1、第一節(jié) 絕對值不等式,三年16考 高考指數(shù): 1.理解絕對值的幾何意義，并能利用含絕對值不等式的幾何意 義證明以下不等式： (1)|a+b|a|+|b|; (2)|a-b|a-c|+|c-b|.,2.會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式: |ax+b|c;|ax+b|c;|x-a|+|x-b|c. 3.會用1中的不等式證明一些簡單問題.,1.以選擇題的形式考查絕對值不等式，同時與不等式的性質(zhì)相 結(jié)合. 2.以考查絕對值不等式的解法為主，兼顧考查集合的交、并、 補運算.,1.絕對值三角不等式 定理1：如果a，b是實數(shù)，則|a+b|_，當且僅當_ 時，等號成立. 定理2:如果a,b,c是實數(shù)

2、，那么_,當且僅當 _時，等號成立.,|a|+|b|,ab0,|a-c|a-b|+|b-c|,(a-b)(b-c)0,【即時應用】 (1)思考：|a+b|與|a|-|b|,|a-b|與|a|-|b|及|a|+|b|分別具 有什么關(guān)系？ 提示：|a|-|b|a+b|, |a|-|b|a-b|a|+|b|.,(2)思考：不等式|a|-|b|ab|a|+|b|中“=”成立的條 件分別是什么？ 提示：不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|,右側(cè)“=”成立的條件 是ab0，左側(cè)“=”成立的條件是ab0且|a|b|; 不等式|a|-|b|a-b|a|+|b|,右側(cè)“=”成立的條件是 ab0，左側(cè)“=”成

3、立的條件是ab0且|a|b|.,(3)判斷以下命題是否正確.(請在括號內(nèi)填“”或“”) 若|a-b|1,則|a|b|+1. ( ) 若a、bR，則|a+b|-2|a|a-b|. ( ) 若|x|2,|y|3，則 ( ),【解析】對于命題：因為|a|-|b|a-b|1, 所以|a|b|+1,故正確；對于命題： 因為|a+b|-|a-b|(a+b)+(a-b)|=|2a|, 所以|a+b|-2|a|a-b|,故正確； 對于命題：因為0|x|2,|y|3，所以 即 故正確. 答案： ,2.含絕對值的不等式|x|a的解集,x|-axa,x|xa或x-a,x|xR且x0,R,【即時應用】 (1)思考：|

4、x|以及|x-a|x-b|表示的幾何意義是什么？ 提示：|x|表示數(shù)軸上的點x到原點O的距離；|x-a|x-b|表 示數(shù)軸上的點x到點a、b的距離之和(差). (2)不等式|2x+3|0的解集是_. 【解析】原不等式等價于2x+30, 答案：x|x ,(3)不等式x|x|1,x0時，|x|1,0x1. x|x-1或0x1. 答案：x|x-1或0x1,3.|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法 |ax+b|c _; |ax+b|c_.,-cax+bc,ax+bc或ax+b-c,【即時應用】 (1)不等式|2x-1|2-x的解集為_.,【解析】(1)由|2x-1|2-x或5x

5、+1 或x 或x 或x ,4.|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解 法 方法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合 的思想. 方法二：利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想. 方法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與 方程的思想.,【即時應用】 (1)不等式|x-1|+|x+2|5的解集為_. (2)不等式|x-3|-|x+1|1的解集為_.,【解析】(1)當x1時，|x-1|+|x+2|=x-1+x+2=2x+15,x2, 故不等式的解集為(-,-32,+).,(2)方法一：原不等式等價于 或 或 , 的解集為，的解集

