1、2-2 線性系統(tǒng)的可控性,1.可控性的定義,一、可控性的定義及判別定理,若對(duì)狀態(tài)空間的任一非零狀態(tài) x(t0)，都存在一個(gè)有限時(shí)刻 t1t0 和一個(gè)容許控制 ut0, t1，能在t1時(shí)刻使?fàn)顟B(tài) x(t0) 轉(zhuǎn)移到零，則稱狀態(tài)方程,在t0時(shí)刻是可控的。反之稱為在 t0 時(shí)刻不可控。,定義2-3:,令初始時(shí)刻電容兩端的電壓x(t0)不為零，則網(wǎng)絡(luò)的對(duì)稱性使得無(wú)論施加何種控制均無(wú)法在有限時(shí)刻t1使x(t1)=0。根據(jù)以上定義，系統(tǒng)在t0不可控。,例2-4: 考慮由如下網(wǎng)絡(luò)組成的系統(tǒng)：,說(shuō)明如下： 定義僅要求輸入 u 能在有限時(shí)間內(nèi)將狀態(tài)空間中任何初態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)，至于狀態(tài)遵循什么軌跡轉(zhuǎn)移則并未指定；

2、而且對(duì)輸入除了容許控制之外也未對(duì)其幅值加以任何限制，這種不加限制的控制稱為無(wú)約束容許控制。,t1時(shí)刻是依賴于初始狀態(tài)的，但是由于狀態(tài)空間是有限維的，因此對(duì)可控系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，必對(duì)所有的初始狀態(tài)都存在一個(gè)共同的有限時(shí)刻t1，也就是說(shuō)，t1可以取得與初始狀態(tài)大小無(wú)關(guān)。,與可控概念相反，只要存在一個(gè)非零初態(tài) x(t0)，無(wú)論t1取多大，都不能找到一個(gè)容許控制將這個(gè)狀態(tài) x(t0)控制到 x(t1)=0，這時(shí)稱系統(tǒng)在t0是 不可控的。,這里所定義的可控性有時(shí)稱為到達(dá)原點(diǎn)的可控性。定義2-3所闡述的到達(dá)原點(diǎn)的可控性與狀態(tài)空間的任何狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一任意狀態(tài)是等價(jià)的（見習(xí)題23）。,2. 可控性的一般判別準(zhǔn)則,直接

3、利用定義判斷系統(tǒng)可控很不方便，故需要研究判別系統(tǒng)可控性的一般準(zhǔn)則。,定理2-4狀態(tài)方程,證明： 充分性。證明是構(gòu)造性的，思路如下：,為非奇異。 2. 對(duì)于任給的 x(t0)，構(gòu)造如下控制輸入,(2-8),可以證明，(2-9)式所定義的u(t)能在 t1 時(shí)刻將x(t0)轉(zhuǎn)移到 x(t1)=0。,必要性。反證法。,設(shè)在t0時(shí)刻方程可控，但對(duì)任何t1t0,在 t0，t1上都是線性相關(guān)的，,又由于方程在t0時(shí)刻可控，當(dāng)取x(t0)= 時(shí)，存在有限時(shí)刻t1t0和uto, t1,使x(t1)=0，即,矛盾。 證完。,推論2-4 狀態(tài)方程（2-7）在t0可控的充分必要條件是存在有限時(shí)刻 t1t0 使得W(

4、t0, t1) 為非奇異。,通常將式（2-8）式所定義的矩陣W(t0, t1) 稱為可控性Gram矩陣，或簡(jiǎn)稱為可控性矩陣。,證明：直接利用定理2-1。,例：討論如下系統(tǒng)在任意時(shí)刻t0的可控性:,可采用前一節(jié)介紹的方法來(lái)判斷 f1 和 f2 的線性相關(guān)性。,故,3. 可控性的一個(gè)實(shí)用判據(jù) 為了應(yīng)用定理24，必須計(jì)算,假定A(t),B(t)是(n1)次連續(xù)可微的，定義矩陣序列 M0, M1, , Mn1如下：,易于驗(yàn)證，以上矩陣序列滿足：,定理25 設(shè)狀態(tài)方程dx/dt=A(t)x+Bu中的矩陣A(t), B(t)是(n1)次連續(xù)可微的。若存在有限時(shí)間t1t0,使得,則狀態(tài)方程在t0 時(shí)刻可控。

