1、第三篇 特殊函數(shù),勒讓德多項(xiàng)式 球函數(shù) 貝塞爾函數(shù) 柱函數(shù),特殊函數(shù)的導(dǎo)出：微分方程的冪級數(shù)解,特殊函數(shù)的性質(zhì)：母函數(shù)，遞推關(guān)系,特殊函數(shù)的正交歸一性，展開定理,第十五章 勒讓德多項(xiàng)式 球函數(shù),球坐標(biāo)系中的分離變量 勒讓德方程 勒讓德多項(xiàng)式 按勒讓德多項(xiàng)式展開 連帶勒讓德函數(shù),球坐標(biāo)系中的變量分離解,勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì),作業(yè)：習(xí)題十五 2, 4, 6, 9,的法線方向 /,正交曲線坐標(biāo)系：三維區(qū)域直角坐標(biāo)為(x0, y0, z0) 的任意點(diǎn)都有三個(gè)相互正交的曲面通過，曲面 方程為 qi (x, y, z)= qi (x0,y0,z0), i=1, 2, 3,正交曲線坐標(biāo)系下的拉普拉斯算符,坐標(biāo)

2、曲面 qi (x, y, z)= const.,坐標(biāo)曲面正交,正交曲線坐標(biāo)下，,符號約定,球坐標(biāo)下，,15.1 勒讓德多項(xiàng)式,z 軸上的點(diǎn)球坐標(biāo)無定義,1. 問題的引入：球殼內(nèi)的電勢,變量分離的特解,帶入泛定方程 (1)：,逐個(gè)分離變量：,解為,有限,本征值為,本征函數(shù)為連帶勒讓德函數(shù),m=0 時(shí)，本征函數(shù)為勒讓德多項(xiàng)式,球殼區(qū)域變量分離的特解：,球內(nèi)區(qū)域 (u|r=0 有限) 變量分離的特解：,球外區(qū)域 (u|r= =0) 變量分離的特解：,軸對稱情形,解與 無關(guān)：,球殼區(qū)域變量分離的特解：,球內(nèi)區(qū)域變量分離的特解：,球外區(qū)域變量分離的特解：,2. 勒讓德 (Legendre) 方程,有限,

3、作變換,求解本征問題,連帶勒讓德方程,m=0 勒讓德方程,勒讓德方程的冪級數(shù)解,嘗試 x=0 附近的冪級數(shù)展開,帶入勒讓德方程，比較同次冪的系數(shù)：,系數(shù)遞推關(guān)系,勒讓德方程的通解,y0(x) 為 2n 次多項(xiàng)式,此時(shí) y1(x) 有無窮多項(xiàng),y1(x) 為 2n+1 次多項(xiàng)式,此時(shí) y0(x) 有無窮多項(xiàng),收斂， 1時(shí) 發(fā)散,y0(x) 或 y1(x) 有無窮多項(xiàng)時(shí)，收斂半徑 R= 1， 在 x=1 處發(fā)散,(標(biāo)準(zhǔn)： ),高斯判別法：若 ，則1時(shí),y0(x) 有無窮多項(xiàng)時(shí)，取,通解,兩種情形：,(1) y0(x)為多項(xiàng)式， c1=0,(2) y1(x)為多項(xiàng)式，c0=0,本征值 l(l+1)=

4、2n(2n+1),本征值 l(l+1)= (2n+1) (2n+2),取l=2n,取l=2n+1,勒讓德方程在 x=1 處有限的解,有限 ,規(guī)定 Pl(1)=1，稱,結(jié)論：本征問題,本征值：,本征函數(shù)：l 次多項(xiàng)式,Pl(x) 為 l 階勒讓德多項(xiàng)式,x為 x 的整數(shù)部分,P0(x)=1， P1(x) = x,奇偶性 Pl(-1) = (-1)l,15.2 勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì),1. 勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù),物理背景：在單位球面的北極,放置點(diǎn)電荷,球內(nèi)的電勢,用分離變量法求球內(nèi)的電勢,變量分離的解,特解的疊加,|R(0)|,y(1)有限的解,取=0 ,解析延拓 ,2. 勒讓德多項(xiàng)式的遞推公式,證明

