1、 2019 屆高三年級第一次模擬考試數(shù)學(xué)(滿分 160 分，考試時(shí)間 120 分鐘)參考公式：柱體的體積公式：V 柱體Sh，其中 S 為柱體的底面積，h 為高.一、 填空題：本大題共 14 小題，每小題 5 分，共計(jì) 70 分.1. 已知集合 A1，3，B0，1，則集合 AB .2. 已知復(fù)數(shù) z3i(i 為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù) z 的模為 . 1i3. 某中學(xué)組織學(xué)生參加社會實(shí)踐活動，高二(1)班 50 名學(xué)生參加活動的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如下： 2i則平均每人參加活動的次數(shù)為 .4. 如圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出的 b 的值為 .5. 有數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各隨機(jī)參加一個(gè)，則這兩

2、位同學(xué)參加不同興趣小組的概率為 .6. 已知正四棱柱的底面邊長是 3 cm，側(cè)面的對角線長是 3 5cm， 則這個(gè)正四棱柱的體積為 cm3.7. 若實(shí)數(shù) x，y 滿足 xy2x3，則 xy 的最小值為 .x28. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知拋物線 y22px(p0)的準(zhǔn)線為 l，直線 l 與雙曲線 4y21 的兩條漸近線分別交于 A，B 兩點(diǎn)，AB 6，則 p 的值為 .9. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知直線 y3xt 與曲線 yasin xbcos x(a，b，tR)相切于點(diǎn)(0，1)，則(ab)t 的值為 。 已知數(shù)列an是等比數(shù)列，有下列四個(gè)命題：10. 數(shù)列|an|是等比

3、數(shù)列；1 數(shù)列anan1是等比數(shù)列； 數(shù)列a是等比數(shù)列； 數(shù)列l(wèi)g a2是等比數(shù)列.nn其中正確的命題有 個(gè).11. 已知函數(shù) f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，且 f(x2)f(x).當(dāng) 0x1 時(shí)，f(x)x3ax 1，則實(shí)數(shù) a 的值為 . 3， 2，則|AC 2 AD|12. 在平面四邊形 ABCD 中，AB1，DADB的最小值為 .，ABAC ACAD 13. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，圓 O：x2y21，圓 C：(x4)2y24.若存在過點(diǎn) P(m， 0)的直線 l，直線 l 被兩圓截得的弦長相等，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 .14. 已知函數(shù) f(x)(2xa)(|xa|x2a

4、|)(ab0)的左焦點(diǎn)為 F，右頂點(diǎn)為 A，上 a2b2頂點(diǎn)為 B.(1) 已知橢圓的離心率為 ，線段 AF 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 2 ，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；122(2) 已知ABF 的外接圓的圓心在直線 yx 上，求橢圓的離心率 e 的值.18. (本小題滿分 16 分)如圖 1，一藝術(shù)拱門由兩部分組成，下部為矩形 ABCD，AB，AD 的長分別為 23 m 和4 m，上部是圓心為 O 的劣弧 CD，COD2.3(1) 求圖 1 中拱門最高點(diǎn)到地面的距離； (2) 現(xiàn)欲以點(diǎn)B 為支點(diǎn)將拱門放倒，放倒過程中矩形 ABCD 所在的平面始終與地面垂直， 如圖 2、圖 3、圖 4 所示.設(shè) BC 與地面水平

5、線 l 所成的角為.記拱門上的點(diǎn)到地面的最大距離為 h，試用的函數(shù)表示 h，并求出 h 的最大值. 19. (本小題滿分 16 分)已知函數(shù) f(x)aln x(aR).x(1) 討論函數(shù) f(x)的單調(diào)性；設(shè)函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù)為 f(x)，若函數(shù) f(x)有兩個(gè)不相同的零點(diǎn) x1，x2.(2) 求實(shí)數(shù) a 的取值范圍；證明：x1f(x1)x2f(x2)2ln a2.20. (本小題滿分 16 分)已知等差數(shù)列an滿足 a44，前 8 項(xiàng)和 S836.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(1)(2) 若數(shù)列bn滿足錯(cuò)誤!(bka2n12k)2an3(2n1)(nN*).證明：bn為等比數(shù)列；am3ap（