5、,證明： 只要證明存在一個(gè)t1t0，使得,行線性無(wú)關(guān)就可以了。而根據(jù)定理2-2，若能找到一個(gè)t1t0，使得,的秩是 n 就可以了。由,有(t0,)B()在t0, t1上行線性無(wú)關(guān)。 證完。,例27 討論如下系統(tǒng)的可控性：,直接計(jì)算得到：,易于驗(yàn)證，上述矩陣的行列式對(duì)任意 t 0 均非零，故系統(tǒng)對(duì)任意 t0 都是可控的。,注意： 該定理無(wú)需計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。但需要特別注意的是，僅是一個(gè)充分條件； 該定理在時(shí)變線性系統(tǒng)的可控性分析中是很重要的。,定義24 若對(duì)t0時(shí)刻狀態(tài)空間中的任一非零狀態(tài)x(t0)，存在著一個(gè)有限時(shí)刻t1t0和一個(gè)容許控制，能在t1,t0內(nèi)使?fàn)顟B(tài)x(t1)=0轉(zhuǎn)移到x(t0)，

6、則稱狀態(tài)方程（2-7）在t0時(shí)刻是可達(dá)的。,二、可達(dá)性的概念,完全類似于可控性的討論，如下結(jié)論為顯然：,在t1，t0上行線性無(wú)關(guān)，或等價(jià)地，下列可達(dá)性矩陣非奇異 (t1t0)：,事實(shí)上，只要考慮,三、時(shí)不變系統(tǒng)的可控性判據(jù),本小節(jié)我們將討論時(shí)不變狀態(tài)方程,的可控性問(wèn)題。,時(shí)不變線性系統(tǒng)是線性系統(tǒng)理論中迄今為止被討論得最多、結(jié)果最為完美的系統(tǒng)。主要原因是： 時(shí)不變系統(tǒng)簡(jiǎn)單，便于分析，利用線性代數(shù)的工具就可以基本上弄清楚其中的問(wèn)題；而時(shí)變線性系統(tǒng)則仍有許多問(wèn)題沒(méi)有解決； 許多真實(shí)的工業(yè)系統(tǒng)在工作點(diǎn)附近均可用時(shí)不變線性系統(tǒng)近似。,對(duì)于n 維線性不變狀態(tài)方程,(2) eAtB（也即eAtB）的行在0，

7、 )上是復(fù)數(shù)域行線性無(wú)關(guān)的；,(1) 在0， )中的每一個(gè) t0 ,（213）可控；,(3)對(duì)于任何t0 0 及任何 t t0 ，矩陣,非奇異；,下列提法等價(jià):,定理2-6,(4) rankB AB An1B= n ； （2-14）,(5) 在復(fù)數(shù)域上，矩陣(sIA)1B的行是線性無(wú)關(guān)的；,(6) 對(duì)于A 的任一特征值 ，都有,以上六個(gè)等價(jià)性條件基本概括了時(shí)不變系統(tǒng)在可控性方面的主要成果。,證明的主要思路：,(2) eAtB（也即eAtB）的行在0， )上是復(fù)數(shù)域行線性無(wú)關(guān)的。,(1) 在0， )中的每一個(gè) t0 ,（A, B）可控；,證明：注意到拉氏變換是一一對(duì)應(yīng)的線性算子即可。,(2) e

8、AtB（也即eAtB）的行在0， )上是復(fù)數(shù)域行線性無(wú)關(guān)的。,(5) 在復(fù)數(shù)域上，矩陣(sIA)1B的行是線性無(wú)關(guān)的；,證明：這是推論2-4的直接結(jié)果。,(3)：對(duì)于任何t0 0 及任何 t t0 ，矩陣,非奇異。,反證法。若,利用(1-48) 式：,要證系統(tǒng)可控。反證法。若不可控，則對(duì)任意t0,（也可用定理2-4并考慮Hamilton定理）,上式對(duì) 求導(dǎo)，再求導(dǎo)，依次可得,令 = t0，有,思考題：1）為什么可以求導(dǎo)數(shù)？為什么可以取 =t0？考慮解析函數(shù)、定理2-3及凱萊-哈密爾頓定理。 2）試證明(2)與(4)的等價(jià)性。,要證,反證法。若有一個(gè)0 使,，要證,用反證法。若不然，,證明步驟如

