1、,第九章,微分方程與 差分方程簡介,第一節(jié) 微分方程的一般概念,在工程技術(shù)，力學(xué)與物理學(xué)等自然科學(xué)以及經(jīng)濟學(xué)與管理學(xué)等各個領(lǐng)域中，經(jīng)常需要確定變量間的函數(shù)關(guān)系.在很多情況下，必須建立不僅包含這些函數(shù)本身，而且還包含著這些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程或方程組才有可能確定這些函數(shù)關(guān)系，這樣的方程就是微分方程.,在本章中將要介紹微分方程的一些基本概念，還要學(xué)習(xí)最重要的幾類一階微分方程與二階常系數(shù)線性微分方程的解法以及它們的簡單應(yīng)用.,定義 含有自變量，自變量的未知函數(shù)以及未知函數(shù)的若干階導(dǎo)數(shù)或微分的函數(shù)方程稱為微分方程.,定義 出現(xiàn)在微分方程中的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)或微分的階數(shù)，稱為微分方程的階.,未知函

2、數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程，未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程稱為偏微分方程.在本書中只討論常微分方程，如下例：,一階,二階,一階,定義 使方程成為恒等式的函數(shù)稱微分方程的解。,微分方程的解的分類：,(1)通解：微分方程的解中含有任意常數(shù),且獨立任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同。,(2)特解：不含任意常數(shù)的解。,定解條件：用來確定任意常數(shù)的條件。,初始條件：規(guī)定微分方程中的未知函數(shù)及其若干階導(dǎo)數(shù)在某一點處的取值。,過定點的積分曲線;,一階:,二階:,過定點且在定點的切線的斜率為定值的積分曲線。,初值問題：求微分方程滿足初始條件的解的問題。,解,例 設(shè)曲線通過點(1, 3), 且其上任一點

3、處的切線斜率等于這點橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程。,設(shè)曲線方程為,根據(jù)題意知,第二節(jié) 一階微分方程,引例,微分方程,兩邊積分即可。,分離變量，,改寫成,兩邊積分，,通解為,(一)可分離變量的一階微分方程,(一)可分離變量的一階微分方程,為微分方程的通解。,兩邊積分,為可分離變量的方程。,稱,則,第二節(jié) 一階微分方程,可分離的微分方程的解法 (1)分離變量 g(y)dyf(x)dx (2)兩邊同時積分,其中c是任意常數(shù) 這就是可分離變量微分方程的通解,解,例,解,可簡寫為：,例,解,練習(xí),解,例,為所求通解.,解,例,解,例,分離變量，,兩邊積分,通解為,所求特解為,數(shù)學(xué)建模,(二)齊次方程,的微

4、分方程稱為齊次方程。,形如,例如,可化為,可化為,齊次方程的解法,例,解,此題不能分離變量,是齊次方程,例,解,原方程變形為,練習(xí),解,是齊次方程,原方程變形為,(三)一階線性微分方程,一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:,上述方程稱為齊次的.,上述方程稱為非齊次的.,例如,線性的, 非齊次,非線性的.,齊次方程的通解為,1、線性齊次方程,一階線性微分方程的解法：,使用分離變量法,2、線性非齊次方程,常數(shù)變易法：,作變換,積分得,所以原方程的通解為:,解,例,通解為,解,例,通解為,解,方程改寫為,所以所求解為,一階線性方程，,例,解,這是一階線性微分方程，通解為,練習(xí),解,例,數(shù)學(xué)建模-價格調(diào)整模型

5、,設(shè)某商品的價格主要取決于市場供求關(guān)系，或者說供給量S與需求量D只與該商品的價格p有關(guān)。設(shè),其中 k 為正的常數(shù)，用來反映價格的調(diào)整速度。,于是上述價格調(diào)整模型的解為,第三節(jié) 幾種二階微分方程,(一)最簡單的二階微分方程,解,例,解法：兩邊積分兩次即可。,形如,積分一次得,再積分一次，得通解為,(二),一階微分方程,解,例,解,練習(xí),這是一階線性微分方程，通解為,所以原方程通解為,(三),把 y 視為自變量,解,例,代入原方程,得,積分得通解為,積分得通解為,本題還可用下面的簡單解法：,解,例,解,練習(xí),代入原方程,得,第四節(jié) 二階常系數(shù)線性微分方程,二階常系數(shù)線性齊次微分方程,其中 p, q

