1、23（13分）（2014海南）如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，CAB的平分線分別交BD，BC于點E，F(xiàn)，作BHAF于點H，分別交AC，CD于點G，P，連接GE，GF（1）求證：OAEOBG；（2）試問：四邊形BFGE是否為菱形？若是，請證明；若不是，請說明理由；（3）試求：的值（結(jié)果保留根號）解答：（1）證明：四邊形ABCD是正方形，OA=OB，AOE=BOG=90 BHAF，AHG=90，GAH+AGH=90=OBG+AGH，GAH=OBG，即OAE=OBG在OAE與OBG中，OAEOBG（ASA）；（2）四邊形BFGE是菱形，理由如下：在AHG與AHB中，AHGAHB（ASA），G

2、H=BH，AF是線段BG的垂直平分線，EG=EB，F(xiàn)G=FBBEF=BAE+ABE=67.5，BFE=90BAF=67.5BEF=BFE EB=FB，EG=EB=FB=FG，四邊形BFGE是菱形；（3）設OA=OB=OC=a，菱形GEBF的邊長為b四邊形BFGE是菱形，GFOB，CGF=COB=90，GFC=GCF=45，CG=GF=b，（也可由OAEOBG得OG=OE=ab，OCCG=ab，得CG=b）OG=OE=ab，在RtGOE中，由勾股定理可得：2（ab）2=b2，求得 a=bAC=2a=（2+）b，AG=ACCG=（1+）bPCAB，CGPAGB，=1，由（1）OAEOBG得 AE=

3、GB，=1，即=1232013（13分）（1）如圖（1）點P是正方形ABCD的邊CD上一點（點P與點C，D不重合），點E在BC的延長線上，且CE=CP，連接BP，DE求證：BCPDCE；如圖（2）直線EP交AD于F，連接BF，F(xiàn)C點G是FC與BP的交點若CD=2PC時，求證：BPCF；若CD=nPC（n是大于1的實數(shù)）時，記BPF的面積為S1，DPE的面積為S2求證：S1=（n+1）S2證明：（1）在BCP與DCE中，BCPDCE（SAS）（2）CP=CE，PCE=90，CPE=45，F(xiàn)PD=CPE=45，PFD=45，F(xiàn)D=DPCD=2PC，DP=CP，F(xiàn)D=CP在BCP與CDF中，BCPC

4、DF（SAS）FCD=CBP，CBP+BPC=90，F(xiàn)CD+BPC=90，PGC=90，即BPCF證法一：設CP=CE=1，則BC=CD=n，DP=CDCP=n1易知FDP為等腰直角三角形，F(xiàn)D=DP=n1S1=S梯形BCDFSBCPSFDP=（BC+FD）CDBCCPFDDP=（n+n1）nn1（n1）2=（n21）；S2=DPCE=（n1）1=（n1）n21=（n+1）（n1），S1=（n+1）S2證法二：ADBE，F(xiàn)DPECP，=，S1=SBEF如下圖所示，連接BDBC：CE=CD：CP=n，SDCE=SBED，DP：CP=n1，S2=SDCE，S2=SBEDADBE，SBEF=SBED

5、，S1=（n+1）S223（11分）（2012海南）如圖（1），在矩形ABCD中，把B、D分別翻折，使點B、D恰好落在對角線AC上的點E、F處，折痕分別為CM、AN，（1）求證：ADNCBM；（2）請連接MF、NE，證明四邊形MFNE是平行四邊形；四邊形MFNE是菱形嗎？請說明理由；（3）點P、Q是矩形的邊CD、AB上的兩點，連接PQ、CQ、MN，如圖（2）所示，若PQ=CQ，PQMN，且AB=4cm，BC=3cm，求PC的長度解答：（1）證明：由折疊的性質(zhì)得出DAN=NAC，BCM=ACM，ADBC，DAC=BCA，DAN=BCM，在RtADN和RtCBM中，ADNCBM，（2）解：連接NE

6、、MF，ADNCBM，NF=ME，NFE=MEF，NFME，四邊形MFNE是平行四邊形，MN與EF不垂直，四邊形MFNE不是菱形；（3）解：設AC與MN的交點為O，EF=x，作QGPC于G點，AB=4，BC=3，AC=5，AF=CE=BC=3，2AFEF=AC，即6x=5，解得x=1，EF=1，CF=2，在RtCFN中，tanDCA=，解得NF=，OE=OF=EF=，在RtNFO中，ON2=OF2+NF2，ON=，MN=2ON=，PQMN，PMMQ，四邊形MQPN是平行四邊形，MN=PQ=，PQ=CQ，PQC是等腰三角形，PG=CG，在RtQPG中，PG2=PQ2QG2，即PG=1，PC=2P

7、G=2 23、（2011海南）如圖，在菱形ABCD中，A=60，點P、Q分別在邊AB、BC上，且AP=BQ（1）求證：BDQADP；（2）已知AD=3，AP=2，求cosBPQ的值（結(jié)果保留根號）分析：（1）由四邊形ABCD是菱形，可證得AD=AB，ABD=CBD=12ABC，ADBC，又由A=60，易得ABD是等邊三角形，然后由SAS即可證得BDQADP；（2）首先過點Q作QEAB，交AB的延長線于E，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得PE與QE的長，又由勾股定理，即可求得PQ的長，則可求得cosBPQ的值解：（1）四邊形ABCD是菱形，AD=AB，ABD=CBD=12ABC，ADBC，A=60

8、，ABD是等邊三角形，ABC=120，AD=BD，CBD=A=60，AP=BQ，BDQADP（SAS）；（2）過點Q作QEAB，交AB的延長線于E，BDQADP，BQ=AP=2，ADBC，QBE=60，QE=QBsin60=232=3，BE=QBcos60=212=1，AB=AD=3，PB=ABAP=32=1，PE=PB+BE=2，在RtPQE中，PQ=PE2+QE2=7，cosBPQ=PEPQ=27=27723. （2011海南11分）如圖10，四邊形ABCD和四邊形AEFG均為正方形，連接BG與DE相交于點H（1）證明：ABG ADE ； （2）試猜想BHD的度數(shù)，并說明理由；CFGEDB

9、A圖10H（3）將圖中正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)（0BAE 180），設ABE的面積為，ADG的面積為，判斷與的大小關(guān)系，并給予證明（1）證明：在正方形ABCD和正方形AEFG中GAE=BAD=90 GAE+EAB=BAD+EAB 即GAB=EAD 又AG=AE AB=AD ABGADE （2）我猜想BHD=90理由如下：ABGADE 1=2 5分而3=4 1+3=2+42+4=90 1+3=90 6分BHD=90 7分（3）證法一：當正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)0BAE180時,S1和S2總保持相等 8分證明如下：由于0BAE180因此分三種情況：當0BAE90時 （如圖10）CABDEGFMN圖101324過點B作BM直線AE于點M，過點D作DN直線AG于點NMAN=BAD=90MAB=NAD又AMB=AND=90 AB=ADAMBAND BM=DN 又AE=A