1、2020/9/27,1,王正偉第二章 應力與平衡、位移與應變 Theory of Stress and Balance、displacement and strain,清華大學熱能工程系 Dept. of Thermal Engineering Tsinghua University,位移與應變 位移與運動的分解 變形的不同描述方式 應變位移的關系,2020/9/27,2,王正偉應力與平衡 Theory of Stress and Balance,內(nèi)力與應力 載荷、內(nèi)力與應力 斜面應力公式(柯西公式) 主應力 應力莫爾圓,應力平衡微分方程 笛

2、卡兒坐標系下的平衡微分方程 圓柱坐標系下的平衡微分方程,2020/9/27,3,王正偉外力、載荷 Load,面力是作用在物體表面上的外力。,體積力是作用在物體內(nèi)部體積上的外力。,2020/9/27,若取 為變形前面元的初始面積，則上式給出工程應力，亦稱名義應力，常用于小變形情況。 對于大變形問題，應取 為變形后面元的實際面積，稱真實應力，簡稱真應力, 也稱柯西應力。,4,王正偉應力矢量(應力) Stress Vector,應力矢量(應力),2020/9/27,5,王正偉下圖為低碳鋼軸向拉伸變形情況，前兩個圖為小變形情

3、況，應力計算采用工程應力，第三個真實截面面積相比于初始情況變化劇烈，因而必須采用真實應力來描述。在以后的討論中主要研究小變形問題，因而應力計算上為工程應力。,應力矢量(應力) Stress Vector,2020/9/27,6,王正偉應力狀態(tài) State of Stress,在笛卡爾坐標系中，用六個平行于坐標面的截面在一點周圍截取一個正六面體微元。正六面體的六個面法向矢量與坐標軸平行，同向的三個面稱之為正面，反向的三個面稱之為負面。將作用在正面上的應力矢量沿坐標軸方向分解。,2020/9/27,7,王正偉面力、應力矢量與應力狀態(tài)辨析,相同點：

4、 量綱相同； 內(nèi)力與應力的數(shù)學定義相同。,不同點： 面力為表面的已知量； 應力矢量依賴于點和斜截面； 應力狀態(tài)為客觀量，僅與點有關。,2020/9/27,8,王正偉斜面應力公式 Cauchy Formula,四面體OABC，由三個負面和一個法向矢量為 的斜截面組成，其中 為 方向的方向余弦。,2020/9/27,9,王正偉斜面應力公式 Cauchy Formula,四個截面面積分別為：,四面體體積為：,2020/9/27,10,王正偉四面體平衡條件為：,斜面應力公式 Cauchy Formula,2020/9/27,

5、11,王正偉斜面應力公式的應用,計算斜截面上應力的大?。?計算斜截面上應力的方向： 計算斜截面上正應力： 計算斜截面上剪應力：,2020/9/27,12,王正偉轉軸公式,（1）由老坐標（常選笛卡爾坐標）中的應力分量求新坐標（可選任意正交曲線坐標）中的應力分量。 （2）求斜截面應力。把斜面法線和斜面內(nèi)某兩個相互垂直的方向選作新坐標軸，用轉軸公式能求得斜面上的正應力和剪應力。,2020/9/27,13,王正偉主應力 Principal Stress,對于給定的應力狀態(tài)，若改變斜面方向，則斜面應力的大小和方向都會發(fā)生改變，

6、因此是否存在一個面，使得只存在正應力而無剪應力？,2020/9/27,14,王正偉主應力的性質(zhì) Principal Stress,不變性：由于特征方程的三個系數(shù)是不變量，所以作為特征根的主應力及相應主方向都是不變量。從物理的角度來考慮，它們都是物體內(nèi)部受力狀態(tài)的客觀性質(zhì)，與人為選擇的參考坐標無關。 實數(shù)性：即特征方程的根永遠是實數(shù)，從物理角度來考慮，應力也不存在復數(shù)的可能。 極值性：主應力 和 是一點正應力的最大值和最小值。 正交性：特征方程無重根時，三個主應力必兩兩正交；特征方程有一對重根時，在兩個相同主應力的作用平面內(nèi)可任選兩個相互正交的方向作為主方向；特征方程出

7、現(xiàn)三重根時，空間任意三個相互正交的方向都可作為主方向。 主應力坐標系：在任意一點，以三個主方向 為軸建立坐標系稱為主坐標系，此時應力張量 可以簡化成對角型。,2020/9/27,15,王正偉平面中一點的應力狀態(tài) Stress State,主應力：,主方向：,最大剪應力：,2020/9/27,16,王正偉應力莫爾圓 Mohr circle of stress,彈性力學中應力莫爾圓可以說是材料力學中二維應力圓的推廣，在材料力學平面問題中只有兩個主應力，這樣只有一個莫爾圓，而彈性力學中有三個主應力，這樣應力摩爾圓的數(shù)目為有三個。,2020/9/27

8、,17,王正偉應力莫爾圓 Mohr circle of stress,三維莫爾圓,2020/9/27,18,王正偉應力平衡微分方程 Stress Balance Equation,首先我們認為應力狀態(tài)是坐標的函數(shù)，在笛卡爾坐標系下有,2020/9/27,19,王正偉現(xiàn)在考慮X軸方向上的受力平衡，得到：,應力平衡微分方程 Stress Balance Equation,2020/9/27,20,王正偉同樣方法計算Y軸和Z軸方向上的受力平衡，得到應力的平衡微分方程如下：,指標形式： 下標 表示

