1、一、數(shù)列的綜合應(yīng)用及注意的問題 數(shù)列的綜合應(yīng)用一是指綜合運用數(shù)列的各種知識和方法求解問題，二是數(shù)列與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容相聯(lián)系的綜合問題解決此類問題應(yīng)注意數(shù)學(xué)思想及方法的運用與體會 1數(shù)列是一種特殊的 ，解數(shù)列題要注意運用方程與函數(shù)的思想與方法,函數(shù),2轉(zhuǎn)化與化歸思想是解數(shù)列有關(guān)問題的基本思想方法，復(fù)雜的數(shù)列問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為 數(shù)列、 數(shù)列或常見的特殊數(shù)列問題 3由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解決數(shù)列問題的重要思想已知數(shù)列的若干項求通項、由有限的特殊事例推測出一般性的結(jié)論，都是利用此法實現(xiàn)的 4分類討論思想在數(shù)列問題中常會遇到，如等比數(shù)列中，經(jīng)常要對 進(jìn)行討論；由Sn求an時，要對 進(jìn)行分類討論,等差

2、,等比,公比q,n的取值,二、數(shù)列的實際應(yīng)用 數(shù)列應(yīng)用問題是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的一個重要內(nèi)容，解答應(yīng)用問題的核心是建立數(shù)學(xué)模型 1建立數(shù)學(xué)模型時，應(yīng)明確是 模型、_模型，還是 模型，是求an還是求Sn.具體如下：,等差數(shù)列,等比數(shù)列,遞推數(shù)列,(1)等差模型：一般地，如果增加(或減少)的量是一個固定的具體量時，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差，其一般形式是：an1and(常數(shù)) (2)等比模型：一般地，如果增加(或減少)的量是一個固定的百分?jǐn)?shù)時，該模型是等比模型，與變化前的量的比就是公比 (3)混合模型：在一個問題中，同時涉及到等差數(shù)列和等比數(shù)列的模型,(4)生長模型：如果某一個量

3、，每一期以一個固定的百分?jǐn)?shù)增加(或減少)，同時又以一個固定的具體量增加(或減少)時，我們稱該模型為生長模型，如分期付款問題，樹木的生長與砍伐問題等 (5)遞推模型：如果容易找到該數(shù)列任意一項an與它的前一項an1(或前n項)間的遞推關(guān)系式，那么我們可以用遞推數(shù)列的知識求解問題,銀行儲蓄單利公式及復(fù)利公式是什么模型？ 提示：單利公式是等差數(shù)列模型；復(fù)利公式是等比數(shù)列模型,2解決實際問題的具體步驟如下列框圖所示,解析：依題意有2a54a12a3，即2a1q44a12a1q2，整理得q4q220，解得q21(q22舍去)，所以q1或1. 答案：C,解析：an是遞增數(shù)列， an1an， 即(n1)2(

4、n1)n2n， 2n1對于nN*恒成立 而2n1在n1時取得最大值3， 3，故選D. 答案：D,3某地發(fā)生震災(zāi)后，某中學(xué)組織學(xué)生在學(xué)校開展募捐活動，第一天只有10人捐款，人均捐款10元，之后通過積極宣傳，從第二天起，每天的捐款人數(shù)是前一天的2倍，且當(dāng)天人均捐款數(shù)比前一天多5元，則到第5天(包括第5天)捐款總數(shù)將達(dá)到() A4 800元B8 000元 C9 600元D11 200元,解析：由題意知，5天共捐款1010(102)(105)(104)(155)(108)(205)(1016)(255)8 000(元) 答案：B,答案：9,答案：4,【考向探尋】 1利用等差、等比數(shù)列的通項公式、前n項

5、和公式及性質(zhì)解題 2構(gòu)造輔助數(shù)列，建立等差、等比數(shù)列模型,等差、等比數(shù)列的綜合問題,【典例剖析】 (1)(2013唐山模擬)已知an為等差數(shù)列，其公差為2，且a7是a3與a9的等比中項，Sn為an的前n項和，nN*，則S10的值為 A110B90 C90D110,答案：D,(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列相結(jié)合的綜合問題是高考考查的重點，特別是等差、等比數(shù)列的通項公式，前n項和公式以及等差中項、等比中項問題是歷年命題的熱點 (2)利用等比數(shù)列前n項和公式時注意公比q的取值，同時對兩種數(shù)列的性質(zhì)，要熟悉它們的推導(dǎo)過程，利用好性質(zhì)，可降低題目的難度，解題時有時還需利用條件組成方程組求解,【活學(xué)活用】 1設(shè)

