1、第二章答案1. 計(jì)算下列函數(shù)關(guān)于的：注：， 解：（1） （2） （3）（4） 2. 令，試證是在上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式，并求。解：是在上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式。3. 是區(qū)間上帶權(quán)的最高次項(xiàng)系數(shù)為1的正交多項(xiàng)式族，其中，求。 解法一：解法二：設(shè)，則由4. 求，使積分取得最小值。解：題意即為在中求的最佳平方逼近多項(xiàng)式，故滿足法方程或者按下述方法：因?yàn)樯鲜椒謩e對(duì)求偏導(dǎo)，并令其為零，有從而也有 ，5. 對(duì)，定義 問(wèn)它們是否構(gòu)成內(nèi)積？（1）推出,即為常數(shù)，但不一定為0，故（1）不構(gòu)成內(nèi)積。（2）顯然內(nèi)積公理的1），2），3）均滿足，考察第四條 若，則必有反之，若，則且，由此可推得, 即內(nèi)積公理第四條滿足，故（2）

2、構(gòu)成內(nèi)積。6. 對(duì)權(quán)函數(shù)，區(qū)間，試求首項(xiàng)系數(shù)為1的正交多項(xiàng)式。解： 7. 利用正交化方法求上帶權(quán)的前三個(gè)正交多項(xiàng)式。解：8. 判斷函數(shù)在上兩兩正交，并求一個(gè)三次多項(xiàng)式，使其在上與上述函數(shù)兩兩正交。解：（1）， ， 所以，在上兩兩正交。（2）設(shè)所求多項(xiàng)式為 9. 用最小二乘原理求矛盾方程組的最小二乘解。注：給定線性代數(shù)方程組，當(dāng)時(shí)，稱其為超定方程組。求使得 取最小值。應(yīng)用微分學(xué)中多元函數(shù)求極值的方法可以證明為方程組 的解。稱為超定方程組的最小二乘解。解法一：由題意得：所以即是所求的最小二乘解。誤差平方和為 解法二：求，使誤差平方和為最小，令得方程組如下： 解方程組有： 10. 用最小二乘法求一個(gè)

3、形如的經(jīng)驗(yàn)公式，使它與下列數(shù)據(jù)相擬合，并估計(jì)平方誤差。 192531384419.032.349.073.397.8解：將=19,25,31,38,44分別代入，得 所以誤差11. 求形如的經(jīng)驗(yàn)公式，使它能和下表給出的數(shù)據(jù)相擬合。123456781532052743664916568781176解：設(shè)，兩邊取對(duì)數(shù)得令，則有 設(shè)，于是得到正規(guī)方程組:其中, ， 正規(guī)方程組化為:得=2.43689 =0.291211=2.43689所以=11.45 =0.291211=2.43689所以=11.45 1=0.29121112. 求函數(shù)在給定區(qū)間上對(duì)于的最佳平方逼近多項(xiàng)式： 解：設(shè)（1）(2) 。 13. 上求關(guān)于的最佳平方逼近多項(xiàng)式。解：Legendre是-1，1上的正交多項(xiàng)式取，=14. 求在上的三次最佳平方逼近多項(xiàng)式。解：15. 已知勒讓德多項(xiàng)式，試在二次多項(xiàng)式類中求一多項(xiàng)式，使其成為上的最佳平方逼近函數(shù)