6、 是常數(shù).,二階常系數(shù)線性非齊次微分方程,(一)二階常系數(shù)齊次線性方程解的性質(zhì)及求解法,1、方程(1)的任意兩個解的和仍是(1)的解；,證,所以,2、方程(1)的任意一個解的常數(shù)倍仍是(1)的解。,證,所以,(一)二階常系數(shù)齊次線性方程解的性質(zhì)及求解法,1、方程(1)的任意兩個解的和仍是(1)的解；,也是(1)的解，,(稱線性無關(guān)),則上式為(1)的通解.,定理1,2、方程(1)的任意一個解的常數(shù)倍仍是(1)的解。,(一)二階常系數(shù)齊次線性方程解的性質(zhì)及求解法,1、方程(1)的任意兩個解的和仍是(1)的解；,代數(shù)方程(3)稱為微分方程(1)的特征方程，,它的根稱為特征根.,情形1,則特征方程(

7、3)有兩個相異的實根,故它們線性無關(guān),因此(1)的通解為,情形2,則特征方程(3)有兩個相等的實根,于是(1)的通解為,由歐拉公式 知，,情形3,則特征方程(3)有一對共軛復(fù)根,仍然是(1)的解,且線性無關(guān),所以方程(1)的通解為,由疊加原理,二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解法：,特征方程,特征根的情況,通解的表達(dá)式,解,特征方程為,故所求通解為,例,例,解,特征方程為,解得,故所求通解為,特征根為,解,特征方程為,故通解為,例,特征根為,訓(xùn)練：求下列微分方程的通解,解,解,方程通解為,特征方程,特征根,解,通解為,通解為,(二)二階常系數(shù)非齊次線性方程解的性質(zhì)及解法,1、方程(2)的任意兩個解

8、的差是(1)的解；,證,所以,2、方程(1)的一個解加上方程(2)的一個解是(2)的解.,證,所以,(二)二階常系數(shù)非齊次線性方程解的性質(zhì)及解法,對應(yīng)齊次方程,定理2,那么方程(2)的通解為,問題歸結(jié)為求方程(2)的一個特解。,只討論 f (x)的兩種類型。,用待定系數(shù)法求解。,二階常系數(shù)非齊次線性方程的解法：,則,情形1,若 不是特征根,即,情形2,若 是特征方程的單根,即,情形3,若是特征方程的二重根,即,綜上討論,設(shè)特解為,其中,解,對應(yīng)齊次方程通解,特征方程,特征根,例,代入原方程,得,設(shè)特解為,解,對應(yīng)齊次方程通解,特征方程,特征根,練習(xí),代入原方程,得,設(shè)特解為,例,解,解,對應(yīng)齊

9、次方程通解,特征方程,特征根,例,代入原方程, 得,所以設(shè)特解為,注意：,現(xiàn)即,即得,這樣比代入原方程要簡便得多。,解,對應(yīng)齊次方程通解,特征方程,特征根,例,所以設(shè)特解為,訓(xùn)練：求下列微分方程的通解,解,對應(yīng)齊次方程通解,特征方程,特征根,代入原方程, 得,解,對應(yīng)齊次方程通解,特征方程,特征根,代入原方程, 得,解,對應(yīng)齊次方程通解,特征方程,特征根,代入原方程, 得,可以證明，方程 (2) 具有如下形式的特解：,解,例,所求通解為,對應(yīng)齊次方程通解,特征方程,特征根,代入原方程,得,解,例,所求通解為,對應(yīng)齊次方程通解,特征方程,特征根,代入原方程,得,訓(xùn)練,解,對應(yīng)齊次方程的通解為,所

