高等數(shù)學教學資料定積分應用2

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1、二、平面曲線的弧長,當折線段的最大,0 時,折線的長度趨向于一個確定的極限 ,即,并稱此曲線弧為可求長的.,定理: 任意光滑曲線弧都是可求長的.,(證明略),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,則稱,(1) 曲線弧由直角坐標方程給出:,弧長元素(弧微分) :,因此所求弧長,(P168),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,(2) 曲線弧由參數(shù)方程給出:,弧長元素(弧微分) :,因此所求弧長,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,(3) 曲線弧由極坐標方程給出:,因此所求弧長,則得,弧長元素(弧微分) :,(自己驗證),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例9. 兩根電線桿之間的電線, 由于其本身

2、的重量,成懸鏈線 .,求這一段弧長 .,解:,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,下垂,懸鏈線方程為,例10. 求連續(xù)曲線段,解:,的弧長.,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例11. 計算擺線,一拱,的弧長 .,解:,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例12. 求阿基米德螺線,相應于 02,一段的弧長 .,解:,(P349 公式39),小結(jié) 目錄上頁下頁返回結(jié)束,四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 (補充),設平面光滑曲線,求,積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積,它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積 .,取側(cè)面積元素:,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,側(cè)面積元素,的線性主部 .,若光滑曲線由參數(shù)方程,給出,則它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的,不是薄片側(cè)面積S 的,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,注意:,側(cè)面積為,例19. 計算圓,x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺的側(cè)面積 S .,解: 對曲線弧,應用公式得,當球臺高 h2R 時, 得球的表面積公式,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例20. 求由星形線,一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積

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