1、*三、向量的混合積,第二節(jié),一、兩向量的數(shù)量積,二、兩向量的向量積,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,數(shù)量積 向量積 *混合積,第八章,一、兩向量的數(shù)量積,沿與力夾角為,的直線移動(dòng),1. 定義,設(shè)向量,的夾角為 ,稱,數(shù)量積,(點(diǎn)積) .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,故,2. 性質(zhì),為兩個(gè)非零向量,則有,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3. 運(yùn)算律,(1) 交換律,(2) 結(jié)合律,(3) 分配律,事實(shí)上, 當(dāng),時(shí), 顯然成立 ;,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1. 證明三角形余弦定理,證:,則,如圖 . 設(shè),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,4. 數(shù)量積的坐標(biāo)表示,設(shè),

2、則,當(dāng),為非零向量時(shí),由于,兩向量的夾角公式, 得,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 已知三點(diǎn), AMB .,解:,則,求,故,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,體的質(zhì)量P (流體密度為 ) .,求單位時(shí)間內(nèi)流過該平面域的流,例3. 設(shè)均勻流速為,的流體流過一個(gè)面積為,A 的平面域 ,與該平面域的單位垂直向量,解:,單位時(shí)間內(nèi)流過的體積,的夾角為,且,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、兩向量的向量積,引例. 設(shè)O 為杠桿L 的支點(diǎn) ,有一個(gè)與杠桿,符合右手規(guī)則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,夾角為,1. 定義,定義,向量,方向 :,(叉積),記作,且符合右手規(guī)則,模 :

3、,向量積 ,引例中的力矩,思考: 右圖三角形面積,S,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 性質(zhì),為非零向量, 則,3. 運(yùn)算律,(2) 分配律,(3) 結(jié)合律,(證明略),證明:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,4. 向量積的坐標(biāo)表示式,設(shè),則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,向量積的行列式計(jì)算法,( 行列式計(jì)算見 P339P342 ),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4. 已知三點(diǎn),角形 ABC 的面積,解: 如圖所示,求三,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,剛體上一點(diǎn) M 的線速度,例5. 設(shè)剛體以等角速度 繞 l 軸旋轉(zhuǎn),導(dǎo)出,的表示式 .,解: 在軸 l 上引進(jìn)一

4、個(gè)角速度向量,使,其,在 l 上任取一點(diǎn) O,作,它與,則,點(diǎn) M離開轉(zhuǎn)軸的距離,且,符合右手法則,的夾角為 ,方向與旋轉(zhuǎn)方向符合右手法則 ,向徑,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,*三、向量的混合積,1. 定義,已知三向量,稱數(shù)量,混合積 .,幾何意義,為棱作平行六面體,底面積,高,故平行六面體體積為,則其,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 混合積的坐標(biāo)表示,設(shè),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3. 性質(zhì),(1) 三個(gè)非零向量,共面的充要條件是,(2) 輪換對(duì)稱性 :,(可用三階行列式推出),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例6. 已知一四面體的頂點(diǎn),4 ) , 求該四面體

5、體積 .,解: 已知四面體的體積等于以向量,為棱的平行六面體體積的,故,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例7. 證明四點(diǎn),共面 .,解: 因,故 A , B , C , D 四點(diǎn)共面 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),設(shè),1. 向量運(yùn)算,加減:,數(shù)乘:,點(diǎn)積:,叉積:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,混合積:,2. 向量關(guān)系:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),1. 設(shè),計(jì)算,并求,夾角 的正弦與余弦 .,答案:,2. 用向量方法證明正弦定理:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證: 由三角形面積公式,所以,因,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,P22 3 , 4 , 6 , 7 , 9(1) ; (2) , 10 , 12,第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,作業(yè),備用題,1. 已知向量,的夾角,且,解：,機(jī)動(dòng)