1、第一屆（1959年）羅馬尼亞 布拉索夫（Braov，Romania）1.求證 對每個自然數(shù) n 都是最簡分數(shù)。（波蘭）2.設(shè)，試在以下3種情況下分別求出x的實數(shù)解： a)；b)A=1；c)A=2。（羅馬尼亞）3. a、b、c 都是實數(shù)，已知關(guān)于 cos x 的二次方程試用 a,b,c 作出一個關(guān)于 cos 2x 的二次方程，使它的根與原來的方程一樣。當a=4,b=2,c=-1 時比較 cos x 和 cos 2x 的方程式。（匈牙利）4.試作一直角三角形使其斜邊為已知的c，斜邊上的中線是兩直角邊的幾何平均值。（匈牙利）5.在線段AB上任意選取一點M，在AB的同一側(cè)分別以 AM、MB 為底作正方

2、形AMCD、 MBEF，這兩個正方形的外接圓的圓心分別是 P、Q，設(shè)這兩個外接圓又交于 M、N。a) 求證：AF、BC 相交于N點；b) 求證：不論點M如何選取，直線MN都通過定點S；c) 當M在A與B之間變動時，求線段PQ的中點的軌跡。（羅馬尼亞）6.兩個平面P、Q 的公共邊為 p，A 為P上給定一點，C為Q上給定一點，并且這兩點都不在直線p上。試作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一個內(nèi)切圓，并且頂點B、D 分別落在平面P和Q上。（捷克斯洛伐克）第二屆（1960年） 羅馬尼亞 錫納亞（Sinaia，Romania）1.找出所有具有下列性質(zhì)的三位數(shù)N：N能被11整除且商等于N的各

3、位數(shù)字的平方和。（保加利亞）2.尋找使下式成立的實數(shù)x：（匈牙利）3.直角三角形ABC的斜邊BC的長為a，將它分成n等份（n為奇數(shù)），令為從A點向中間的那一小段線段所張的銳角，從A到BC邊的高長為h，求證：（羅馬尼亞）4.已知從A、B兩點引出的高線長ha、hb以及從 A引出的中線長ma，求作三角形ABC。（匈牙利）5.正方體ABCD-ABCD（上底面 ABCD，下底面 ABCD）。X是對角線AC上任意一點，Y是BD上任意一點。a) 求XY中點的軌跡；b) 求a)中軌跡上的、并且還滿足 ZY=2XZ 的點Z的軌跡。（捷克斯洛伐克）6.一個圓錐內(nèi)有一內(nèi)接球，又有一圓柱體外切于此圓球，其底面落在圓錐

4、的底面上。 令V1 為圓錐的體積，V2為圓柱的體積。a)求證：V1不等于V2；b)設(shè)V1=kV2，求k的最小值；并在此情況下作出圓錐頂角。（民主德國）7.一個等腰梯形的兩底為a、c，高為h。a) 在這個等腰梯形的對稱軸上，找到所有的點P，使以P為頂點，且經(jīng)過梯形腰的兩個端點的角為直角；b) 計算P點到兩底的距離；c) 判斷在什么情況下P點確實存在。討論各種情況。（保加利亞）第三屆（1961年）匈牙利 維斯普雷姆（Veszprm，Hungary）1. 設(shè)a，b為常數(shù)，解方程組，并給出a和b滿足什么條件時才能使x、y、z為互不相同的正數(shù)。（匈牙利）2. 設(shè)a、b、c為三角形的三條邊，其面積為S。證

5、明并說明何時取等號。（波蘭）3. 解方程，n是自然數(shù)。（保加利亞）4. 設(shè)P是三角形P1P2P3內(nèi)一點。直線P1P，P2P，P3P分別與其對邊相交于Q1，Q2，Q3。證明數(shù)字至少有一個不大于2，也至少有一個不小于2。（民主德國）5. 作三角形ABC滿足AC=b，AB=c，且AMB=，其中M是線段BC的中點且1）一共頒發(fā)了m塊獎牌。在第一天，頒發(fā)了一塊獎牌以及剩下m-1個中的；在第二天頒發(fā)了兩塊獎牌以及剩下的；依此類推。在最后一天即第n天，剩下的n塊獎牌全部頒發(fā)完畢。問該運動會共進行了幾天，一共頒發(fā)了多少塊獎牌？（匈牙利）第十屆（1968年） 蘇聯(lián) 莫斯科（Moscow，Soviet Union

