V (x)的最大值.,

6、答 當箱箱底邊長為40cm時,箱子容積最大, 最大值為16000cm3,練習3:某種圓柱形的飲料罐的容積一定時,如何確定它的高與底半徑,使得所用材料最省?,R,h,解 設圓柱的高為h,底面半徑為R.,則表面積為 S(R)=2Rh+2R2.,又V=R2h(定值),即h=2R.,可以判斷S(R)只有一個極值點,且是最小值點.,答 罐高與底的直徑相等時, 所用材料最省.,問題3:如何使一個圓形磁盤儲存更多信息?,知識背景：計算機把信息存儲在磁盤上，磁盤是帶有磁性介質的圓盤，并由操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)。磁道是指不同半徑所構成的同心圓軌道，扇區(qū)是指被圓心角分割成的扇形區(qū)域。磁道上的定長的弧可作為基本存儲單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1，這個基本單元通常稱為比特（bit）。磁盤的構造如圖1.4-3所示。,解:,存儲量=磁道數(shù)每磁道的比特數(shù).,設存儲區(qū)的半徑介于r與R之間,由于磁道之間的寬度必須大于m,且最外面的磁道不存儲任何信息,所以磁道數(shù)最多可達(R-r)/m。,由于每條磁道上的比特數(shù)相同，為了獲得最大的存儲量，最內一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的