6、為x| .,方法二：不等式|x-3|-|x+1| . 答案：(1)(-,-32,+) (2)( ，+),絕對值三角不等式定理的應用 【方法點睛】 絕對值三角不等式定理的理解 (1)兩端的等號成立的條件在解題時經(jīng)常用到，特別是用此定理 求函數(shù)的最大(小)值時.,(2)該定理可以推廣為|a+b+c|a|+|b|+|c|，也可強化為 |a|-|b|ab|a|+|b|,它們經(jīng)常用于含絕對值的不等 式的推證. 【提醒】當ab0時,|a+b|=|a|+|b|; 當ab0時，|a-b|=|a|+|b|.,【例1】“|x-a|m,且|y-a|m”是“|x-y|2m”(x,y,a,mR) 的( ) (A)充分不

7、必要條件 (B)必要不充分條件 (C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件,【解題指南】 利用絕對值三角不等式，推證 與|x-y|2m的關(guān)系即得答案.,【規(guī)范解答】 選A.|x-y|=|(x-a)-(y-a)|x-a|+|y-a|m+m=2m, |x-a|m,且|y-a|m是|x-y|2m的充分條件. 取x=3，y=1，a=-2，m=2.5，則有 |x-y|=25=2m，但|x-a|=5, 不滿足|x-a|m=2.5, 故|x-a|m且|y-a|m不是|x-y|2m的必要條件.,【反思感悟】 1.對絕對值三角不等式定理|a|-|b|ab|a|+|b|中等號成立的條件要深刻理解，特別是用此定理求

8、函數(shù)的最值時. 2.對于y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型的最值求法利用絕對值三角不等式更簡潔、方便.,【變式訓練】1.(2012青島模擬)設(shè)a，b是滿足ab0的實數(shù)， 則( ) (A)|a+b|a-b| (B)|a+b|a-b| (C)|a-b|a|-|b| (D)|a-b|a|+|b|,【解析】選B.方法一(特殊值法)： ab0,不妨設(shè)a=-1,b=1. 則|a+b|=|-1+1|=0, |a-b|=|-1-1|=2, |a|-|b|=|-1|-|1|=0, |a|+|b|=|-1|+|1|=2. A、C、D錯誤，故選B.,方法二：由ab0得a,b異號， 易知|a+b

9、|a-b|， |a-b|=|a|+|b|， |a-b|a|-|b|. 選項B成立，A，C，D均不成立.,2.已知命題p:|a|1,且|b|2,命題q:|a+b|3,則p是q的 ( ) (A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件 (C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件,【解析】選A.|a|1且|b|2, -3a+b3|a+b|3, 反之不成立 (如a=2，b=-3適合|a+b|3,但不適合|a|1且|b|2).,【變式備選】1.f(x)=|3-x|+|x-2|的最小值為_. 【解析】|3-x|+|x-2|3-x+(x-2)|=1, f(x)min=1. 答案：1,2.若f(x)=|x-5|-

10、|x+4|，則f(x)的最小值為_，最大值為 _. 【解析】|x-5|-|x+4|x-5-(x+4)|=9. f(x)min=-9,f(x)max=9. 答案：-9 9,3.給出下列四個命題： 若loga(a2+4)loga(4a)|x+log2x|的解集為(0，1)； 若|a+b|-c(a,b,cR)，則|a|b|-c. 以上四個命題中，正確命題的序號為_.,【解析】 對于,由于a2+44a 且loga(a2+4)loga(4a), 0a1,故錯；,對于，由x2-5x+10， 得 或 , f(x)=log2(x2-5x+1)的遞減區(qū)間為 ，故錯；,對于,必有x0且log2x0, 0x1,故正

11、確； 對于,|a|-|b|a+b|-c, |a|b|-c,故正確. 答案：,絕對值不等式的解法 【方法點睛】 1.含有一個絕對值的不等式的解法 形如|f(x)|a(aR)型不等式的簡單解法是等價命題 法，即 (1)當a0時，|f(x)|a f(x)a或f(x)-a.,(2)當a=0時，|f(x)|a f(x)0. (3)當aa 對任意x,f(x)有意義.,2.|x-a|+|x-b|c和|x-a|+|x-b|c型不等式的解法 (1)零點分段討論法 含有兩個或兩個以上絕對值號的不等式，可用零點分段討論法 脫去絕對值號，將其轉(zhuǎn)化為與之等價的不含絕對值符號的不等 式(組)，一般步驟是：,令每個絕對值符