6、）1. 求證有且僅有一個三角形，它的邊長為連續(xù)整數(shù)，有一個角是另一個角的兩倍。（羅馬尼亞）2. 試找出所有自然數(shù)n，其各位數(shù)的乘積等于n2-10n-22。（捷克斯洛伐克）3. 考慮以下方程組其中x1、x2、xn是未知數(shù)，a、b、c為實數(shù)并且a0。令=(b-1)2-4ac。證明對這個方程組a) 0，有一個以上的解。（保加利亞）4. 求證任何四面體上都有一個頂點使得經(jīng)過該頂點的三條邊可構(gòu)成一個三角形的三邊。（波蘭）5. 設(shè)f是定義域和值域都為實數(shù)集的函數(shù)并且對于任一實數(shù)x和任一正數(shù)a，等式都成立。a) 證明函數(shù)f是周期函數(shù)（比如，存在一個正數(shù)b使得對于所有x滿足f(x+b)=f(x)）。b) 當a

7、=1時，給出一個非常值函數(shù)的例子。（民主德國）6. 對于任一自然數(shù)n，試求和（x表示不大于x的最大整數(shù)）。（英國）第十一屆（1969年） 羅馬尼亞 布加勒斯特（Bucharest，Romania）1. 證明對任意正整數(shù)a和任一正整數(shù)n都滿足：數(shù)字z=n4+a不是質(zhì)數(shù)。（民主德國）2. 令a1，a2，an為實數(shù)常數(shù)，x為實數(shù)變量，且。若f(x1)=f(x2)=0，證明對于一些整數(shù)m有x2-x1=m。（匈牙利）3. 對每一個k = 1, 2, 3, 4, 5，試找出a0應(yīng)滿足的充要條件，使得存在一個四面體，其中k個邊長均為a，其余6-k個邊的長度均為1。（波蘭）4. 以AB為直徑作半圓。C是上不同

8、于A和B的一個點，D是C到AB的垂線的垂足。我們作三個圓1、2、3都與直線AB相切。在這里，1是ABC的內(nèi)切圓，而2和3都與直線CD和圓相切，且位于直線CD的兩邊。證明1、2、3還有一條公切線。（荷蘭）5. 給出平面上n個點（n4），其中任意三點都不共線。證明至少有個凸四邊形其頂點都是給出的點其中的四個。（蒙古）6. 求證：對于所有實數(shù)x1、x2、y1、y2、z1、z2，其中x10，x20，滿足不等式，并給出等號成立的條件。（蘇聯(lián)）第十二屆（1970年） 匈牙利 凱斯特海伊（Keszthely，Hungary）1. M是三角形ABC的邊AB上的任何一點，r、r1、r2分別是三角形ABC、AMC

9、、BMC的內(nèi)切圓的半徑，q是AB外旁切圓的半徑（即與AB邊相切，與CA、CB的延長線上相切的圓），類似的， q1、q2分別是AC、BC外旁切圓的圓心。求證： 。（波蘭）2. 已知a、b、n是大于1的整數(shù)，且a、b是兩個計數(shù)系統(tǒng)的底。An-1和An是a進制數(shù)，Bn-1和Bn是b進制數(shù)；它們的聯(lián)系如下：證明：當且僅當ab時有。（羅馬尼亞）3. 實數(shù)a0，a1，an，滿足條件：1=a0a1a2an。并數(shù)字b1，b2，bn，被定義為。a) 求證對于所有n都有0bn2。b) 設(shè)c滿足0c2，證明對于足夠大的n存在滿足上面要求的a0，a1，能使bnc。（瑞典）4. 試找出所有的正整數(shù)n使得集合n, n+1