6、m，p）| ，m，pN* 求集合bmbp. 2019 屆高三年級第一次模擬考試 數(shù)學(xué)附加題 (本部分滿分 40 分，考試時(shí)間 30 分鐘)21. 【選做題】本題包括 A、B、C 三小題，請選定其中兩小題，并作答.若多做，則按作答的前兩小題評分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A. 選修 4-2：矩陣與變換(本小題滿分10 分)10110abcd400，且(MN)1已知矩陣 M，N，求矩陣 M.22選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程(本小題滿分 10 分)xt，yt2在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C 的參數(shù)方程是(t 為參數(shù)).以原點(diǎn) O 為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線

7、l 的極坐標(biāo)方程是sin4 2.求：(1) 直線 l 的直角坐標(biāo)方程； (2) 直線 l 被曲線 C 截得的線段長.C. 選修 4-5：不等式選講(本小題滿分 10 分) 1 1 已知實(shí)數(shù) a，b，c 滿足 a2b2c21，求證： 1 a21b21c21. 【必做題】 第 22 題、第 23 題，每小題 10 分，共計(jì) 20 分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.22. (本小題滿分 10 分)“回文數(shù)”是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如 22，121，3 553 等.顯然 2 位“回文數(shù)”共 9 個(gè)：11，22，33，99.現(xiàn)從 9 個(gè)不同的 2 位“回文數(shù)”中任取 1 個(gè)乘

8、以4，其結(jié)果記為 X；從 9 個(gè)不同的 2 位“回文數(shù)”中任取 2 個(gè)相加，其結(jié)果記為 Y.(1)(2)求 X 為“回文數(shù)”的概率； 設(shè)隨量表示 X，Y 兩數(shù)中“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望 E().23. (本小題滿分 10 分)設(shè)集合 B 是集合 An1，2，3，3n2，3n1，3n，nN*的子集.記集合 B 中所有元素的和為 S(規(guī)定：集合 B 為空集時(shí)，S0).若 S 為 3 的整數(shù)倍，則稱 B 為 An 的“和諧子集”.求： 集合 A1 的“和諧子集”的個(gè)數(shù)；集合 An 的“和諧子集”的個(gè)數(shù).(1)(2)2019 屆高三年級第一次模擬考試(南通) 數(shù)學(xué)參考答案21.0，1，

9、32. .5437.68.2 69.410.311.212.2 54，413.314.33715. (1) 在四棱錐 PABCD 中，M，N 分別為棱 PA，PD 的中點(diǎn)， 所以 MNAD.(2 分)又底面 ABCD 是矩形， 所以 BCAD.所以 MNBC.(4 分)又 BC平面 PBC，MN平面 PBC， 所以 MN平面 PBC.(6 分)(2) 因?yàn)榈酌?ABCD 是矩形， 所以 ABAD.又側(cè)面 PAD底面 ABCD，側(cè)面 PAD底面 ABCDAD，AB底面 ABCD， 所以 AB側(cè)面 PAD.(8 分)又 MD 側(cè) 面 PAD， 所以 ABMD.(10 分)因?yàn)?

10、DADP，又 M 為 AP 的中點(diǎn)， 從而 MDPA.(12 分)又 PA，AB 在平面 PAB 內(nèi)，PAABA， 所以 MD平面 PAB.(14 分) 316. (1) 在ABC 中，因?yàn)?cosA，0A，3 6.(2 分)所以 sinA 1cos2A3因?yàn)?acosB 2bcosA， a b 由正弦定理，得 sinAcosB 2sinBcosA.sinAsinB所以 cosBsinB.(4 分)若 cosB0，則 sinB0，與 sin2Bcos2B1 矛盾，故 cosB0.于是 tanB sinB1.cosB又因?yàn)?0Bb0)的離心率為1，x2y2a2b22所以c1，則 a2c.a2 2

11、，因?yàn)榫€段 AF 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2所以ac 2 .22所以 c 2，則 a28，b2a2c26.x2y2所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 1.(4 分)86(2) 因?yàn)辄c(diǎn) A(a，0)，點(diǎn) F(c，0)，所以線段 AF 的中垂線方程為 xac.2又因?yàn)锳BF 的外接圓的圓心 C 在直線 yx 上，acac，所以點(diǎn) C2.(6 分)2因?yàn)辄c(diǎn) A(a，0)，點(diǎn) B(0，b)，xaba所以線段 AB 的中垂線方程為：y 2 .2bacaacba由點(diǎn) C 在線段 AB 的中垂線上，得 22 ，22b整理得，b(ac)b2ac，(10 分)即(bc)(ab)0.因?yàn)?ab0，所以 bc.(12 分)c c2.(14

