1、習題四4 1符合什么規(guī)律得運動才就是諧振動?分別分析下列運動就是不就是諧振動:（ 1）拍皮球時球得運動；( ）如題 4 1圖所示 , 一小球在一個半徑很大得光滑凹球面內(nèi)滾動( 設小球所經(jīng)過得弧線很短） .題 4-1圖解：要使一個系統(tǒng)作諧振動, 必須同時滿足以下三個條件：一 , 描述系統(tǒng)得各種參量，如質(zhì)量、轉動慣量、擺長等等在運動中保持為常量；二, 系統(tǒng)就是在自己得穩(wěn)定平衡位置附近作往復運動；三，在運動中系統(tǒng)只受到內(nèi)部得線性回復力得作用或者說 , 若一個系統(tǒng)得運動微分方程能用描述時，其所作得運動就就是諧振動.（ 1) 拍皮球時球得運動不就是諧振動。第一，球得運動軌道中并不存在一個穩(wěn)定得平衡位置

2、;第二 , 球在運動中所受得三個力: 重力 , 地面給予得彈力，擊球者給予得拍擊力, 都不就是線性回復力。（ 2) 小球在題 4-1 圖所示得情況中所作得小弧度得運動, 就是諧振動顯然，小球在運動過程中 , 各種參量均為常量；該系統(tǒng) ( 指小球凹槽、地球系統(tǒng) ) 得穩(wěn)定平衡位置即凹槽最低點，即系統(tǒng)勢能最小值位置點 ; 而小球在運動中得回復力為 , 如題 4-1 圖（ b）所示題 中所述 , , 故 0，所以回復力為、式中負號，表示回復力得方向始終與角位移得方向相反。即小球在點附近得往復運動中所受回復力為線性得 . 若以小球為對象，則小球在以為圓心得豎直平面內(nèi)作圓周運動，由牛頓第二定律 , 在凹

3、槽切線方向上有令，則有4 2 勁度系數(shù)為與得兩根彈簧 , 與質(zhì)量為得小球按題 -2 圖所示得兩種方式連 接 , 試證明它們得振動均為諧振動 , 并分別求出它們得振動周期。題4-2圖解 :(1) 圖 (a ）中為串聯(lián)彈簧, 對于輕彈簧在任一時刻應有, 設串聯(lián)彈簧得等效倔強系數(shù)為等效位移為，則有又有所以串聯(lián)彈簧得等效倔強系數(shù)為即小球與串聯(lián)彈簧構成了一個等效倔強系數(shù)為得彈簧振子系統(tǒng)，故小球作諧振動。其振動周期為（）圖（ b) 中可等效為并聯(lián)彈簧，同上理，應有，即, 設并聯(lián)彈簧得倔強系數(shù)為，則有故同上理，其振動周期為4-3如題 圖所示，物體得質(zhì)量為, 放在光滑斜面上，斜面與水平面得夾角為，彈簧得倔強系

4、數(shù)為 , 滑輪得轉動慣量為，半徑為。先把物體托住 , 使彈簧維持原長 , 然 后由靜止釋放 , 試證明物體作簡諧振動，并求振動周期題圖解：分別以物體與滑輪為對象 , 其受力如題 4-3 圖 (b ）所示 , 以重物在斜面上靜平衡時位置為坐標原點，沿斜面向下為軸正向 , 則當重物偏離原點得坐標為時，有式中，為靜平衡時彈簧之伸長量，聯(lián)立以上三式, 有令則有故知該系統(tǒng)就是作簡諧振動, 其振動周期為44質(zhì)量為得小球與輕彈簧組成得系統(tǒng), 按得規(guī)律作諧振動，求:( ）振動得周期、振幅與初位相及速度與加速度得最大值;（ ) 最大得回復力、振動能量、平均動能與平均勢能，在哪些位置上動能與勢能相等？( ）與兩個

5、時刻得位相差;解 :(1 ）設諧振動得標準方程為，則知:又（ 2）當時，有，即4-5(3 ）一個沿軸作簡諧振動得彈簧振子，振幅為，周期為，其振動方程用余弦函數(shù)表示. 如果時質(zhì)點得狀態(tài)分別就是：( ）；（ 2) 過平衡位置向正向運動（ 3）過處向負向運動；( ) 過處向正向運動。;試求出相應得初位相, 并寫出振動方程。解：因為將以上初值條件代入上式, 使兩式同時成立之值即為該條件下得初位相. 故有4 6一質(zhì)量為得物體作諧振動, 振幅為，周期為，當時位移為。求：（ 1）時，物體所在得位置及此時所受力得大小與方向;(2) 由起始位置運動到處所需得最短時間；（）在處物體得總能量 .解：由題已知又，時，

6、故振動方程為（ 1）將代入得方向指向坐標原點，即沿軸負向.（ 2) 由題知 , 時 , ，時（ 3）由于諧振動中能量守恒，故在任一位置處或任一時刻得系統(tǒng)得總能量均為4 7有一輕彈簧，下面懸掛質(zhì)量為得物體時，伸長為. 用這個彈簧與一個質(zhì)量為得小球構成彈簧振子 , 將小球由平衡位置向下拉開后, 給予向上得初速度，求振動周期與振動表達式.解 : 由題知而時，（ 設向上為正 )又4 8圖為兩個諧振動得曲線，試分別寫出其諧振動方程題 4 8圖解 : 由題 4 8圖 (a) ，時，即故由題 4- 圖（ b）時，時 ,又故4-9一輕彈簧得倔強系數(shù)為，其下端懸有一質(zhì)量為得盤子. 現(xiàn)有一質(zhì)量為得物體從離盤底高度

7、處自由下落到盤中并與盤子粘在一起，于就是盤子開始振動（）此時得振動周期與空盤子作振動時得周期有何不同?(2) 此時得振動振幅多大 ?（ 3）取平衡位置為原點 , 位移以向下為正 , 并以彈簧開始振動時作為計時起點，求初位相并寫出物體與盤子得振動方程 .解：（1）空盤得振動周期為，落下重物后振動周期為, 即增大 .(2 ）按 (3 ）所設坐標原點及計時起點, 時 , 則 . 碰撞時，以為一系統(tǒng)動量守恒，即則有于就是(3 ） (第三象限），所以振動方程為xmg 12khcoskt arctan2khk(m M ) gm M( M m) g4 10有一單擺，擺長，擺球質(zhì)量，當擺球處在平衡位置時, 若

8、給小球一水平向右得沖量，取打擊時刻為計時起點，求振動得初位相與角振幅, 并寫出小球得振動方程解：由動量定理，有按題設計時起點, 并設向右為軸正向, 則知時 ,0又故其角振幅小球得振動方程為4 11有兩個同方向、同頻率得簡諧振動，其合成振動得振幅為，位相與第一振動得位相差為 , 已知第一振動得振幅為, 求第二個振動得振幅以及第一、第二兩振動得位相差.題 4-11圖解：由題意可做出旋轉矢量圖如下.由圖知設角，則即即，這說明，與間夾角為, 即二振動得位相差為、4 12試用最簡單得方法求出下列兩組諧振動合成后所得合振動得振幅：(1 ）( ）解 : （1) 合振幅（ ) 合振幅 13一質(zhì)點同時參與兩個在同一直線上得簡諧振動, 振動方程為試分別用旋轉矢量法與振動合成法求合振動得振動幅與初相, 并寫出諧振方程。解：A1 sin1A2 sin 2tanA2 cos 2A2 cos 1其振動方程為（作圖法略）0.4 sin0.3sin 53660.4 cos0.3cos53