10、, n+2, n+3, n+4, n+5可被分拆成兩個子集合，每個子集合的元素的乘積相等。（捷克斯洛伐克）5. 在四面體ABCD中，BDC是直角。假設(shè)點D到平面ABC的垂線的垂足H是ABC的垂心。求證：(AB+BC+CA)26(AD2+BD2+CD2)，并指出在什么情況下等號成立。（保加利亞）6. 一個平面上有100個點，任意三點都不共線。求證由這些點為頂點的三角形中至多有70%是銳角三角形。（蘇聯(lián)）第十三屆（1971年） 捷克斯洛伐克 日利納（ilina，Czechoslovakia）1. 證明下面的說法在n=3或n=5時是正確的，而在其它大于2的自然數(shù)n是錯誤的：如果a1，a2，an為任意

11、實數(shù)，那么(a1-a2)(a1-a3).(a1-an)+(a2-a1)(a2-a3).(a2-an)+.+(an-a1)(an-a2).(an-an-1)0。（匈牙利）2. 一個有9個頂點A1，A2，A9的凸多面體P1，若將頂點A1移至Ai時則P1平移為Pi（i=2,3，9），求證在P1，P2，P9中至少有兩個多面體有一個公共內(nèi)點。（蘇聯(lián)）3. 求證：一個由形式2k-3（k=2,3，）組成的整數(shù)的集合包含一個每個元素兩兩互質(zhì)的無限子集合。（波蘭）4. 四面體ABCD的所有面都是銳角三角形。我們定義形如XYZTX的所有閉合多邊形路徑如下：X是AB邊上不同于A和B的一點；類似地，Y，Z，T分別是邊

12、BC、CD、DA的內(nèi)點。求證：a) 如果DAB+BCDCDA+ABC，那么在所有閉合路徑之中，沒有最小長度。b) 如果DAB+BCD=CDA+ABC，那么將有無數(shù)條最短路徑，它們的長度都是，其中=BAC+CAD+DAB。（荷蘭）5. 證明對于任一自然數(shù)m，都存在一個在同一平面上的有限點集S，滿足下列條件：對于S中的每個點A，恰好有m個在S中的點到A點的距離為單位長。（保加利亞）6. 令A(yù)=(aij)(i，j=1,2，n）為一個元素都是非負整數(shù)的方陣。假設(shè)有一個元素aij=0，那么第i行的元素和第j列的元素的和不小于n。求證：這個方陣的所有元素的和不小于。（瑞典）第十四屆（1972年） 波蘭 托

13、倫（Toru，Poland）1. 有十個互不相同的二位數(shù)，求證必可從中選出兩個不相交的子集，使得這兩個子集中的元素之和相等。（蘇聯(lián)）2. 設(shè)n4， 求證每一個圓內(nèi)接四邊形都可以分割成n個圓內(nèi)接四邊形。（荷蘭）3. 設(shè)m、n為任意非負整數(shù)。求證：是整數(shù)。（0！=1）（英國）4. 找出下述方程組的解（x1，x2，x3，x4，x5），其中x1，x2，x3，x4，x5是正實數(shù)。（荷蘭）5. 令f和g為定義域和值域都為實數(shù)集的函數(shù)，并對于所有的x和y都滿足等式。求證：如果f(x)不恒為0，對于所有x都有，那么對于所有y都有。（保加利亞）6. 給出四個不同的平行平面，證明存在一個正四面體，它的頂點分別在這

