1、第四章,向量空間、矩陣的特征值與特征向量,所有分量為實(shí)數(shù)的n維向量構(gòu)成的集合,稱為一個(gè)n維向量空間,41 向量空間,n維向量組,線性無關(guān)，,且任意n+1個(gè)n維向量線性相關(guān),n,定義4.3 在Rn中，n個(gè)線性無關(guān)的向量 1， 2， n稱為Rn的一組基。,例如：n維單位向量組1， 2， n是Rn的 一組基。,該基稱為Rn自然基或標(biāo)準(zhǔn)基。,也是Rn的一組基。,再如：,因?yàn)?即 線性無關(guān),所以 也是Rn的一組基。,二、基與坐標(biāo),Rn的一個(gè)極大無關(guān)組,補(bǔ)充：1， 2， m是Rn的一組基,1、 i Rn,2、m=n,3、 1， 2， m線性無關(guān),例如：,對(duì)n維向量空間,若1， 2， n是Rn的一組基，,則

2、1， 2， n線性無關(guān)，,且Rn中任意n+1個(gè)向量線性相關(guān),有，1，2，n線性相關(guān),由P107定理33，,即對(duì)任意 Rn,，存在唯一一組x1,x2, ,xn,使 =x11+x22+xnn,即對(duì)任意 Rn,可由1， 2， n線性表示，,且表法唯一。,解：因?yàn)?所以 在基 下的坐標(biāo)為,行向量,定義4.4 設(shè)1 ， 2， n是Rn的一組基，則R中的任一向量 都可唯一表示為 =x1 1 + x2 2 + xn n 稱系數(shù)x1, x2, , xn為向量在基1 ， 2， n 下的坐標(biāo)，記作（ x1, x2, , xn ）,設(shè)在基 下的坐標(biāo)為（ x1, x2, , xn ）,由此得線性方程組:,所以 在基

3、下的坐 標(biāo)為：,即有,【例（補(bǔ)）】已知R3的一組基,求向量 在基 下的坐標(biāo),解：,設(shè)在基 下的坐標(biāo)為（ x1, x2, x3 ）,即有,做矩陣,所以在基 下的坐標(biāo)為（ 2，3，-1）,求向量在基 下的坐標(biāo)：,設(shè)在基 下的坐標(biāo)為（ x1, x2, , xn ）,即有,做矩陣,則向量在基 下的坐標(biāo)：,三、過度矩陣,設(shè)向量組 與 為Rn的兩組基， 則向量 可由 線性表示,B=AQ,（*）,（*）,舊基,新基,舊基到新基的過度矩陣,=Q,Q=,取矩陣,稱矩陣Q為舊基 到新基 的過度矩陣,定義45 設(shè)向量組 與 為Rn的 兩組基，向量 可由 線性表示,對(duì)基 和,及關(guān)系式,取,或 B=AQ,（*）的矩陣形

4、式：,即,P159,證明：,取,則有 B=AQ,由于 線性無關(guān)，,A可逆,B可逆,線性無關(guān)，,所以Q=A-1B可逆,P159,定理4.1 由舊基 到新基 的過度矩陣Q可逆。,求舊基 到新基 的過度矩陣的方法(P160) :,取,則過度矩陣Q=A-1B,由,例2 已知R3的一組基,求自然基 到 的過度矩陣Q。,解 令,則所求的過渡矩陣,例3 已知R4的兩組基為： 求基 到 的過度矩陣Q。,解 令,則所求過度矩陣為 Q=A-1B,故,P161,定理42 設(shè) 與 為Rn的兩 組基，由 到 的 過度矩陣為Q，對(duì)于向量 ， 在基 和基 下的坐 標(biāo)分別為 和,由基坐標(biāo)的唯一性，得,證明：,且由過度矩陣是可

5、逆的，得,【例4】設(shè)R3的兩組基為：,和,（1）求 到 的過度矩陣Q,（2）若 在基 下的坐標(biāo)為 求 在基 下的坐標(biāo)。,解：,（1）取矩陣,P163,得,故 在 下的坐標(biāo)為,則所求過度矩陣為,設(shè) 在新基 下的坐標(biāo)為,P163,【例4】設(shè)R3的兩組基為：,和,（1）求 到 的過度矩陣Q,（2）若 在基 下的坐標(biāo)為 求 在基 下的坐標(biāo)。,由,得,所以 在基 下的坐標(biāo)為（-5，-7，4）,所以有,三、子空間及維數(shù),不要,小結(jié),一、概念,1、基：Rn中n個(gè)線性無關(guān)的向量 1， 2， n 稱為Rn的一組基,2、坐標(biāo)：設(shè)1 ， 2， n是Rn的一組基，則Rn 中的任一向量 都可唯一表示為 =x1 1 + x2 2 + xn n 。 則稱系數(shù)x1, x2, , xn為向量在基1 ， 2， n 下的坐標(biāo)，記作（ x1, x2, , xn ）,二、主要結(jié)論,1、,2、 舊基 到新基 的過度矩 陣Q可逆。,定理42 設(shè) 與 為Rn的兩 組基，由 到 的 過度矩陣為Q，對(duì)于向量 ， 在基 和基 下的坐 標(biāo)分別為 和,三、計(jì)算題型：,1、判斷1， 2， m是否為Rn的一組基,步驟： （1） i Rn,，（2）m=n,（3） 1， 2， m線性無關(guān),2、求向量在基 下的坐標(biāo)：,設(shè)在基 下的坐標(biāo)為（ x1, x2, , xn ）,即有,則向量在基 下的坐標(biāo)：,3、求舊基 到新基 的過度矩陣,取,