10、以設(shè)特解為,第五節(jié) 差分方程的一般概念,微分方程刻劃了自變量 x 是連續(xù)變化的過程中變量 y 的變化率，在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)和經(jīng)濟領(lǐng)域中，有些自變量往往不是連續(xù)變化的，而是取一系列離散的值,例如按年、月、日等，此時要描述這種自變量是離散的變化關(guān)系就是本節(jié)要介紹的差分方程。,顯然微分方程和差分方程是兩類不同的方程，但它們有許多共同點，因此與微分方程對照，采用類比的方法是學(xué)習(xí)差分方程有效的方法。,(一) 差分概念,一階差分：,三階差分：,一般地，k 階差分定義為,例1,(二) 差分方程的一般概念,定義,差分方程的解：,定義 若一個函數(shù)代入差分方程后，方程兩邊恒等，則稱此函數(shù)為該差分方程的解。,若差分方程

11、的解中含有相互獨立的任意常數(shù)且個數(shù)恰好等于差分方程的階數(shù)，則稱該解為差分方程的通解。,差分方程滿足初始條件的解稱為該問題的特解。,第六節(jié) 一階和二階常系數(shù)線性差分方程,(一)一階常系數(shù)線性差分方程,標(biāo)準(zhǔn)形式,時有定義。,為一階常系數(shù)齊次線性差分方程，,否則，稱為一階常系數(shù)非齊次線性差分方程。,(1),(2),(2)稱為(1)對應(yīng)的齊次線性差分方程。,(1),(2),不難證明，(2)的通解為,C為任意常數(shù).,可以證明,一階常系數(shù)線性差分方程的通解與一階線性微分方程有相同的結(jié)構(gòu)，即有,定理(一階常系數(shù)線性差分方程通解的結(jié)構(gòu)),一階常系數(shù)線性差分方程(1)的通解可表示為,當(dāng) f(x)是多項式、指數(shù)函

12、數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和差或乘積時，一般可用待定系數(shù)法求(2)的一個特解.,討論三種情形：,情形1,情形2,情形3,例1,的通解.,解,代入方程得,得特解為,從而通解為,C為任意常數(shù).,代入方程得,例2,的通解.,解,沒有這樣的特解。,例2,的通解.,解,代入方程得,得特解為,系數(shù) a 的取值,代入方程得,例3,解,得特解為,從而通解為,C為任意常數(shù).,代入方程得,不存在這樣的特解。,例4,解,代入方程得,例4,解,得特解為,d 與系數(shù) a 的關(guān)系,代入方程得,例5,解,得特解為,如果所給差分方程不是標(biāo)準(zhǔn)形式的，必須首先把它化為標(biāo)準(zhǔn)形式才能應(yīng)用上面給出的通解公式和選取特解的有關(guān)結(jié)論.

13、,(二) 二階常系數(shù)線性差分方程,標(biāo)準(zhǔn)形式,時有定義.,為二階常系數(shù)齊次線性差分方程，,否則，稱為二階常系數(shù)非齊次線性差分方程.,(1),(2),(2)稱為(1)對應(yīng)的齊次線性差分方程.,二階常系數(shù)齊次差分線性方程解的性質(zhì),1、方程(2)的任意兩個解的和仍是(2)的解；,2、方程(2)的任意一個解的常數(shù)倍仍是(2)的解；,也是(2)的解.,(稱線性無關(guān)),則上式為(2)的通解.,定理1,(2),對應(yīng)齊次方程,二階常系數(shù)非齊次線性差分方程解的性質(zhì),1、方程(1)的任意一個解加上方程(2)的任意一個解是(1)的解；,2、方程(1)的任意兩個解之差是(2)的解 。,定理2,那么方程(1)的通解為,(1),(2),二階常系數(shù)齊次線性差分方程的解法,代數(shù)方程(3)稱為差分方程(2)的特征方程,它的根稱為特征根(或特征值).,(3),(2),故它們線性無關(guān),因此(2)的通解為,(3),情形1,情形2,則特征方程(3)有兩個相等的實根,于是(2)的通解為,情形3,可以證明,是(2)的解，,且線性無關(guān)，,所以方程(2)的通解為,則特征方程(3)有一對共軛復(fù)根,其中,小結(jié),特征根的情況,通解的表達(dá)式,實根,實根,復(fù)根,解,特征方程為,故所求通解為,例1,例2,解,特征方程為,解得,故所求通解為,特征根為,解,特征方程為,故所求通解為,例3,二階常系數(shù)非齊次線性差分方程的解法,(1),對應(yīng)齊