14、四個平面上。（英國）第十五屆（1973年） 蘇聯(lián) 莫斯科（Moscow，Soviet Union）1. 點O在直線g上；是單位向量，而P1，P2，Pn都與g在同一平面且都在g的一側(cè)。證明當n為奇數(shù)時，。這里代表向量的長度。（捷克斯洛伐克）2. 判斷是否存在不在同一平面內(nèi)的有限點集M，對于M內(nèi)的任何兩個點A和B，都可以在M中找到任何兩個點C、D使得AB和CD平行但不重合。（波蘭）3. 找出所有實數(shù)a和b使得方程至少有一個實根。對于所有這樣的對（a，b），找出的最小值。（瑞典）4. 一個士兵需要在一個等邊三角形的區(qū)域內(nèi)探測有沒有地雷，他的掃雷器的半徑是三角形高的一半，士兵從三角形的一個定點出發(fā)，試

15、問如果要完成任務(wù)且使行程最短他應(yīng)該走什么樣的路徑？（南斯拉夫）5. G是一個定義域為實數(shù)集的形如f(x)=ax+b（a、b為實數(shù)）的非常值函數(shù)的集合，且G滿足：a) 如果f和g都在G內(nèi)，那么也在G內(nèi)；這里。b) 如果f在G內(nèi)，那么它的反函數(shù)也在G內(nèi)；這里f(x)=ax+b的反函數(shù)是。c) 對于G內(nèi)的每一個f，都有一個實數(shù)xf可使f(xf)=xf。求證：存在一個實數(shù)k對于G內(nèi)的所有f都有f(k)=k。（波蘭）6. 設(shè)a1，a2，an是n個正數(shù)，q是0到1之間的一個給定的實數(shù)。找到n個數(shù)b1，b2，bn使之滿足：a) 對于k=1,2,.,n都有akbk；b) 對于k=1,2,.,n-1都有；c)

16、。（瑞典）第十六屆（1974年） 民主德國 埃爾福特（Erfurt，DR Germany）1. 三個玩家玩游戲。在三張撲克牌上分別寫上一個正整數(shù)，這三個數(shù)p、q、r滿足0pqr。撲克牌被洗過并隨機分配給每個玩家。每個玩家各自記下并公布自己擁有的牌的點數(shù)。然后再次洗牌；計數(shù)依舊保留。該過程（洗牌、發(fā)牌、記數(shù)）進行過至少兩輪。最后一輪之后，A一共有20點，B有10點，C有9點。在最后一輪B獲得了r點。問在第一輪誰獲得了q點？（美國）2. 在三角形ABC中，證明AB邊上存在點D使得CD是AD和DB的幾何平均數(shù)的充要條件是。（芬蘭）3. 求證：數(shù)字不論任何整數(shù)n0都不能被5整除。（羅馬尼亞）4. 考慮

17、一個88的棋盤分成p個不重疊的長方形并滿足：i) 每個長方形都有相同數(shù)目的黑格子與白格子。ii) 如果ai是第i個長方形的白色格子的個數(shù)，那么a1a2p。（英國）3. 在任意三角形ABC外，三角形ABR，BCP，CAQ按如下構(gòu)造：CBP=CAQ=45，BCP=ACQ=30，ABR=BAR=15。求證QRP=90且QR=RP。（荷蘭）4. 當用十進制數(shù)表示時，它的各位數(shù)的和為A。令B為A的各位數(shù)的和。找出B的各位數(shù)的和。（A和B都用十進制表示。）（蘇聯(lián)）5. 判斷并證明在一個半徑為單位長的圓周上是否能找到1975個點使它們兩兩之間的距離都是有理數(shù)。（蘇聯(lián)）6. 找到所有多項式P，有兩個變量，并具

18、有下列性質(zhì)：(i) 對于一個正整數(shù)n和所有實數(shù)t，x，y都有P(tx,ty)=tnP(x,y)；(ii) 對于所有實數(shù)a，b，c，都有P(b + c, a) + P(c + a, b) + P(a + b, c) = 0；(iii) P(1,0)=1。（英國）第十八屆（1976年）奧地利 利恩茨（Lienz，Austria）1. 一個平面凸四邊形的面積是32，兩條對邊和一條對角線的長度的和是16。判斷另一條對角線所有可能的長度。（捷克斯洛伐克）2. 令P1(x)=x2-2，Pj(x)=P1(Pj-1(x)，j=2,3，。說明，對于任一正整數(shù)n，方程Pn(x)=x的根是互不相同的實數(shù)。（芬蘭）3

