1、對流占優(yōu)擴(kuò)散方程的特征差分法,班級(jí)：數(shù)應(yīng)062 姓名：鄭杰 指導(dǎo)老師：王傳麗 2010.06.15,河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院2010屆畢業(yè)生論文答辯,前 言,隨著現(xiàn)代工業(yè)的發(fā)展和人類活動(dòng)的加劇，污染物以及懸浮顆粒排入大氣、江河、湖 泊和海洋中，它們在大氣及水體中的變化過程都可以概括為對流擴(kuò)散問題的各種數(shù)學(xué)模型。但是對于大部分對流擴(kuò)散方程來說，很難找出它們的解析解，因此 ,對流擴(kuò)散方程的數(shù)值解法就顯的尤為重要。,內(nèi)容簡介,有限差分法的基礎(chǔ)知識(shí) 中心顯示格式和迎風(fēng)格式及其收斂性分析 基于線性插值的一般特征差分法 基于雙線性插值的特征差分法 數(shù)值算例,考慮一維對流擴(kuò)散方程的初邊值問題,其中a,v為

2、常數(shù)，v0。當(dāng)a遠(yuǎn)大于v時(shí)，即為對流占優(yōu)問題。 我們已經(jīng)很熟悉對流方程和擴(kuò)散方程的差分方法，兩者結(jié)合起來就可以得到求解對流擴(kuò)散方程的差分方法，但另一方面，對流擴(kuò)散方程也有自己的特點(diǎn)，特別是所謂對流占優(yōu)擴(kuò)散問題，這類問題的差分方法引起了特別重視。,（1）,初值條件： 邊值條件：,中心顯示格式,下面我們利用以上基本知識(shí)推導(dǎo)出 對流占優(yōu)擴(kuò)散方程的常用差分格式： 時(shí)間導(dǎo)數(shù)用向前差商、空間導(dǎo)數(shù) 用中心差商來逼近，那么就得到了（1） 式的差分格式 （2） 顯然，格式（2）的截?cái)嗾`差為 。如果v=0，那么（2）式就是對流方程的一個(gè)差分格式。我們知道，這是一個(gè)不穩(wěn)定的差分格式。,下面對于 來討論差分格式（2）

3、的穩(wěn)定性，若令 那么差分格式（2）可改寫為 （3） 容易求出這個(gè)差分格式的增長因子,其模的平方為 由差分格式穩(wěn)定的充分條件 知： 差分格式（1）的穩(wěn)定性限制為 （4） （5） 條件（5）即為擴(kuò)散方程向前差商格式的穩(wěn)定性條件。由于增加了對流項(xiàng)，因此時(shí)間步長增加了限制（4）式。,迎風(fēng)差分格式,在一階空間偏導(dǎo)數(shù)離散中采用單 邊差商，那么逼近（1）式的迎風(fēng)差 分格式為 容易看出，（6）式的截?cái)嗾`差為 。 為討論區(qū)穩(wěn)定性，可以把（6）式寫成（2）式的形式，即,（6）,迎風(fēng)差分格式的穩(wěn)定性條件為 ： 迎風(fēng)格式是一階精度的差分格式，但在實(shí)際計(jì)算中還是經(jīng)常采用的，特別是當(dāng)對流項(xiàng)系數(shù)比擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)大很多的情況，即

4、所謂對流占優(yōu)擴(kuò)散問題，采用中心格式已經(jīng)不能很好計(jì)算問題的結(jié)果，而用迎風(fēng)格式可以計(jì)算出問題的近似解。,基于線性插值的特征差分法,對于比較特殊的對流占優(yōu)問題，由于方程呈現(xiàn)出雙曲型方程的基本特性，需要考慮能反映雙曲型方程的特征性質(zhì)的數(shù)值解法特征有限差分方法正是這樣一類方法。 考慮變系數(shù)對流占優(yōu)擴(kuò)散方程：,（7）,令 ，則與算子 相伴的特征方向?yàn)椋?而且沿著特征方向?qū)?shù)為： 故（7）中的方程可以化為： （*）,假設(shè)已知第n層上各網(wǎng)點(diǎn)的值，欲求第n+1層上的數(shù)據(jù)。下面考察自點(diǎn)出發(fā)的特征線。并根據(jù)特征線斜率的不同取值可以分四種情況討論：,下面著重討論 的情況： 此時(shí)特征線與直線 交于點(diǎn) ，可以用下列近似公

5、式逼近特征方向?qū)?shù)： 用二階中心差商逼近擴(kuò)散項(xiàng)：,分別記 為用差商近似替代特征方向?qū)?shù)的局部截?cái)嗾`差， 為用差商近似替代擴(kuò)散項(xiàng)。于是有： 略去截?cái)嗾`差，則得到求解初邊值問題（7）的特征差分格式： （8）,其中， 為以 為節(jié)點(diǎn)作線性插值的插值函數(shù)： （9） 用能量估計(jì)法可證明 格式是收斂的，整體 誤差為 ， 且該格式是無條件穩(wěn) 定（詳細(xì)證明見 論文15-17頁）。,基于雙線性插值的特征差分法,取空間步長 ，節(jié)點(diǎn) ， ，時(shí)間步長 ，節(jié)點(diǎn) ， ，沿特征線作如下差商離散 （10） 這里 為點(diǎn) 的坐標(biāo)， ，令 ， 則由 得 ，則知 并求得 于是由（10）式可以得到,為局部截?cái)嗾`差，記二階中心差商 并對擴(kuò)

6、散項(xiàng)用二階中心差商來逼近 （11）,為二階中心差商的局部截?cái)嗾`差，這樣由（10）、（11）兩式變得 （12） 其中 （13） （14） （15）,略去中的 ，則得到求解初邊值問題的特征差分格式 （16）,格式(16)中的 由 四點(diǎn)的函數(shù)值通過雙線性插值得到，我們令 ，其中 表示用 插值數(shù)據(jù)求得的雙線性插值函數(shù)。關(guān)于插值函數(shù) 的構(gòu)成，分兩步進(jìn)行，首先用 做線性插值得：,再用 作線性插值得：,最后用 和 ，作線性插值求出,即,代入（16）式可得具體的計(jì)算格式。 雙線性插值的誤差估計(jì)思想和基于線性插值的特征差分格式中誤差估計(jì)大致相同，分析可知，基于雙線性插值的特征差分格式的整體誤差為 。以上討論是 的情形，當(dāng) 時(shí)，可類似進(jìn)行討論并得出相應(yīng)的計(jì)算格式。,數(shù)值算例,考慮溫度波傳播的例子 初值 解析解：,現(xiàn)在取 。,結(jié) 論,中心顯示格式對于非對流占優(yōu)擴(kuò)散方程，構(gòu)造簡單，利于編程。在處理對流占優(yōu)方程時(shí)在數(shù)值陡峭處出現(xiàn)數(shù)值震蕩。 迎風(fēng)格式的穩(wěn)定范圍要大于中心顯示格式，可以應(yīng)用于對流占優(yōu)方程。在本例中無數(shù)值震蕩，誤差與 同階。 對流占優(yōu)擴(kuò)散方程有較強(qiáng)的雙曲性質(zhì)，