1、傅立葉變換及其應(yīng)用,為什么要使用傅立葉變換,頻譜分析是信號(hào)處理的核心 沒(méi)學(xué)微積分就不了解極限的概念，而沒(méi)學(xué)傅立葉變換可能就不清楚世界上還有所謂的“頻譜” 傅立葉變換對(duì)于問(wèn)題的簡(jiǎn)化特別有用，使我們可以從另一個(gè)角度處理問(wèn)題 FFT的出現(xiàn)，使科學(xué)分析的許多方面大為改觀,背景知識(shí),1、線性系統(tǒng)的基本概念 2、二維卷積 3、傅立葉變換的實(shí)質(zhì),1. 線性系統(tǒng),線性系統(tǒng)理論是數(shù)字信號(hào)分析與處理（當(dāng)然包括數(shù)字圖象處理）的理論基礎(chǔ) 線性系統(tǒng)可用傳遞函數(shù)來(lái)刻畫，將其看作黑箱（Black Box），線性系統(tǒng)的輸入信號(hào)和輸出信號(hào)之間的關(guān)系，在時(shí)域可用卷積運(yùn)算來(lái)表達(dá)，在頻域可直接用乘積來(lái)確定：,1.1 線性系統(tǒng)的輸入輸

2、出關(guān)系,時(shí)域用卷積運(yùn)算來(lái)表達(dá) 頻域用乘積表達(dá),2. 二維卷積,對(duì)于二維信號(hào)，二維卷積定義為,3.傅立葉變換的實(shí)質(zhì),簡(jiǎn)單的說(shuō)，一個(gè)波形的傅立葉變換的實(shí)質(zhì)是：把這個(gè)波形分解成許多不同頻率正弦波之和，且這些正弦波加起來(lái)可成為原來(lái)的波形。 方程表示為：,t為時(shí)間，f為頻率。s(t)是被分解的波形，S(f)是其傅立葉變換。,作變換,進(jìn)行傅立葉變換,t,分解,-T/2,T/2,做一張顯示各正弦波振幅 和頻率的圖,傅立葉變換,頻率,傅立葉變換,“任意”的函數(shù)通過(guò)一定的分解，都能夠表示為正弦函數(shù)的線性組合的形式，而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)類，這一想法跟化學(xué)上的原子論想法很相似。 如減速機(jī)故

3、障時(shí)，通過(guò)傅里葉變換做頻譜分析，根據(jù)各級(jí)齒輪轉(zhuǎn)速、齒數(shù)與雜音頻譜中振幅大的對(duì)比，可以快速判斷哪級(jí)齒輪損傷。 在數(shù)字圖像處理中，周期性的噪聲會(huì)在傅立葉變換后的頻譜圖像中產(chǎn)生尖峰信號(hào)，由此可快速取得圖像中的噪聲信息，便于進(jìn)一步處理。 傅立葉變換應(yīng)用很廣，以上僅僅是其在信號(hào)處理系統(tǒng)中的基本應(yīng)用。,傅立葉變換,1.傅立葉積分： 若對(duì)參量f的每一個(gè)值，積分都是存在的，則該方程就定義了h(t)的傅立葉變換H(f)。 t代表時(shí)間，f代表頻率。則該變換實(shí)現(xiàn)了將以時(shí)間為變量的函數(shù)h(t)轉(zhuǎn)換為以頻率為變量的函數(shù)H(f)，且二者所包含的信息是一致的。（這即為使人們可以從另一個(gè)角度研究一個(gè)函數(shù)的根本依據(jù)）,傅立葉變

4、換是頻率變量f的一個(gè)復(fù)函數(shù)： R(f)是傅立葉變換的實(shí)部，I(f)是傅立葉變換的虛部。 |H(f)|稱作h(t)的振幅譜或者傅立葉譜，它由 給出。 (f)是傅立葉變換的相角，由 給出。,2. 傅立葉逆變換 逆變換定義為： 該公式使我們可以從一個(gè)時(shí)間函數(shù)的傅立葉變換確定這個(gè)時(shí)間函數(shù)。 （即一個(gè)時(shí)間函數(shù)和其頻譜互為傅立葉變換，二者被稱為“傅立葉變換對(duì)”）,3 傅立葉積分的存在條件 具體的數(shù)學(xué)證明意義不大，故在此省略。 在工程應(yīng)用中，只需要知道：對(duì)于已經(jīng)存在的、實(shí)際生活中已經(jīng)有的時(shí)間序列（大部分為物理現(xiàn)象），其傅立葉變換和傅立葉逆變換都存在。,傅立葉變換的性質(zhì),1. 線性性 很重要，表明其在所有線性

