1、十年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題一試解析幾何圓錐曲線(xiàn)部分解答題2000、已知C0:x2+y2=1和C1:(ab0)。試問(wèn)：當(dāng)且僅當(dāng)a,b滿(mǎn)足什么條件時(shí)，對(duì)C1上任意一點(diǎn)P，均存在以P為項(xiàng)點(diǎn),與C0外切,與C1內(nèi)接的平行四邊形？并證明你的結(jié)論。2002已知點(diǎn)A(0，2)和拋物線(xiàn)y2=x4上兩點(diǎn)B，C，使得ABBC，求點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍2006. 給定整數(shù)，設(shè) 是拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn). 試證明對(duì)于任意正整數(shù)，必存在整數(shù)，使為拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn).2008如圖，是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，圓內(nèi)切于，求面積的最小值2000.答案：所求條件為+=1.證明：必要性：易知，圓外切平行四邊形一定是菱形，圓心即

2、菱形中心.假設(shè)論成立,則對(duì)點(diǎn)( a, 0 ), 有( a, 0 )為項(xiàng)點(diǎn)的菱形與C1內(nèi)接,與Co外切. ( a, 0 )的相對(duì)頂點(diǎn)為( - a, 0 ),由于菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分,另外兩個(gè)頂點(diǎn)必在y軸上,為(0, b) 和 (0, -b) .菱形一條邊的方程為+=1,即bx+ay=ab.由于菱形與CO外切,故必有 =1,整理得+=1. 必要性得證.充分性:設(shè)+=1,P是C1上任意一點(diǎn),過(guò)P、O作C1的弦PR，再過(guò)O作與PR垂直的弦QS，則PQRS為與C1內(nèi)接菱形.設(shè) OP = r1, OQ =r2, 則點(diǎn)O的坐標(biāo)為(r1cos, r1sin),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(r2cos(+),r2sin(+

3、),代入橢圓方程,得+=1, +=1,于是,+=()+=+=1. 又在RtPOQ中，設(shè)點(diǎn)O到PQ的距離為h，則=+=1,故得h=1同理，點(diǎn)O到QR，RS，SP的距離也為1，故菱形PQRS與C0外切.充分性得證.注對(duì)于給出 ，=1等條件者，應(yīng)同樣給分.2002. 解：設(shè)B(y024，y0)，C(y124，y1)則kAB=kBC=由kABkBC=1，得(y1+y0)(y0+2)=1 y02+(y1+2)y0+(2y1+1)=0 =(y1+2)24(2y1+1)=y124y10， y10，y14當(dāng)y1=0時(shí)，得B(3，1)，當(dāng)y1=4時(shí)，得B(5，3)均滿(mǎn)足要求，故點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍是(，04，

4、+)2005.過(guò)拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)A（1,1）作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，分別交軸于D，交軸于B.點(diǎn)C在拋物線(xiàn)上，點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上，滿(mǎn)足;點(diǎn)F在線(xiàn)段BC上，滿(mǎn)足，且，線(xiàn)段CD與EF交于點(diǎn)P.當(dāng)點(diǎn)C在拋物線(xiàn)上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程.解一：過(guò)拋物線(xiàn)上點(diǎn)A的切線(xiàn)斜率為：切線(xiàn)AB的方程為的坐標(biāo)為是線(xiàn)段AB的中點(diǎn). 5分設(shè)、，則由知，得EF所在直線(xiàn)方程為：化簡(jiǎn)得10分當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)CD的方程為：聯(lián)立、解得，消去，得P點(diǎn)軌跡方程為：15分當(dāng)時(shí)，EF方程為：方程為：，聯(lián)立解得也在P點(diǎn)軌跡上.因C與A不能重合，所求軌跡方程為20分解二：由解一知，AB的方程為故D是AB的中點(diǎn). 5分令則因?yàn)镃D為的中線(xiàn)，而是的重心. 10分設(shè)因點(diǎn)C異于A(yíng)，則故重心P的坐標(biāo)為消去得故所求軌跡方程為20分2006.【證明】 因?yàn)榕c的交點(diǎn)為.顯然有。（5分）若為拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)，則. （10分）記，則 ，（13.1）由于是整數(shù)，也是整數(shù)，所以根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，通過(guò)（13.1）式可證明對(duì)于一切正整數(shù)，是正整數(shù). 現(xiàn)在對(duì)于任意正整數(shù)，取，使得與的交點(diǎn)為. （20分）2008.解 設(shè)，不妨設(shè)直線(xiàn)的方程:，化簡(jiǎn)得 又圓心到的距離為1， ， 5分故，易知，上式化簡(jiǎn)得， 同理有