19、. 一個長方形的箱子可以用單位立方體填滿。如果用體積為2的立方體盡量多地填充箱子，使每個邊都與箱子的邊平行，那么恰好可以填充箱子的40%。判斷這個箱子所有可能的尺寸規(guī)模。（荷蘭）4. 判斷和為1976的若干個正整數(shù)的乘積的最大值，并證明。（美國）5. 考慮以下方程組，其中q=2p，x1，x2，xq為未知數(shù)：每個系數(shù)aij屬于數(shù)集-1,0,1。證明這個方程組有一個解(x1，x2，xq)滿足：a) 所有的xj (j=1,2,.,q)都是整數(shù)；b) 至少有一個值j使得xj0；c) 。（荷蘭）6. 數(shù)列un被定義為，n=1,2,求證對于正整數(shù)n都有，其中x代表不大于x的最大整數(shù)。（英國）第十九屆（19

20、77年） 南斯拉夫 貝爾格萊德（Belgrade，Yugoslavia）1. 等邊三角形ABK、BCL、CDM、DAN在正方形ABCD內(nèi)。證明KL、LM、MN、NK四條線段的中點和AK、BK、BL、CL、CM、DM、DN、AN這八條線段的中點是一個正十二邊形的十二個頂點。（荷蘭）2. 在一個實數(shù)的無限數(shù)列中，任意七個連續(xù)項的和是負數(shù)，任意十一個連續(xù)項的和是正數(shù)。判斷這個數(shù)列里最大的數(shù)。（越南）3. 給定n為大于2的一個整數(shù)，設(shè)Vn是整數(shù)1+kn（k=1,2，）的集合。一個屬于Vn的數(shù)m，如果不存在p、qVn使得pq=m的話就稱作m在Vn中不可分解。證明存在一個數(shù)rVn可以有多種方式表示成在Vn

21、中不可分解的數(shù)的積（乘積中若僅僅是因數(shù)的順序不同視為同一種分解）。（荷蘭）4. 已知四個實常量a、b、A、B，以及。求證：如果f()0對所有的實數(shù)都成立，那么有a2+b22和A2+B21。（英國）5. 已知a、b為正整數(shù)。當a2+b2除以a+b后，商為q，余數(shù)為r。找到所有的使得q2+r=1977的正整數(shù)對(a,b)。（民主德國）6. 已知f(n)是一個定義域和值域都為正整數(shù)集的函數(shù)。證明如果對于每個正整數(shù)n都有f(n+1)f(f (n)，那么對于每個n都有f(n)=n。（保加利亞）第二十屆（1978年） 羅馬尼亞 布加勒斯特（Bucharest，Romania）1.已知 m和n是自然數(shù)且1m

22、n。在十進制中，1978m的后三位數(shù)字和1978n的后三位數(shù)字相同。找出使得m+n最小的m和n值。（古巴）2. P是球內(nèi)一定點。三條從P發(fā)出的互相垂直的射線與球面分別相交于點U、V、W；Q代表由PU、PV、PW決定的平行六面體中P的相對的頂點。求出Q點的軌跡。（美國）3. 所有正整數(shù)的集合是兩個不相交的子集f(1)，f(2)，f(n)，g(1)，g(2)，g(n)，的并集，這里f(1)f(2)f(n)，g(1)g(2)g(n)2），有一個由n個連續(xù)整數(shù)組成的集合，其最大的元素是剩下的n-1個數(shù)的最小公倍數(shù)的因數(shù)？ b) 當n取哪些值時（n2），正好存在一個集合滿足條件？（比利時）5. 三個全等