12、 分)所以橢圓的離心率 e a2b2c218. (1)如圖 1，過點(diǎn) O 作與地面垂直的直線交 AB，CD 于點(diǎn) O1，O2，交劣弧 CD 于點(diǎn) P，O1P 的長即為拱門最高點(diǎn)到地面的距離.在 RtO2OC 中，O2OC，CO23，3 所以 OO21，圓的半徑 ROC2.所以 O1PROO1RO1O2OO25. 故拱門最高點(diǎn)到地面的距離為 5m.(4 分)(2) 在拱門放倒過程中，過點(diǎn) O 作與地面垂直的直線與“拱門外框上沿”相交于點(diǎn) P. 當(dāng)點(diǎn) P 在劣弧 CD 上時(shí)，拱門上的點(diǎn)到地面的最大距離 h 等于圓 O 的半徑長與圓心 O 到地面距離之和； 當(dāng)點(diǎn) P 在線段 AD 上時(shí)，拱門上的點(diǎn)到

13、地面的最大距離 h 等于點(diǎn) D 到地面的距離.由(1)知，在 RtOO1 B 中，OB OO2O1B22 3.1以 B 為坐標(biāo)原點(diǎn)，地面所在的直線為 x 軸，建立如圖 2 所示的坐標(biāo)系.當(dāng)點(diǎn) P 在劣弧 CD 上時(shí)，.62由OBx，OB23，6由三角函數(shù)定義，6 ， 得點(diǎn) O2 3cos6，23sin則 h22 3sin6 .(8 分)所以當(dāng)即時(shí)，h 取得最大值 22 3.(10 分)623如圖 3，當(dāng)點(diǎn) P 在線段 AD 上時(shí)，0.6設(shè)CBD，在 RtBCD 中，DB BC2CD22 7， 2 34212 7sin，cos .772 72 7由DBx，得點(diǎn) D(2 7cos()，2 7sin

14、().所以 h2 7sin()4sin2 3cos.(14 分)又當(dāng) 00. 時(shí)，h4cos2 3sin4cos 6660，所以 h4sin2 3cos在6上遞增.所以當(dāng)時(shí)，h 取得最大值 5.6因?yàn)?22 35，所以 h 的最大值為 22 3.4sin2 3cos， 0，6 故 h6， 0 成立， 所以函數(shù) f(x)在(0，)為增函數(shù)；(2 分)當(dāng) a0 時(shí)， () 當(dāng) xa 時(shí)，f(x)0，所以函數(shù) f(x)在(a，)上為增函數(shù)； () 當(dāng) 0xa 時(shí)，f(x)0 時(shí)，f(x)的最小值為 f(a)， 1依題意知 f(a)1lna0，解得 0aa，f(1)a0，函數(shù) f(x)在(a，)為增函

15、數(shù)，且函數(shù) f(x)的圖象在(a，1)上不間斷.所以函數(shù) f(x)在(a，)上有唯一的一個(gè)零點(diǎn).另一方面，因?yàn)?0a1，所以 10a a .2eef(a2)1lna212lna，令 g(a)12lna，aaa1122a1當(dāng) 0a 時(shí)，g(a) 0.1所以 f(a2)g(a) 2lnaga 又 f(a)a2.不妨設(shè) x1x2，由知 0x1aa ，即證x .21 21x2a2因?yàn)?x1(0，a)，函數(shù) f(x)在(0，a)上為減函數(shù)，x2a2所以只要證 f x2 f(x1).a2 x2又 f(x1)f(x2)0，即證 ff(x2).(14 分)a2xa設(shè)函數(shù) F(x)f x f(x) 2lnx2l