9、對 方向求偏導數(shù)， 為體積力。,應力平衡微分方程 Stress Balance Equation,2020/9/27,21,王正偉剪力互等定理 Stress balance equation,下面考慮微元的力矩平衡，通過形心考慮Z軸方向取矩，凡是作用線通過形心或方向與軸平行的應力和體力分量對該軸的力矩均為零，于是力矩平衡方程只剩兩項。,2020/9/27,22,王正偉下面考慮圓柱坐標系中的平衡方程,應力平衡微分方程 Stress Balance Equation,2020/9/27,23,王正偉位移的描述 Chara

10、cterization of Displacement,從位移對物體的影響而言，位移可以劃分剛體位移和變形。 剛體位移是由整個物體在空間做剛體運動引起的，包括平動和轉動； 變形是物體形狀變化引起的位移，位移發(fā)生時不僅改變物體的絕對位置，且改變了物體內(nèi)部各個點的相對位置。 剛體位移和變形是同時出現(xiàn)的，在彈性力學中我們忽略剛體運動對物體的影響，僅考慮變形。,2020/9/27,24,王正偉拉格朗日坐標系其坐標系是放在所描述的物體上隨著物體一起運動。 拉格朗日描述法以物體變形前的初始構形為參照構形，質(zhì)點變形前的坐標 為基本未知量。將變形后物體的位置 表示為 的函數(shù)： 歐拉坐

11、標系其坐標系本身是固定的，僅物體運動。 歐拉描述法以物體變形后的新構形為參照構形，質(zhì)點變形后的坐標 為基本未知量。將變形前物體的位置 表示為 的函數(shù)：,位移的描述 Characterization of Displacement,區(qū)別：歐拉坐標固定在空間，拉格朗日坐標固定在材料上；歐拉坐標指一點在空間的位置，拉格朗日坐標標記一個材料點。,2020/9/27,25,王正偉在下面的分析中采用符號 得到位移是質(zhì)點初始坐標或變形后坐標的函數(shù) 利用小變形條件可以得到,位移的描述 Characterization of Displacement,2020/9/27,26,王正偉

12首先考慮最簡單的一維桿在受到軸向拉伸力時的變形，計算桿中長度為dx的微元的變化，有,應變-位移關系 Strain-Displacement Relationship,2020/9/27,27,王正偉對 在 處Taylor展開有 由于 非常小，忽略高階項可以得到： 由此定義小變形情況下單軸拉伸的單軸應變(工程應變)為：,應變-位移關系 Strain-Displacement Relationship,2020/9/27,28,王正偉考慮最簡單的一維桿在受到扭矩作用時的變形，有：,應變-位移關系 Strain-Displa

13、cement Relationship,2020/9/27,29,王正偉下面考慮一個三維微元體在載荷作用下發(fā)生變形，如果采用幾何的方法來分析三維物體微元變形就比較困難，于是將變形體向三個坐標軸組成的三個面投影。,應變-位移關系 Strain-Displacement Relationship,2020/9/27,30,王正偉在三維問題中定義正應變相關的方法與一維桿情況相同，是相對變形長度與初始長度的比值，為 定義切應變(剪應變)為轉角的變化程度,應變-位移關系 Strain-Displacement Relationship,2020/9/2

14、7,31,王正偉以x-y平面的關系為例，位移是坐標值的連續(xù)函數(shù)，所以P點在x及y軸上的位移分量為u、v，則A點及 B點的位移分量按照多元函數(shù)Taylor展開，并利用小變形假設而略去二階以上的無窮小量有,應變-位移關系 Strain-Displacement Relationship,2020/9/27,32,王正偉計算線應變,計算剪應變,應變-位移關系 Strain-Displacement Relationship,柯西應變矩陣(張量) 寫成指標形式為：,2020/9/27,33,王正偉應變-位移關系 Strain

15、-Displacement Relationship,2020/9/27,34,王正偉柯西應變矩陣 的六個分量的幾何意義是：當指標 時,表示沿坐標軸方向的線元工程正應變，以伸長為正，縮短為負；當指標 時， 的兩倍表示坐標軸i與j方向兩個正交線元間的工程剪應變。以銳化（直角減?。檎g化（直角增加）為負。 柯西應變矩陣 在每點至少存在三個相互正交的主方向， 為主方向的單位矢量，則按張量主方向的定義有 標量 稱為應變張量的主值，即沿主方向 的主應變，與主應力類似，主應變也具有實數(shù)性，正交性和極值性。,應變-位移關系 Strain-Displacement Relationship,2020/9/27,35,王正偉特殊應變場剛體位移,應變-位移關系 Strain-Displacement Relationship,2020/9/27,36,王正偉特殊應變場均勻變形狀態(tài) 均勻變形狀態(tài)的性質(zhì)：直線在變形后仍為直線；相同方向的直線以同樣比例伸縮；互相平行的直線變形后仍平行；平面在變形后仍為平面；平行平面變形后仍平行；球面變