23、的圓有一個公共點O，并處于一個三角形內(nèi)。每個圓都與這個三角形的兩條邊相切。求證：這個三角形的內(nèi)心、外心和點O共線。（蘇聯(lián)）6. 函數(shù)f(x, y)對于所有非負整數(shù)x，y都滿足 (1) f(0, y) = y+1； (2) f(x+1, 0) = f(x, 1)； (3) f(x+1, y+1)=f(x, f(x+1, y)。判斷f(4,1981)的值。（芬蘭）第二十三屆（1982年） 匈牙利 布達佩斯（Budapest，Hungary）1. 函數(shù)f(n)定義在所有正整數(shù)n上，且取值為非負整數(shù)。另外，對于所有的m、n有f(m+n)-f(m)-f(n)=0或1，f(2)=0，f(3)0，以及f(9

24、999)=3333。判斷f(1982)的值。（英國）2. 非等腰三角形A1A2A3的邊為a1、a2、a3（ai是Ai的對邊）。對于所有的i=1,2,3，Mi是邊ai的中點，Ti是三角形的內(nèi)切圓與邊ai的切點。用Si表示Ti關(guān)于角Ai的角平分線對稱的點。求證：直線M1S1、M2S2、M3S3共點。（荷蘭）3. 考慮一個滿足下列要求的無限正實數(shù)數(shù)列xn：x0=1，對于所有i0，xi+1xi。 a) 證明對于每個這樣的數(shù)列，都有一個n1使得。 b) 找到一個可以使對于所有n都成立的這種數(shù)列。（蘇聯(lián)）4. 求證：如果n是一個正整數(shù)，并能夠使方程x3-3xy2+y3=n有一個整數(shù)解（x，y），那么該方程

25、有至少三組整數(shù)解。說明當n=2981時方程無整數(shù)解。（英國）5. 正六邊形ABCDEF的對角線AC和CE分別被內(nèi)點M和N分割，且有。如果B、M、N共線，求r的值。（荷蘭）6. 設(shè)S是邊長為100的正方形，L是在S內(nèi)部不自交的系列線段A0A1, A1A2, A2A3, . , An-1An并且A0 與 An不重合。已知對于每一個在S邊界上的點P，L中存在一個點與P之間的距離不大于。求證：L中存在兩點X、Y，X與Y的距離不大于1，并且L上位于X和Y之間的部分不少于198。（越南）第二十四屆（1983年）法國 巴黎（Paris，F(xiàn)rance）1. 找出所有的函數(shù)f，它定義域和值域為正實數(shù)集，并滿足以

26、下要求：i) 對于所有正數(shù)x、y都有f(xf(y) = yf(x)；ii) 當x時，f(x)0。（英國）2. 設(shè)A是同一平面上不全等的兩個圓心分別為O1和O2的圓C1和C2的兩個交點的其中一個。一條公切線分別切C1于P1，切C2于P2；另一條分別切C1于Q1，切C2于Q2。設(shè)M1是P1Q1的中點，M2是P2Q2的中點。證明O1AO2=M1AM2。（蘇聯(lián)）3. 設(shè)a、b、c為正整數(shù)，它們兩兩互質(zhì)。說明2abc-ab-bc-ca是不能用xbc+yca+zab表示的最大的整數(shù)，其中x、y、z是非負整數(shù)。（聯(lián)邦德國）4. 設(shè)ABC是一個等邊三角形，是在三條線段AB、BC、CA（包括A、B、C）上所有點

27、的集合。判斷是否對于劃分的兩個不相交的子集，兩個子集中至少有一個包括一個直角三角形的三個頂點。證明你的判斷。（比利時）5. 選擇1983個不同的正整數(shù)，它們都小于或等于105，沒有任何三個數(shù)字成等差數(shù)列。有可能嗎？證明你的答案。（波蘭）6. 設(shè)a、b、c是三角形的三邊。求證：a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)0，并判斷何時等號成立。（美國）第二十五屆（1984年） 捷克斯洛伐克 布拉格（Prague，Czechoslovakia）1. 證明，其中x、y、z是非負數(shù)且滿足x+y+z=1。（聯(lián)邦德國）2. 找出兩個正整數(shù)a、b，它們滿足：i) ab(a+b)不能被7整除ii) (