9、下：,2. 利用上述引理，考慮矩陣,矛盾。證完。,下面考慮引理的證明。,證明思路：,則,2） 的形式為：,即該矩陣行滿秩，則必有A3=0。,注2：關(guān)于定理2-6判據(jù)(6)的說(shuō)明：,可以將 換為 (s為任意復(fù)數(shù))。因?yàn)楫?dāng) s不是A的特征值時(shí)，,注1：定理2-6 中(4)和(6)是判斷時(shí)不變系統(tǒng)可控性的兩個(gè)最常用的判據(jù)。（4）中的矩陣 U=B AB, , An1B 稱為狀態(tài)方程,的可控性矩陣，在研究時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)，矩陣U起著十分重要的作用。一般將命題4稱為秩判據(jù)。,命題(6)又稱為PBH檢驗(yàn)法，是由羅馬尼亞學(xué)者Popov 等三人從不同角度幾乎同時(shí)提出的。,自然成立。因此，,（k =0，1，2，ni，

10、i=1，2，m）,稱為方程,命題（6）是通過(guò)A的特征值來(lái)判斷可控性的。通常我們把A的特征值i 稱為系統(tǒng)的振型或模態(tài)，把eAt 中的,與i 相對(duì)應(yīng)的模式。,四、時(shí)不變系統(tǒng)的振型（模態(tài)）、模式,定義：凡使矩陣AiI B 滿秩的i 稱為可控振型；使矩陣AiI B降秩的i 稱為不可控振型。,1.振型（模態(tài)）與模式的定義,不可控制振型所對(duì)應(yīng)的模式與控制作用無(wú)耦合關(guān)系，因此不可控振型又稱為系統(tǒng)的輸入解耦零點(diǎn)，(將在可控性分解中深入研究，引理就是可控性分解）。 一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)可控的充分必要條件是沒(méi)有輸入解耦零點(diǎn)。,與該不可控的模態(tài)2相對(duì)應(yīng)的模式是e2t，它與控制無(wú)耦合關(guān)系。,當(dāng)0 是A的重特征值時(shí)，若

11、rankA0I Bn ，只能斷言至少有一個(gè)0不可控，并不能說(shuō)所有的 0都不可控，究竟有幾個(gè)0 是可控的，幾個(gè)0 是不可控的，需要用其它方法補(bǔ)充研究，主要是,當(dāng)0為重特征值時(shí)：,2. 特征根(模態(tài)） 的重?cái)?shù)與可控性 當(dāng)0為簡(jiǎn)單特征值時(shí)：,， 不可控模態(tài)； , 可控模態(tài)。,計(jì)算可控性矩陣的秩 進(jìn)行可控性分解 (將在后面介紹) 。,例題:,但,3. 可控性與模式 若線性時(shí)不變動(dòng)態(tài)方程可控即沒(méi)有輸入解耦零點(diǎn)時(shí)，則輸入能激勵(lì)方程的所有模式。另一方面，輸入也能抑制任何所不希望的模式。,對(duì)此例也可以直接用可控性分解來(lái)判斷。,計(jì)算矩陣 A0I b 的秩區(qū)別不出這三種不同情況。而可控性矩陣的秩卻顯示出這種差別：,例 2-9 考慮方程,容易驗(yàn)證系統(tǒng)可控。 A 有兩個(gè)特征值1和 2。因此方程有兩個(gè)模式et , e2t 。希望找到一種控制 u 來(lái)抑制模式e2t 。,計(jì)算eAt：,令 ，則當(dāng) 時(shí)，,取 ， 則當(dāng) 后， 輸出將不再包含 。由于系統(tǒng)可控，完全可以找到這樣的容許控制 ，使得 滿足上述條件。,在許多情況下，利用可控性矩陣來(lái)判斷可控性時(shí)，無(wú)須計(jì)算出矩陣B AB, An1 B，而只須計(jì)算一個(gè)列數(shù)較小的矩陣。記 Uk1= B AB Ak1 B,定理2-7 若 j 是使rank Uj= rank Uj+1成立