12、號的代數(shù)式為零，并求出相應的根； 將這些根按從小到大排序并把實數(shù)集分為若干個區(qū)間； 由所分區(qū)間去掉絕對值符號組成若干個不等式組，解這些不 等式組，求出解集； 取各個不等式組的解集的并集求得原不等式的解集.,(2)利用|x-a|的幾何意義 由于|x-a|+|x-b|與|x-a|-|x-b|分別表示數(shù)軸上與x對應的點到 與a,b對應的點的距離之和與距離之差，因此對形如 |x-a|+|x-b|c(c0)或|x-a|-|x-b|c(c0)的不等式，利 用絕對值的幾何意義求解更直觀.,(3)數(shù)形結(jié)合法 通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)函數(shù)與方程的思 想，正確求出函數(shù)的零點并畫出函數(shù)圖象(有時需要考

13、查函數(shù)的 單調(diào)性)是解題關(guān)鍵. 【提醒】在利用分類討論解決含多個絕對值的不等式時，應做 到分類不重、不漏；在某個區(qū)間上解不等式后，不要忘了與前 提條件求交集.,【例2】解下列不等式 (1)|5-4x|9; (2)(2012冀州模擬)x|x-a|2a2(常數(shù)a0). (3)(2011廣東高考改編)|x+1|-|x-3|0; (4)(2011江蘇高考)x+|2x-1|3; (5)(2011江西高考改編)|x+10|-|x-2|8.,【解題指南】 (1)(2)根據(jù)|x|a及|x|0)型不等式的解法，去掉絕對值號 求解. (3)先移項，然后兩邊平方，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解. (4)把含有絕對值的放在

14、一側(cè)，不含絕對值的放在另一側(cè)，利用 公式去掉絕對值后再求解. (5)根據(jù)絕對值不等式的解法，采用零點分段討論即得.,【規(guī)范解答】 (1)|5-4x|9, 5-4x9或5-4x14,x . 原不等式的解集為x|x .,(2)原不等式 或 (a0)， 解得ax2a或xa. 原不等式解集為x|x2a.,(3)由|x+1|-|x-3|0得|x+1|x-3|, 兩邊平方得x2+2x+1x2-6x+9,即8x8,解得x1, 所以原不等式的解集為x|x1. (4)原不等式等價于|2x-1|3-x, x-32x-13-x,解得-2x , 原不等式的解集為x|-2x .,(5)當x-10時，原不等式變?yōu)?-x-

15、10+x-28,即-128, 不符合要求； 當-10x2時，原不等式變?yōu)?x+10+x-28,即2x0, 解得0 x2; 當x2時，原不等式變?yōu)椋簒+10-x+28,即128,恒成立, x2. 綜上所述，原不等式的解集為x|x0.,【互動探究】 把本例中(5)題改為|x-2|+|x+3|7如何求解？ 【解析】 方法一：|x-2|+|x+3| = , 原不等式可化為 ,或 或 , 解上述不等式組得所求不等式的解集為x|x3.,方法二：根據(jù)絕對值的幾何意義， |x-2|+|x+3|表示數(shù)軸上的點到2和-3的距離之和，而數(shù)軸上-4 和3對應的點到2和-3對應的點的距離之和為7(如圖)，故 x|x3.