28、a+b)7 - a7 - b7能被77整除。證明你的答案。（荷蘭）3. 在平面上有兩點O、A。對于平面上不同于O點的點X，用a(X)表示從OA逆時針移動至OX的角的大小（用弧度表示，0a(X)2）。設(shè)C(X)是以O(shè)為圓心，為半徑的圓。平面上的每個點都用有限種顏色著色。證明存在點Y使得a(Y)0且該點的顏色在圓C(Y)的圓周上也出現(xiàn)。（羅馬尼亞）4. 設(shè)ABCD是一個凸四邊形且直線CD是以AB為直徑的圓的切線。證明當且僅當直線BC和AD平行時，直線AB是以CD為直徑的圓的切線。（羅馬尼亞）5. 設(shè)d是平面上一個有n個頂點（n3）的凸多邊形的所有對角線長度的和，p是它的周長。求證：，其中x代表不超

29、過x的最大整數(shù)。（蒙古）6. 令a、b、c、d為奇數(shù)且0abcd，ad=bc。求證：如果對于某些整數(shù)k與m有a+d=2k且b+c=2m，那么a=1。（波蘭）第二十六屆（1985年） 芬蘭 約察（Joutsa，F(xiàn)inland）1. 一個圓的圓心在圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊AB上。四邊形的其它三邊與這個圓相切。證明AD+BC=AB。（英國）2. 設(shè)n、k是互質(zhì)的自然數(shù)，kn。集合M=1,2, . , n-1中的每個數(shù)都用藍色或白色上色。保證：i) 對于所有的iM，i k，i與n-i顏色相同；ii) 對于所有的iM，i k，i與 |i-k | 顏色相同。證明M內(nèi)的所有數(shù)字顏色相同。（澳大利亞）3. 對

30、一個系數(shù)是整數(shù)的多項式P(x)=a0+a1x+akxk，為奇數(shù)的系數(shù)的數(shù)目為w(P)。對于i=0，1，令Qi (x)=(1+x)i。求證：如果i1，i2，in是整數(shù)且滿足0i1i2in，那么。（荷蘭）4. 給出由1985個不同的正整數(shù)組成的集合M，其元素中沒有一個有大于26的質(zhì)因數(shù)。證明M至少包含一個由四個不同元素組成的子集，其元素的積是一個整數(shù)的四次方。（蒙古）5. 一個圓心為O的圓經(jīng)過三角形ABC的頂點A和C，并與AB與BC再次分別交于點K和N。三角形ABC和KBN兩者的外接圓相交于兩個不同的點B和M。求證OMB是直角。（蘇聯(lián)）6. 對于所有的實數(shù)x1，構(gòu)造數(shù)列x1，x2，并使其對于每個n

31、1都滿足。求證：只存在一個x1的值使得對于每一個n都有0xnxn+11。（瑞典）第二十七屆（1986年） 波蘭 華沙（Warsaw，Poland）1. 設(shè)d是不等于2,5,13的任意整數(shù)。說明在集合2,5,13,d可以找到兩個不同的數(shù)a、b，使得ab-1不是完全平方數(shù)。（聯(lián)邦德國）2. 平面上有一個三角形A1A2A3和一點P0。我們定義對于所有的s4都有As=As-3。我們構(gòu)造一組點P1，P2，P3，使得Pk+1是Pk繞點Ak+1順時針旋轉(zhuǎn)120得到的（k=0,1,2，）。證明如果P1986=P0，那么三角形A1A2A3是等邊三角形。（中國）3. 給正五邊形的每個頂點賦值一個整數(shù)，使五個整數(shù)的