5、系統(tǒng)中都可用。說(shuō)明了其適用的廣泛性。 2.對(duì)稱性 3.時(shí)間尺度和頻率尺度的改變 4.實(shí)、虛函數(shù)和奇、偶函數(shù)的特性 5.傅立葉級(jí)數(shù)是傅立葉積分的一種特例 6.注意：時(shí)間一般是實(shí)的，而頻率一般是復(fù)的。即逆變換時(shí)要對(duì)實(shí)部、虛部均進(jìn)行變換。,重要性：,1.傅立葉變換是線性算子 2.傅立葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似; 3.在線性時(shí)不變的物理系統(tǒng)內(nèi),頻率是個(gè)不變的性質(zhì),從而系統(tǒng)對(duì)于復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)可以通過(guò)組合其對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的響應(yīng)來(lái)獲取; 4. 卷積定理指出:傅立葉變換可以化復(fù)雜的卷積運(yùn)算為簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算,從而提供了計(jì)算卷積的一種簡(jiǎn)單手段; 5.離散形式的傅立葉變換可以利用數(shù)字計(jì)算機(jī)

6、快速的算出(其算法稱為快速傅立葉變換算法(FFT). 是由于上述的良好性質(zhì),傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率、統(tǒng)計(jì)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。,DFT和FFT的基礎(chǔ)：波形抽樣和差值,1.所借助工具：卷積和差值（包括線性差值、拋物線差值等，用來(lái)提高精度） 2.主要定理：Shannon采樣定理。 3.原理：把函數(shù)x(t)在0,T區(qū)間上表示為：,Ak稱為k次諧波的復(fù)振幅， Ak是其幅值。k是其相位，ak和bk分別是第k次正弦波的余弦系數(shù)和正弦系數(shù)。,上式其實(shí)很簡(jiǎn)單，就是把一個(gè)時(shí)間函數(shù)用傅立葉級(jí)數(shù)的方式表示出來(lái)。 所謂頻譜分析，就是求出各次諧波對(duì)應(yīng)的Ak。 在采樣時(shí)，

7、要分為兩種情況： （1）若x(t)本身在t上并不連續(xù)，而是基于給定的時(shí)間序列函數(shù)x (0),x (1), x (2), , x(N-1)，則稍加修改即可直接進(jìn)行計(jì)算。,（2）x(t)是在t上的連續(xù)函數(shù)： 取t為很小的時(shí)間間隔，令T=N t，x(t)在tn=n t時(shí)的采樣值為xn。則可以用各個(gè)xn代替上式中的x(t)，再用求和代替積分，就實(shí)現(xiàn)了對(duì)Ak的離散化。這也是DFT和FFT運(yùn)算的基礎(chǔ)。如下所示：,注意：DFT和FFT的計(jì)算基礎(chǔ)是基于AkF的。而AkF只是簡(jiǎn)單求和，相對(duì)于Ak必然存在誤差。,DFT,1.目的：將連續(xù)傅立葉變換進(jìn)行改造，使其適用于機(jī)器運(yùn)算。 2.DFT可以理解為是連續(xù)傅立葉變換

8、的特殊情況。即給定的h(t)在t上并不是連續(xù)的，而是基于給定的時(shí)間序列函數(shù)h(0)、 h(1)、 h(2)、 h(N-1)，（或者是以t為間隔對(duì)其抽樣，最后求和 ）計(jì)算其傅立葉積分。,定義： 對(duì)于一個(gè)物理數(shù)據(jù)f(x),其定義域?yàn)?XX時(shí)全為零。則有和式：,可分解為實(shí)部： 和虛部：,DFT的性質(zhì),1. 線性性 同樣在所有線性系統(tǒng)中都可用。 2.對(duì)稱性 3.時(shí)間尺度和頻率尺度的改變 4.實(shí)、虛函數(shù)和奇、偶函數(shù)的特性 5.注意其相關(guān)基礎(chǔ)是離散卷積，連續(xù)卷積與離散卷積有所不同，若DFT使用連續(xù)卷積（再離散化）會(huì)增加誤差。,FFT（Fast Fourier Transformation）,所謂FFT，只不過(guò)是計(jì)算離散傅立葉變換的一種特殊方法，目的是使計(jì)算DFT的速度加快。所以在算法方面，其意義并不大。 但是需要注意的是，正是FFT的出現(xiàn)（出現(xiàn)于1965年，由Cooley-Tukey首次發(fā)表，IBM的Garwin首次實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)程序） 又稱為Cooley-Tukey算法。,FFT的優(yōu)點(diǎn),對(duì)于給定時(shí)間序列f(0),f(1),f(2),f(N-1),對(duì)其進(jìn)行傅立葉變換:,可知，計(jì)算每一個(gè)F(k)都需要進(jìn)行N次乘法和N-1次加法。若把全部F(k)都計(jì)算出來(lái)，需要進(jìn)行N2次乘法和N(N-1)次加法，運(yùn)算量很大。用FFT可以大大減少計(jì)算量，以“