1、1.3 球面波,波面為球面的波被稱為球面波。,簡(jiǎn)諧平面波是描述光波的基本模型。雖然任意復(fù)雜波可以用簡(jiǎn)諧平面波的疊加來描述，但有些兩種特殊波面（比如球面波）的光波可用更簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)式來描述。,理想點(diǎn)光源發(fā)出的波為球面波。,一個(gè)在真空或各向同性介質(zhì)中的理想點(diǎn)光源，它向外發(fā)射的光波是球面光波，等相位面是以點(diǎn)光源為中心、隨著距離的增大而逐漸擴(kuò)展的同心球面。,1.3.1 球坐標(biāo)系中的波動(dòng)微分方程,球面波具有球?qū)ΨQ性，在球坐標(biāo)系中，球面波的波函數(shù)只與 r 有關(guān)，與和無關(guān)。所以：,在球坐標(biāo)系中，有：,代入上式，有：,其通解：,向原點(diǎn)會(huì)聚,從原點(diǎn)發(fā)散,規(guī)定速度v的正負(fù)表示波的傳播方向，球面波的波函數(shù)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化

2、為：,1.3.2. 簡(jiǎn)諧球面波,當(dāng)波函數(shù)為正弦或余弦形式時(shí)，對(duì)應(yīng)的球面波稱為簡(jiǎn)諧球面波。,簡(jiǎn)諧球面波的波函數(shù)：,簡(jiǎn)諧球面波的復(fù)指數(shù)描述：,簡(jiǎn)諧球面波的復(fù)振幅：,1.3.3簡(jiǎn)諧球面波參量的特點(diǎn),（1）振幅,振幅不是一個(gè)常量，它隨r 增加而減?。坏趓相同的球面上，振幅是均勻的。A1是一個(gè)常量，代表r=1處的振幅，表征振動(dòng)源的強(qiáng)弱，稱為源強(qiáng)度。,簡(jiǎn)諧球面波振幅的這個(gè)特點(diǎn)是能量守恒定律所要求的。,（2）相位,簡(jiǎn)諧球面波的相位是：,說明v是沿球面徑向的位相傳播速率。,當(dāng)?shù)认辔幻孀郧蛐南蛲鈧鞑r(shí)v0,稱為發(fā)散球面波，,當(dāng)?shù)认嗝嫦蚯蛐臅?huì)聚時(shí)v0，稱為會(huì)聚球面波。,K仍為波數(shù)：,代表發(fā)散和會(huì)聚球面波。,由于

3、球面波振幅隨r增大而減小，故嚴(yán)格說來：,球面波波函數(shù)不成現(xiàn)嚴(yán)格的空間周期性。,1.3.4簡(jiǎn)諧球面波在平面上的近似表達(dá)式,在光學(xué)中，通常要求解光波在某個(gè)平面上的復(fù)振幅分布。,將r代入上式，并設(shè)光源的初相為0，,這個(gè)表達(dá)式含有根式，相當(dāng)復(fù)雜，不便于分析，考慮到光學(xué)研究的實(shí)際情況，常常對(duì)上式做適當(dāng)簡(jiǎn)化。,1.3.5簡(jiǎn)諧球面波的共軛光波,與平面波的共軛光波類似，對(duì)位于點(diǎn)S的點(diǎn)光源發(fā)出的球面波。,它在z=0平面上的復(fù)振幅分布：,其中：,其共軛：,即：,這顯然是一束會(huì)聚的球面波，會(huì)聚中心為：,前者表示沿原路返回的球面波，后者會(huì)聚中心S與原光源S對(duì)z=0平面鏡像對(duì)稱。,1.5 電磁場(chǎng)的邊界條件,將麥克斯韋方