16、,方法三：分別畫出函數(shù)y1=|x-2|+|x+3|和y2=7的圖象.如圖,其中y1= . 令2x+1=7得x=3,令-2x-1=7得x=-4. 所以，滿足|x-2|+|x+3|7的解集為x|x3或x-4.,【反思感悟】 1.解絕對值不等式的基本方法有 (1)利用絕對值的定義，通過分類討論轉(zhuǎn)化為解不含絕對值符號 的普通不等式； (2)當不等式兩端均為正時，可通過兩邊平方的方法，轉(zhuǎn)化為解 不含絕對值符號的普通不等式； (3)利用絕對值的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求解.,2.幾種絕對值不等式的等價形式 解絕對值不等式的思路是轉(zhuǎn)化為等價的不含絕對值符號的不等 式(組)，根據(jù)式子的特點可用下列公式進行轉(zhuǎn)化. (

17、1)|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)-g(x); (2)|f(x)|g(x)-g(x)f(x)g(x); (3)|f(x)|g(x)|f(x)2g(x)2.,【變式備選】解下列不等式: (1)1|x-2|3; (2)|x2-9|x+3; (3)(2012濰坊模擬)|x-1|+|2x+1|2.,【解題指南】(1)利用公式法或平方法轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等 式.(2)利用絕對值的定義或|f(x)|a(a0)-af(x)a去掉 絕對值符號或利用數(shù)形結(jié)合思想求解.(3)不等式的左邊含有兩 個絕對值符號,要同時去掉這兩個絕對值符號,可以采用“零點 分段法”.,【解析】 (1)方法一:原不等式

18、等價于不等式組 ，即 ， 解得-1x1或3x5, 所以原不等式的解集為x|-1x1或3x5.,方法二:原不等式可轉(zhuǎn)化為: 或 ， 由得3x5，由得-1x1, 所以原不等式的解集是x|-1x1或3x5.,方法三:原不等式的解集就是1(x-2)29的解集, 即 ，解得 ， -1x1或3x5. 原不等式的解集是x|-1x1或3x5.,(2)方法一：原不等式等價于 或 不等式組等價于 解得，x=-3或3x4. 不等式組等價于 解得，2x3. 原不等式的解集是x|2x4或x=-3.,方法二：原不等式等價于 即 ， 原不等式的解集是x|2x4或x=-3.,方法三：設(shè)y1=|x2-9|, y2=x+3(x-

19、3)， 由|x2-9|=x+3， 解得x1=4,x2=-3,x3=2. 在同一坐標系下作出y1,y2的圖象. 從圖中可看出使y1y2的x的范圍是x=-3或2x4. 原不等式的解集為x|x=-3或2x4.,(3)由題意x=1時，|x-1|=0,x= 時,2x+1=0,分類討論如下： 當x 時， 原不等式等價于 , 得,當 時， 原不等式等價于 , 得,當x1時，原不等式等價于 , 得x無解. 由得原不等式的解集為,含絕對值不等式的恒成立問題 【方法點睛】 1.含絕對值的函數(shù)問題的解法 研究含有絕對值的函數(shù)問題時，根據(jù)絕對值的定義，分類討論 去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后利用數(shù)形結(jié)合解決，

20、是常用的思想方法.,2.恒成立問題的解決方法 (1)f(x)m恒成立，須有f(x)maxm; (2)f(x)m恒成立，須有f(x)minm; (3)不等式的解集為R，即不等式恒成立； (4)不等式的解集為，即不等式無解.,【例3】(2012潮州模擬)已知函數(shù)f(x)=x|x-a|-2. (1)當a=1時，解不等式f(x)|x-2|; (2)當x(0,1)時， 恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.,【解題指南】 (1)把a=1代入f(x)中，用零點分段討論法解含有兩個絕對值的 不等式； (2)先把問題等價轉(zhuǎn)化為 在x(0,1)上恒成 立，再利用單調(diào)性與最值求解.,【規(guī)范解答】 (1)當a=1時，f(x)