16、na(xa).ax（xa）2所以 F(x)0，ax2所以函數(shù) F(x)在(a，)上為增函數(shù). 所以 F(x2)F(a)0， a2所以 f x2 f(x2)成立.從而 x1x2a2 成立.所以 p2ln(x1x2)2lna2，即 x1f(x1)x2f(x2)2lna2 成立.(16 分)20. (1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d.因?yàn)榈炔顢?shù)列an滿足 a44，前 8 項(xiàng)和 S836，a13d4， a11， 8a 87所以解得d36，1d1.2所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 ann.(3 分)(2)設(shè)數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和為 Bn. 由得 3(2n1)3(2n11)(b1a2n1b2a2n3bn 1a3b

17、na12n)(b1a2n3b2a2n5 bn1a12n2)b1(a2n32)b2(a2n52)bn1(a12)bna12n(b1a2n3b2a2n5bn1a12n2)2(b1b2bn1)bn22(Bnbn)bn2.所以 32n12Bnbn2(n2，nN*)， 又 3(211)b1a12，所以 b11，滿足上式.所以 2Bnbn232 n1(nN*)， (6 分) 當(dāng) n2 時(shí)，2Bn1bn1232n 2， 由得，bnbn132n 2.(8 分)bn2n1(bn 12n2)(1)n1(b120)0， bn1所以 bn2n1， 2， bn所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為 1，公比為 2 的等比數(shù)列.(10 分

18、)由am3ap，得 m 3p ，即 2pm3p.bmbp2m12p1m n記 cnan，由得，cnan，bnbn2n1所以cn1 n11，所以 cncn 1(當(dāng)且僅當(dāng) n1 時(shí)等號成立).cn2n由am3ap，得 cm3cpcp，bmbp所以 mp.(12 分)設(shè) tpm(m，p，tN*)， 由 2pm3p，得 m 3t2t3.m當(dāng) t1 時(shí)，m3，不合題意； 當(dāng) t2 時(shí)，m6，此時(shí) p8 符合題意；當(dāng) t3 時(shí)，m9，不合題意；5當(dāng) t4 時(shí)，m121，不合題意.13下面證明當(dāng) t4，tN*時(shí)，m 3t 1.0， 所以函數(shù) f(x)在4，)上是單調(diào)增函數(shù)， 所以 f(x)f(4)10， 3

19、t 1，不合題意.所以當(dāng) t4，tN*時(shí)，m2t3綜上，所求集合(m，p)|am3ap，m，pN*(6，8).(16 分)bmbp104021.A.由題意知(MN)1，24010則 MN.(4 分)210110020因?yàn)?N，則 N1.(6 分)24011040010所以矩陣 M02.(10 分)2B. (1) 直線 l 的極坐標(biāo)方程可化為(sincos cossin )2，即sincos2.44又 xcos，ysin， 所以直線 l 的直角坐標(biāo)方程為 xy20.(4 分)xt， (2) 曲線 C(t 為參數(shù))的普通方程為 x2y.yt2x2y， xy20由得 x2x20，所以直線 l 與曲線

20、 C 的交點(diǎn) A(1，1)，B(2，4).(8 分)所以直線 l 被曲線 C 截得的線段長為 AB （12）2（14）23 2.(10 分)C.由柯西不等式，得 (a21)(b2 1)(c2 1)( 1 1 1 )( a21 1 b21 1a21b21c21a21b21c21 1)29，(5 分)c21 1 9 99 1 1 所 以 .(10 分)a21b21c21a2b2c2313422. (1) 記“X 是回文數(shù)”為 A.9 個(gè)不同的 2 位“回文數(shù)”乘以 4 的值依次為 44，88，132，176，220，264，308，352， 396，其中“回文數(shù)”有 44，88.所以A 的概率 P

21、(A)2.(3 分)9(2) 根據(jù)條件知，隨量的所有可能取值為 0，1，2.由(1)得 P(A)2.(5 分)9設(shè)“Y 是回文數(shù)”為 B，則 A，B 相互獨(dú)立. 根據(jù)已知條件得，P(B)205.C299P(0)P(A)P(B)(12)(15)28；99811525243P(1)P(A)P(B)P(A)P(B)(1 ) 9 ；99981P(2)P(A)P(B)2510(8 分)9981所以，隨量的概率分布為所以隨量的數(shù)學(xué)期望為 E()0281432107.(10 分)8181819集合 A11，2，3的子集有，1，2，3，1，2，1，3，2，3，1，23. (1)2，3， 其中所有元素和為 3 的整數(shù)倍的集合有，3，1，2，1，2