4、程組應(yīng)用于兩種介質(zhì)的界面，可以得到電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系：,在界面兩側(cè)，電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量連續(xù)：,在界面兩側(cè)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量連續(xù)。,在界面兩側(cè)，電位移矢量的法向分量連續(xù)。,在界面兩側(cè)，磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量連續(xù)。,1.6 光波在兩種各向同性的均勻媒質(zhì)界面上的反射和折射,光波由一種媒質(zhì)投射到與另一種媒質(zhì)的交界面時(shí)，將發(fā)生反射和折射（透射）現(xiàn)象。根據(jù)麥克斯韋方程組和邊界條件討論光在介質(zhì)界面的上的反射和折射。反射波、透射波與入射波傳播方向之間的關(guān)系由反射定律和折射定律描述，而反射波、透射波與入射波之間的振幅和相位關(guān)系由菲涅耳(Fresnel)公式描述。,1.6.1 折射和反射定律,光由一種介質(zhì)入射到另一

5、種介質(zhì)，在界面上將產(chǎn)生反射和折射?，F(xiàn)假設(shè)二介質(zhì)為均勻、透明、各向同性，分界面為無窮大的平面， 入射、 反射和折射光均為平面光波，其電場(chǎng)表示式為 ：,l=i, r, t,式中，腳標(biāo)i, r, t分別代表入射光、反射光和折射光；r是界面上任意點(diǎn)的矢徑，在如圖所示的坐標(biāo)情況下，有:,平面光波在界面上的反射和折射,界面兩側(cè)，總電場(chǎng)：,考慮到電場(chǎng)在界面兩側(cè)的邊界條件：,上式對(duì)于任意時(shí)間都成立，必須有：,這說明： 入射光、反射光和折射光具有相同的頻率；,上式對(duì)于任意位置都成立，必須有：,這說明：入射光、反射光和折射光均在入射面內(nèi)，三個(gè)波矢關(guān)系如圖所示。,三波矢關(guān)系,進(jìn)一步，根據(jù)上圖所示的幾何關(guān)系，可得到

6、：,又因?yàn)閗=n/c，可將上二式改寫為,這就是介質(zhì)界面上的反射定律和折射定律， 折射定律又稱為斯涅耳(Snell)定律。,1.6.2 菲涅耳公式,光的折射和反射定律只是解決了光在兩種介質(zhì)分界面處的傳播方向問題。不能解決光在界面處的能量分配（振幅）和相位變化。下面我們還是利用電磁場(chǎng)的邊界條件進(jìn)一步解決振幅和相位問題。也就是導(dǎo)出菲涅耳公式。我們只討論電場(chǎng)的菲涅耳公式。,1. s分量和p分量,通常把垂直于入射面振動(dòng)的分量叫做s分量，把平行于入射面振動(dòng)的分量稱做p分量。為討論方便起見，規(guī)定s分量和p分量的正方向如圖所示。,2. 反射系數(shù)和透射系數(shù),假設(shè)介質(zhì)中的電場(chǎng)矢量為:,l=i, r, t,其s分量

7、和p分量表示式為:,m=s,p,則定義s分量、p分量的反射系數(shù)、透射系數(shù)分別為 :,3. 菲涅耳公式的推導(dǎo),假設(shè)界面上的入射光、反射光和折射光同相位，根據(jù)電磁場(chǎng)的邊界條件及s分量、 p分量的正方向規(guī)定，可得：,考慮到平面電磁波電場(chǎng)和磁場(chǎng)之間的關(guān)系（數(shù)值及方向）：,上式變?yōu)椋?聯(lián)立（1）、（2）兩式，可得s分量的反射系數(shù)：,和透射系數(shù)：,同理可得p分量的反射系數(shù)：,和透射系數(shù)：,1.6.3 菲涅耳公式的討論,（1）n1n2的情形：,即：由光疏介質(zhì)射入光密介質(zhì)。,振幅變化規(guī)律：,看圖理解。,特別的，對(duì)于正入射情況（入射角為零）：,此二式可用來估計(jì)小角度入射（絕大多數(shù)場(chǎng)合）。,反射、透射系數(shù)和入射角