21、|x-2|,即x|x-1|-2|x-2|. (*) 當x2時，由(*)x(x-1)-2x-20x2. 又x2,所以x;,當1x2時，由(*)x(x-1)-22-x-2x2. 又1x2,所以1x2; 當x1時，由(*)x(1-x)-22-xxR. 又x1,所以x1. 綜上：由知原不等式的解集為x|x2.,(2)當x(0,1)時，f(x) ,即x|x-a|-2 恒成立, 也即 在x(0,1)上恒成立， 而 在(0，1上為增函數(shù), 故g(x)max=g(1)= . h(x)= , 當且僅當 ,即 時，等號成立. 故a , ).,【反思感悟】 關(guān)于不等式成立問題 (1)恒成立問題 若f(x)A在區(qū)間D

22、上恒成立，則f(x)在區(qū)間D上的最小值大于A. 若f(x)B在區(qū)間D上恒成立，則f(x)在區(qū)間D上的最大值小于B.,(2)能成立問題 若f(x)A在區(qū)間D上能成立，則f(x)在區(qū)間D上的最大值大于A. 若f(x)A在區(qū)間D上恰成立，等價于f(x)A的解集為D. 若不等式f(x)B在區(qū)間D上恰成立，等價于f(x)B的解集為D.,【變式訓練】(2012惠州模擬)已知函數(shù)f(x)=|2x+1|+|2x-3|. (1)求不等式f(x)6的解集； (2)若關(guān)于x的不等式f(x)a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.,【解析】(1)原不等式等價于 或 或 , 解得 或 或 , 即不等式的解集為x|-1x2.,(2

23、)|2x+1|+|2x-3|(2x+1)-(2x-3)|=4. a4.,【變式備選】 1.(2012鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)=|x-a|. (1)若不等式f(x)m的解集為x|-1x5,求實數(shù)a,m的值. (2)當a=2時，解關(guān)于x的不等式f(x)+tf(x+2t)(t0).,【解析】(1)由|x-a|m得a-mxa+m, 所以 解得,(2)當a=2時，f(x)=|x-2|, 所以f(x)+tf(x+2t) 等價于|x-2+2t|-|x-2|t， 當t=0時，不等式恒成立，即xR；,當t0時，不等式 等價于 或 或 解得x2-2t或 或x, 即,綜上，當t=0時，原不等式的解集為R， 當t0

24、時，原不等式的解集為,2.(2012洛陽模擬)已知f(x)=|x|. (1)解不等式 (2)若f(x)+f(x-1)a2+a-1對任意實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.,【解析】(1) 等價于 或 , 綜上，原不等式的解集為x|x2或 .,(2)f(x)+f(x-1)=|x|+|x-1|, 由三角不等式得:|x|+|x-1|x-(x-1)|=1. 即f(x)+f(x-1)的最小值為1. a2+a-11,a2+a-20, 即(a+2)(a-1)0,解得-2a1.,【滿分指導】含有參數(shù)的絕對值不等式的規(guī)范解答 【典例】(12分)(2011新課標全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|+3x,其中a0.

25、(1)當a=1時，求不等式f(x)3x+2的解集； (2)若不等式f(x)0的解集為x|x-1，求a的值.,【解題指南】第(1)問，將a=1代入函數(shù)解析式，利用解絕對值 不等式的公式求解；第(2)問f(x)0|x-a|+3x0,然后分 xa和xa兩種情況去掉絕對值號，轉(zhuǎn)化為解不等式組的問題， 將兩段解集取并集得f(x)0的解集，最后利用待定系數(shù)法求得 a的值.,【規(guī)范解答】(1)當a=1時，f(x)3x+2可化為|x-1|2.2分 由此可得x3或x-1. 故不等式f(x)3x+2的解集為x|x3或x-1.4分,(2)由f(x)0得|x-a|+3x0, 此不等式化為不等式組 或 , 即 或 . . 8分 因為a0，所以不等式組的解集為x|x . .10分 由題設(shè)可得 =-1,故a=2. .12分,【閱卷人點撥】通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下失分警示和備考建議：,