1、初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料(24)參數(shù)法證平幾甲內(nèi)容提要1.聯(lián)系數(shù)量間關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù).2.有一類平面幾何的證明，可以根據(jù)圖形性質(zhì)引入?yún)?shù)，布列方程，通過(guò)計(jì)算來(lái)完成，我們稱它為參數(shù)法.其關(guān)鍵是正確選定參數(shù)和準(zhǔn)確的進(jìn)行計(jì)算.乙例題例1如圖已知：AB是O的直徑，C是半圓上的一點(diǎn)，CDAB于D，N與O內(nèi)切且與AB、CD分別切于E，F(xiàn).求證：AC=AE.分析：選取兩圓半徑為參數(shù)，通過(guò)半徑聯(lián)系A(chǔ)C，AE的關(guān)系.證明：設(shè)O，N半徑分別為R和r，連接ON，NE.根據(jù)勾股定理：OE=， AE=OAOER+；OD=OEr=r， AD=OAODR+r根據(jù)射影定理AC2=ADAB=(R+r)2R =2R2+

2、2R2Rr=R2+2R+(R22Rr)=(R+)2AC= R+. AC=AE例2. 已知：ABC的內(nèi)切圓I和邊AB，BC，CA分別切于D，E，F(xiàn)，ACBC2ADDB.求證：CRt.證明：設(shè)ADx,則DBcx.代入ACBC2ADDB.得ab=2x(cx).2x22cx+ab=0.x=,又根據(jù)切線長(zhǎng)定理得x，.c22ab=a22ab+b2.c2=a2+b2 . CRt.例3.已知：等邊三角形ABC中，P是中位線DE上一點(diǎn)，BP，CP的延長(zhