1、第3章 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的頻域分析,3.1 周期信號的傅里葉級數(shù)(FS),3.1.1 三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)p101,1、定義 滿足狄里赫利條件的周期信號fT(t)，可以展開成三角函數(shù)形式傅里葉級數(shù)。 設(shè)fT (t)周期為T，角頻率,系數(shù)公式為,也可以寫成另外一種形式：,2、三角函數(shù)形式的FS的物理意義 三角函數(shù)形式FS對周期信號 :周期為T，角頻率 進行頻譜分析。將 分解成:,直流分量 、 基波分量 或 和各次諧波分量 或 的離散和。,例:試將圖3-3所示周期信號 展開成三角函數(shù)式FS。 解 設(shè),3、性質(zhì),注 狄里赫利（Dirichlet）條件是： （1）在一周期內(nèi)，如果有間斷點存在，則

2、間斷點的數(shù)目應(yīng)是有限個； （2）在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個； （3）在一周期內(nèi)，信號滿足絕對可積。,3.1.2 指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級數(shù),1定義 :滿足狄利赫利條件周期為T，角頻率 的周期信號 的指數(shù)函數(shù)形式FS系數(shù) 其中， 為任意實數(shù) 得展開式,2指數(shù)函數(shù)形式FS的物理意義: 指數(shù)函數(shù)形式FS對周期信號 周期T，角頻率 進行頻譜分析。 將 展開成直流分量 、基波分量 和各次諧波分量 的離散和。,或?qū)⒅芷谛盘?展開成形式為 的無時限指數(shù)信號的離散和。 各 分量的復(fù)振幅為 模為 初相為,例1試將圖3-3所示周期信號 展開成指數(shù)函數(shù)形式FS。 解：,1、單邊頻譜 若周期信號fT(t

3、)的傅里葉展開式為： 稱：Ak與(k0)的關(guān)系為fT(t)的振幅頻譜； 與(k0)的關(guān)系為fT (t)的相位頻譜。,3.1.3 周期信號的頻譜,（a）單邊幅度頻譜 （b）單邊相位頻譜,圖3-1 周期信號的單邊頻譜,2、雙邊頻譜 若周期信號fT(t)的傅里葉展開式為： 稱：,0,0,5,w,0,10,w,0,5,w,-,0,10,w,-,0,w,（a）雙邊振幅頻譜,（b）雙邊相位頻譜 圖3-2 周期信號的雙邊頻譜,3、周期信號頻譜的特點 （1）頻譜由不連續(xù)的譜線組成，每一條譜線代表一個正弦分量，即頻譜具有離散性。 （2）頻譜的每條譜線都只能出現(xiàn)在基波頻率 的整數(shù)倍的頻率上，即頻譜具有諧波性。 （

4、3）幅頻特性的變化趨勢是隨著諧波次數(shù)的增大而逐漸減??；當諧波次數(shù)無限增大時，諧波分量的振幅也就無限趨小，即幅度頻譜具有收斂性。,3.1.4 周期信號的頻帶寬度,圖3-3 周期矩形脈沖信號的波形,若將周期矩形脈沖信號展開為指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)，則可得：,圖3-4 周期矩形脈沖信號的頻譜,圖3-5 不同值下周期矩形脈沖信號的頻譜,(b)T=10,(a),(b),圖3-6 不同值下周期矩形脈沖信號的頻譜,3.2 非周期信號的傅里葉變換FT,3.2.1 從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換,3.2.2 FT的定義和物理意義p117,FT的物理意義: FT對信號f(t)進行頻譜分析。將信號f(t)分解成形式為 的無

5、時限指數(shù)信號的連續(xù)和,f(t)各 分量的復(fù)振幅 為無窮小， 相對復(fù)振幅(每赫) 是 稱 為信號 f(t)的頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜。,信號f(t)各 分量的模為 是無窮小，模的相對大小(每赫)為 各 分量的初相為 。 分別稱為信號f(t)的 幅頻特性和相頻特性。,3.2.3 傅里葉變換存在的條件,傅里葉變換存在的充分條件是：,3.2.4 非周期信號的頻譜,3.2.5 典型信號的傅里葉變換p118,1門函數(shù)（矩形脈沖）,（a）門函數(shù) （b）門函數(shù)的頻譜示意圖,圖3-7 門函數(shù)及其頻譜示意圖,2、單邊指數(shù)函數(shù),即： 其振幅頻譜和相位頻譜分別為：,（a）單邊指數(shù)函數(shù),（b）單邊指數(shù)函數(shù)的頻譜,圖3-8

6、 單邊指數(shù)函數(shù)及其頻譜,3、單位沖激函數(shù) 根據(jù)傅里葉變換的定義， 圖3-4給出了單位沖激函數(shù)的波形圖及其頻譜圖,（a）單位沖激函數(shù) （b）單位沖激函數(shù)的頻譜,圖3-9 單位沖激函數(shù)及其頻譜,綜上所述，應(yīng)記住: 1.FT正反變換的定義; 2.常用FT對。,3.2.6 傅里葉變換(FT)的基本性質(zhì),1、線性性 p124,證明：,2、時移特性p124,。,證明 計算,3、頻移特性 p125,證明,推論：調(diào)制定理,證明,例 信號y(t)的波形如圖3-11所示，試求y(t)的FT。 解,根據(jù)調(diào)制定理可得,圖3-11 高頻脈沖信號的頻譜,4、尺度變換特性(時間和頻率標度) p127,證明：,已知,例1 信

7、號f(t)如圖3-12(a) 所示， 試分別計算信號,解：,根據(jù)尺度變換特性可得,（a）,（b）,（c）,圖3-12 尺度變換性質(zhì)的說明,5、對偶性 p132,證明,例1 ：,例2 求下列信號的FT,解：,例3：,(2),常用FT對:,（a）門函數(shù)及其頻譜,（b）抽樣函數(shù)及其頻譜,圖3-13,6、卷積特性p134,(1) 時域卷積特性,（a）時域卷積運算,t,t,（b）頻域相乘運算,圖3-14 FT時域卷積特性,（2）頻域卷積幅度調(diào)制（時域相乘）特性 p142,證明,補數(shù)學(xué): 有理真分式的部分分式展開,例1部分分式展開,例2 展開,作有理真分式部分分式展開,例1,部分分式展開,例3,例4,例5

8、,如圖3-15所示。,（a）時域相乘運算,0,0,0,0,（b）頻域卷積運算,圖3-15 FT頻域卷積特性,7、時域微分特性p137,8、時域積分特性,證明,依此類推可得,根據(jù)時域卷積特性可得,比較式（1）,(2) 得到,（a）門函數(shù) （b）門函數(shù)的積分 圖3-16 FT時域積分特性,9、頻域微分和積分特性p144,證明,例1,10. 周期信號的傅里葉變換p145,設(shè)周期信號 ，周期為T，角頻率 ， 的任意一個周期為f(t) ， 且,則,例1求圖3-18(a) 所示信號的頻譜,例2,（a）周期單位沖激序列 （b）周期單位沖激序列的頻譜 圖3-17 均勻沖激串 的FT,。,（a）周期矩形脈沖 （

9、b）周期矩形脈沖的頻譜 圖3-18 方波串的頻譜,11、實虛奇偶性(共軛對稱性)p129,證明,(3),12、能量定理p141,交換積分順序,例1,根據(jù)能量定理得,小結(jié)（a）FT常用的性質(zhì),（b）,（c）,（d）,3.3 LTI連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析,3.3.1 LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng) p164,1系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 的定義和物理意義,2、 、h(t)的關(guān)系,證明,例1,例2,對系統(tǒng)方程取FT得,3.3.2 LTI系統(tǒng)的頻域分析 p166,1、 連續(xù)時間LTI系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的頻域求解 若LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為 設(shè)輸入信號 輸出信號,（a）矩形脈沖信號 （b）RC電路 圖3-19,（a）矩形脈沖信號及其幅

10、頻特性曲線,（b）RC低通電路的沖激響應(yīng)及其幅頻特性曲線,（c）RC低通電路的響應(yīng)及其幅頻特性曲線 圖3-20 矩形脈沖信號通過RC低通電路,2、對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)p99 單位沖激響應(yīng)為h(t)的LTI系統(tǒng)， 則根據(jù)時域分析可知，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：,3、輸入為周期信號的響應(yīng)p111 將周期為T的周期信號fT(t)展開為： 若系統(tǒng)頻率響應(yīng)為H(), 則輸出,周期信號還可以展開為： 設(shè)系統(tǒng)頻率響應(yīng) 則輸出,（a）周期方波信號 （b）RC電路 圖3-21,3.3.3 無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)p167,1無失真?zhèn)鬏數(shù)臄?shù)學(xué)模型 無失真?zhèn)鬏斒侵妇€性系統(tǒng)輸出響應(yīng)y(t)的波形與輸入激勵f(t)的波形完全相同，其幅度

11、大小可以不同，時間前后有所差異，即：,圖3-22 LTI系統(tǒng)的無失真?zhèn)鬏?2、無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的頻率響應(yīng),對 取傅里葉變換，可得： 所以無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為：,由此可得，系統(tǒng)無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件為：,圖3-23 無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的頻譜特性,3.3.4 濾波與理想濾波器p170,理想低通濾波器存在一截止頻率 。系統(tǒng)對輸入f(t)中 的分量無失真?zhèn)鬏敚?不傳輸 的分量。 理想低通濾波器的頻率響應(yīng)：,理想低通濾波器的頻率響應(yīng)： 因為： 所以,圖3-24 理想低通濾波器的沖激響應(yīng),3.4 采樣與采樣定理p179,3.4.1 連續(xù)信號的時域采樣,連續(xù)時間信號f(t)抽樣的工作原理如圖所示。抽樣器相當于一個

12、定時開關(guān)，它每隔一個周期T閉合一次，每次閉合時間為 ，從而得到樣值信號fs(t)。,圖3-25 信號的抽樣,圖3-26 抽樣開關(guān)信號,圖3-27 采樣模型,理想時域采樣的數(shù)學(xué)模型為,1、理想時域采樣的數(shù)學(xué)模型,fs(t)稱為原信號f(t)的時域采樣信號，T稱為采樣周期， 稱為采樣角頻率。,2、時域采樣的時域關(guān)系,圖3-28 時域抽樣的時域關(guān)系,0,),(,t,f,t,w,0,),(,w,F,m,w,m,w,-,1,（a）信號及其頻譜,3、時域取樣的頻域關(guān)系,（b）信號及其頻譜,（c）抽樣信號及其頻譜 圖3-29 時域抽樣與頻譜分析,3.4.2 奈奎斯特間隔,若信號帶限 則稱 為信號f(t)的奈奎斯特間隔； 為信號f(t)的奈奎斯特頻率； 為信號f(t)的奈奎斯特角頻率。,3.4.3 時域取樣定理,時域抽樣定理： 一個最高頻率為fm(或m)，頻帶有限的 連續(xù)時間信號f(t)可以用均勻等間隔 的抽 樣信號fs(t)值（即抽樣值）唯一地來表示。,即信號在時域抽樣時必須滿足： （1）信號帶限 （2）取樣周期 （奈奎斯特間隔） （即取樣角頻率 或取樣頻率 ） 才能從fs(t) 中恢復(fù)出f(t)。,3.4.4 從取樣信號恢復(fù)原信號,0,c,c,圖3-30 從取樣信號恢復(fù)原信號,圖3-31 由抽樣信號的頻譜過濾出原信號的頻譜,w,0,Fs(),0,w,0,w,-,T,1,L,L,m,w