8、的關(guān)系,偏振性質(zhì)和布儒斯特定律。,看圖理解。,當(dāng)光以某一特定角度1=B入射時(shí)，rp=0，在反射光中不存在p分量。此時(shí)，根據(jù)菲涅耳公式有B+t=90，即該入射角與相應(yīng)的折射角互為余角。這就是布儒斯特定律。B被稱為布儒斯特角。,利用折射定律，可得該特定角度滿足,例如，當(dāng)光由空氣射向玻璃時(shí)，n1=1，n2=1.5，布儒斯特角B=5640。,相位變換規(guī)律。,剛才討論的菲涅耳系數(shù)的絕對(duì)值，現(xiàn)在看一下菲涅耳系數(shù)的正負(fù)（此時(shí)它們都是實(shí)數(shù)）。,菲涅耳系數(shù)的正負(fù)反映了反射波和透射波相對(duì)與入射波的相位突變。,對(duì)于透射波，s分量和p分量的透射系數(shù)都是正數(shù)，說明透射波沒有相位突變。,對(duì)于反射波，就s分量和p分量分別討

9、論。,反射波的s分量：,說明反射波的s分量有的相位突變，稱為半波損失。,反射波的p分量：,這時(shí)不能簡(jiǎn)單的說有沒有半波損失。這時(shí)還要考慮我們對(duì)正方向的規(guī)定。,只有在正入射（入射角為零）和掠入射（入射角為九十度）時(shí)才有尋常意義上的半波損失。,透過率和反射率。,為了研究透射光和反射光之間的能量分配，引入了透過率T和反射率R。,如圖所示，若有一個(gè)平面光波以入射角斜入射介質(zhì)分界面，平面光波的強(qiáng)度為I，則每秒入射到界面上單位面積的能量為,W=I cos,設(shè)入射光單位時(shí)間投射到界面上的能量為Wi，同一時(shí)間同一界面上反射波和透射波獲得的能量分別為Wr和Wt，則反射率R和透射率T定義為：,考慮到光強(qiáng)表示式（1.

10、57）：,上式可寫成：,l=i, r, t,W=I cos,由此可以得到反射率、 透射率分別為：,將菲涅耳公式代入，即可得到入射光中s分量和p分量的反射率和透射率的表示式分別為 ：,由上述關(guān)系式，顯然有：,空氣玻璃界面的反射率與透過率與入射角的關(guān)系,（2）n1n2的情形：,即：由光密介質(zhì)射入光疏介質(zhì)。,此時(shí)，折射角大于入射角，我們把折射角為直角時(shí)所對(duì)應(yīng)的入射角稱為全反射臨界角。,當(dāng)入射角小于臨界角時(shí)。,分析方法和前面相同，我們將菲涅耳公式繪圖分析。,反射、透射系數(shù)和入射角的關(guān)系,通過分析不難發(fā)現(xiàn)：,由光密介質(zhì)射入光疏介質(zhì)沒有半波損失。,布儒斯特定律形式不變。,菲涅耳系數(shù)可以大于一，但并不意味著

11、能量不守恒。,當(dāng)入射角大于臨界角時(shí)。,由折射定律：,此時(shí)，,t為復(fù)數(shù)。,此時(shí)菲涅耳系數(shù)為復(fù)數(shù)：,i為實(shí)數(shù)，在形式上有：,1.7 全反射,1.7.1 全反射時(shí)反射波的相位變化,將折射角由實(shí)數(shù)域擴(kuò)展到復(fù)數(shù)域后，全反射時(shí)的菲涅耳系數(shù)一般也是復(fù)數(shù)，其輻角就是相應(yīng)的相位變化：,利用s分量和p分量的相位突變的差異性，可以利用線偏振光來產(chǎn)生圓偏振光或者橢圓偏振光。,1.7.2 隱失波,全反射時(shí)，反射率為100，透射光強(qiáng)為0，第二種媒質(zhì)中似乎不應(yīng)該有光場(chǎng)。,更深入地研究表明：在全反射時(shí)，光波場(chǎng)將透入到第二種介質(zhì)很薄的一層內(nèi)（約為光波波長(zhǎng)），并沿著界面?zhèn)鞑ヒ欢尉嚯x，再返回第一種介質(zhì)。這種波叫做隱失波或者倏逝波。,可能有些同學(xué)也注意到了，在全反射時(shí)，透射系數(shù)并不為零。,設(shè)透射波的波函數(shù)為（坐標(biāo)系）：,這樣，透射波的波函數(shù)：,將代入，得到隱失波的波函數(shù)：,隱失波的波函數(shù)也是由“振幅項(xiàng)”和“相位項(xiàng)”組成，“相位