5、：,比較 zl 系數(shù) (1),證明：,比較 zl+1 系數(shù) ,微分遞推公式 (1) ,消去,遞推公式的應(yīng)用,求低階勒讓德多項(xiàng)式：,計(jì)算涉及勒讓德多項(xiàng)式的積分,3. 勒讓德多項(xiàng)式的表達(dá)式,多項(xiàng)式表示,收集 zl 冪項(xiàng)，,微分表示,證明的出發(fā)點(diǎn),求導(dǎo)恒等式,前 4 個(gè)勒讓德多項(xiàng)式,首項(xiàng)系數(shù) =,拉普拉斯積分表示,證明：取圍線 C 為圓周,(柯西積分公式),完備性：若 f(x) 在區(qū)間 -1,1 上有分段連續(xù)的,正交性：在區(qū)間 -1, 1 上勒讓德多項(xiàng)式彼此正交,歸一性：,展開系數(shù),二階導(dǎo)數(shù)，則,15.3 按勒讓德多項(xiàng)式展開,證明正交性,時(shí),出發(fā)點(diǎn)為勒讓德方程,證明歸一性 (歸納法),用母函數(shù)證明歸

6、一性,左邊 =,右邊 =,例1：計(jì)算,解：,兩邊乘以 Pk(x) 后積分 ,例2：將函數(shù) f(x) = (x-1)3 用勒讓德多項(xiàng)式展開,解：,計(jì)算 x=1 處的函數(shù)值 ,計(jì)算 x=-1 處的函數(shù)值 ,(1) 寫出定解問題,(2) 分離變量,問題具有軸對稱 ,例3：空心球殼內(nèi)表面電勢為,求球殼內(nèi)部的電勢,外表面電勢,(3) 待求解展開為特解的疊加,已知,比較系數(shù),非零的系數(shù),例4：求半徑為 a 的帶電球面產(chǎn)生的電勢分布，,已知球面上的電勢,解：問題具有軸對稱,球內(nèi)的解,球外的解,非零的系數(shù)滿足,比較 Pl(cos) 前的系數(shù),問題：帶電球面的電荷面密度分布 ？,高斯定理 ,球面上,本題中,例5

7、：半徑為 a 的球面，電荷面密度為,求其在球面上產(chǎn)生的電勢,球內(nèi)的解,球外的解,電勢連續(xù) ,高斯定理 ,展開系數(shù),代入,球面上的電勢分布,本征問題,本征值：,本征函數(shù)：l 次勒讓德多項(xiàng)式,母函數(shù)：,遞推關(guān)系,正交歸一：,軸對稱問題：,1.連帶勒讓德方程的解,作變換,15.4 連帶勒讓德多項(xiàng)式,勒讓德方程微分 m 次：,連帶勒讓德方程的解：,若,則在 x=1 附近,本征問題,本征值,本征函數(shù)：連帶勒讓德函數(shù),m 為奇數(shù)時(shí) 不是多項(xiàng)式!,2.連帶勒讓德函數(shù)的性質(zhì),微分表示,正交歸一性 (上標(biāo) m0 必須相同),證明,微分 m-1 次：,展開系數(shù),二階導(dǎo)數(shù)，則,完備性：,若 f(x) 在區(qū)間 -1,1 上有分段連續(xù)的,母函數(shù),證明：,遞推關(guān)系,微分 m 次：,證明：,微分 m-1 次：,例4：半徑為 a 的均勻球表面溫度為 ，,求球內(nèi)部的穩(wěn)定溫度分布,定解問題,球內(nèi)區(qū)域變量分離的特解 ：,待求解展開為特解的疊加：,比較,前的系數(shù) ,(其余系數(shù)為 0),(直角坐標(biāo)),l 階球面函數(shù) (0 m l, 共 2l+1 個(gè))：,物理中