1、3.1.2 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算,O,B,結(jié)論：空間任意兩個(gè)向量都可平移到同一個(gè)平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的向量. 因此凡是涉及空間任意兩個(gè)向量的問(wèn)題，平面向量中有關(guān)結(jié)論仍適用于它們.,一、空間向量數(shù)乘運(yùn)算,1.實(shí)數(shù) 與空間向量 的乘積 仍然是一個(gè)向量.,當(dāng) 時(shí)，,當(dāng) 時(shí)，,與向量 方向相同；,與向量 方向相同；,是零向量.,當(dāng) 時(shí)，,（1）方向：,（2）大小：,的長(zhǎng)度是 的長(zhǎng)度的 倍.,2.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿(mǎn)足分配律及結(jié)合律,問(wèn)題2：平面向量中，,的充要條件是：存在,唯一的實(shí)數(shù) ，使,能否推廣到空間向量中呢？,問(wèn)題1：若,則,所在直線(xiàn)有那些位置關(guān)系?,零向量與任意向量共線(xiàn).,由此可判斷空間中兩直

2、線(xiàn)平行或三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題,共線(xiàn)向量定理: 對(duì)空間任意兩個(gè)向量 ， ， 的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)， 使,性質(zhì),判定,如圖，l 為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行已知非零向量 的直線(xiàn)，若點(diǎn)P是直線(xiàn)l上任意一點(diǎn)，則,對(duì)空間任意一點(diǎn)O,所以,即,若在l上取 則有,和都稱(chēng)為空間直線(xiàn)的向量表示式，空間任意直線(xiàn)由空間一點(diǎn)及直線(xiàn)的方向向量唯一決定.由此可判斷空間任意三點(diǎn)共線(xiàn)。,l,A,B,P,O,由 知存在唯一的t, 滿(mǎn)足,因?yàn)?所以,特別的，當(dāng)t= 時(shí)，,則有,進(jìn)一步，,t,1-t,P點(diǎn)為A,B 的中點(diǎn),l,A,B,P,O,練習(xí)1.對(duì)于空間任意一點(diǎn)O，下列命題正確的是： A.若，則P、A、B共線(xiàn) B.若，則P是AB的中點(diǎn) C

3、.若，則P、A、B不共線(xiàn) D.若，則P、A、B共線(xiàn),A、B、P三點(diǎn)共線(xiàn),A,O,A,B,P,三、共面向量:,1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.,注意：空間任意兩個(gè)向量是共面的，但空間任意三個(gè)向量,既可能共面，也可能不共面,由平面向量基本定理知，如果 ， 是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量 ，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) ， 使,如果空間向量 與兩不共線(xiàn)向量 ， 共面，那么可將三個(gè)向量平移到同一平面 ，則有,那么什么情況下三個(gè)向量共面呢？,反過(guò)來(lái)，對(duì)空間任意兩個(gè)不共線(xiàn)的向量 ， ，如果 ，那么向量 與向量 , 有什么位置關(guān)系？,C,2.共面向量定理：如果兩個(gè)向量 ， 不

4、共線(xiàn)，,則向量 與向量 ， 共面的充要條件是,存在實(shí)數(shù)對(duì)x,y使,推論:空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y使,C,對(duì)空間任一點(diǎn)O,有,填空：,1-x-y,x,y,C,式稱(chēng)為空間平面ABC的向量表示式，空間中任意平面由空 間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線(xiàn)的向量唯一確定.,由此可判斷空間任意四點(diǎn)共面,練習(xí)2.若對(duì)任一點(diǎn)O和不共線(xiàn)的三點(diǎn)A、B、C，且有 則x+y+z=1是四點(diǎn)P、A、B、C共面的（ ）,A.必要不充分條件,C.充要條件,B.充分不必要條件,D.既不充分也不必要條件,C,A、B、P三點(diǎn)共線(xiàn),解析：由共面向量定理知，要證明P、A、B、C四點(diǎn)共面，只要證明存在有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）使得,例1.已知A、B、C三點(diǎn)不共線(xiàn)，對(duì)于平面ABC外的任一點(diǎn)O，確定在下列各條件下，點(diǎn)P是否與A、B、C一定共面？,例2.如圖，已知平行四邊形ABCD，過(guò)平面AC外一點(diǎn)O作射線(xiàn)OA、OB、OC、OD，在四條射線(xiàn)上