6、an是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項和已知S37，且a13,3a2，a34構(gòu)成等差數(shù)列 (1)求數(shù)列an的通項； (2)令bnln a3n1，n1,2，.求數(shù)列bn的前n項和Tn.,【考向探尋】 以等差、等比數(shù)列為模型解決實際問題,以等差等比數(shù)列為模型的實際應(yīng)用題,【典例剖析】 某企業(yè)在第1年初購買一臺價值為120萬元的設(shè)備M，M的價值在使用過程中逐年減少從第2年到第6年，每年初M的價值比上年初減少10萬元；從第7年開始，每年初M的價值為上年初的75%.,(1)解數(shù)列應(yīng)用題時，首先要認(rèn)真審題，深刻理解問題的實際背景，理清蘊含在語言中的數(shù)學(xué)關(guān)系，把應(yīng)用問題抽象為數(shù)學(xué)中的等差數(shù)列問題

7、，然后用等差數(shù)列知識求解這其中體現(xiàn)了把實際問題數(shù)學(xué)化的能力，也就是所謂的數(shù)學(xué)建模能力,(2)等比數(shù)列中處理分期付款問題的注意事項 準(zhǔn)確計算出在貸款全部付清時，各期所付款額及利息(注：最后一次付款沒有利息) 明確各期所付的數(shù)額連同到最后一次付款時所生的利息之和，等于商品售價及從購買到最后一次付款時的利息之和，只有掌握了這一點，才可順利建立等量關(guān)系,現(xiàn)實生活中涉及到的利率(復(fù)利)、產(chǎn)品利潤、平均增長率、信貸、保險、環(huán)保、人口增長等問題，常常利用數(shù)列知識建立數(shù)學(xué)模型加以解決,【活學(xué)活用】 2植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁

8、邊，使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為_米,答案：2 000,【考向探尋】 解決數(shù)列與函數(shù)、解析幾何、不等式的綜合問題,數(shù)列與函數(shù)、解析幾何、不等式的綜合應(yīng)用,【典例剖析】 (理)(12分)已知Sn為數(shù)列an的前n項和，且Sn2ann23n2，n1,2,3，. (1)求證：數(shù)列an2n為等比數(shù)列； (2)設(shè)bnancos n，求數(shù)列bn的前n項和Pn；,(理)(1)可考慮將Sn2ann23n2轉(zhuǎn)換為an與an1的關(guān)系，然后用定義求解； (2)在第(1)問的基礎(chǔ)上，觀察bn的結(jié)構(gòu)，分組求和 (3)求出cn，由其結(jié)構(gòu)適當(dāng)放縮 (文)(1)由已知代入函數(shù)解析式得

9、an1與an的關(guān)系從而獲解； (2)兩兩結(jié)合提取公因式利用第一步條件獲解； (3)利用裂項求和及數(shù)列性質(zhì)求解,(理)(1)令n1，則S12a1132， a14.1分 又Sn2ann23n2 則Sn12an1(n1)23(n1)2 由得an12an12an2n2，,數(shù)列與其他知識的綜合問題主要指的是用幾何方法或函數(shù)的解析式構(gòu)造數(shù)列，用函數(shù)或方程的方法研究數(shù)列問題函數(shù)與數(shù)列的綜合問題主要有以下兩類： 一是已知函數(shù)的條件，利用函數(shù)的性質(zhì)圖象研究數(shù)列問題，如恒成立，最值問題等二是已知數(shù)列條件，利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法等知識對式子化簡變形，從而解決函數(shù)問題,答案：C,(2)函數(shù)yx2(x0)的圖象在點(ak，a)處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)為ak1，其中kN*.若a116，則a1a3a5的值是_,答案：21,已知等比數(shù)列an中a21，則其前3項的和S3的取值范圍是 A(，1B(，0)(1，) C3，)