32、和為正。如果三個連續(xù)的頂點分別被賦值為x、y、z且yr）。設(shè)P是小圓上一個固定點，B是大圓上的一個動點。直線BP還與大圓交于C。BP的垂線l經(jīng)過點P，與小圓交于另一點A。（如果l是小圓的切線，那么A、P點重合。）i) 找出BC2+CA2+AB2的所有可能的值。ii) 找出BC的中點的軌跡。（盧森堡）2. 設(shè)n為正整數(shù)，A1，A2，A2n+1都是集合B的子集。假設(shè)：(a) 每個An都恰好有2n個元素；(b) 每個AiAj（1ij2n+1）包含正好一個元素；(c) B中的每個元素至少屬于兩個Ai。試問對于什么樣的n值有辦法將B中的元素都標上0或1使得每個Ai 都恰好包含n個標0的元素。（捷克斯洛伐

33、克）3. 函數(shù)f定義在正整數(shù)集上，且對于所有正整數(shù)n都有：判斷滿足條件的正整數(shù)n的個數(shù)，它小于或等于1988，且有f(n)=n。（英國）4. 說明滿足不等式的所有實數(shù)x的集合是不相交的區(qū)間的并集，且區(qū)間的長度為1988。（愛爾蘭）5. 在三角形ABC中，A是直角，D是BC邊上的高的垂足。三角形ABD，ACD的內(nèi)心的連線分別交邊AB、AC于點K、L。S和T分別表示三角形ABC和AKL的面積。說明S2T。（希臘）6. 設(shè)a和b為正整數(shù)，且ab+1整除a2+b2。說明是一個整數(shù)的平方。（聯(lián)邦德國）第三十屆（1989年） 聯(lián)邦德國 布倫瑞克（Braunschweig，F(xiàn)R Germany）1. 證明集

34、合1,2，1989可以表示成一些不相交的子集Ai（i=1,2，117）的并集，且滿足：i) 每個Ai包括17個元素；ii) 每個Ai的所有元素的和都是相同的。（菲律賓）2. 在銳角三角形ABC中，角A的內(nèi)角平分線還交三角形的外接圓于A1。點B1和C1也類似這樣定義。設(shè)A0是AA1與角B和角C的外角平分線的交點。點B0和C0也類似這樣定義。求證：i) 三角形A0B0C0的面積是六邊形AC1BA1CB1面積的兩倍。ii) 三角形A0B0C0的面積至少是三角形ABC面積的四倍。（澳大利亞）3. 設(shè)n和k為正整數(shù)，S為滿足下列要求的n個點：i) S內(nèi)的任意三點都不共線；ii) 對于S內(nèi)的任一點P在S中

35、都至少有k個點與P點距離相等。求證：。（荷蘭）4. 設(shè)ABCD是凸四邊形，邊AB、AD、BC滿足AB = AD + BC。在四邊形內(nèi)存在一點P，距離直線CD的距離為h，且AP = h + AD，BP = h + BC。說明：。（冰島）5. 求證：對于每個正整數(shù)n，存在n個連續(xù)的正整數(shù)，其中沒有質(zhì)數(shù)的整數(shù)冪。（瑞典）6. 一個集合1,2，2n的一個排列(x1，x2，xm)，其中n是正整數(shù)，如果對于集合1,2，2n-1中的至少一個i有，就說它具有屬性P。說明對于每個n，具有屬性P的排列比不具有的多。（波蘭）第三十一屆（1990年）中國 北京（Beijing，China）1. 一個圓的弦AB和CD在圓內(nèi)交于點E。設(shè)M是線段EB的內(nèi)點。過E點作經(jīng)過點D、E、M的圓的切線，它分別交直線BC和AC于F和G。如果，試用t來表示。（印度）2. 設(shè)n3，考慮2n-1個圓上不同的點構(gòu)成的集合E。假設(shè)這些點中恰好有k個點被涂成黑色。如果至少有一對黑點使得這兩個黑點之間的弧上（兩段弧中的某一個）恰好包含E中的n個點，就成這樣的染色方法是“好的”。試找出對于集合E能保證任意一種染色方法都是“好的”的最小的k值。（捷克斯洛伐克）3. 找出滿足為整數(shù)的所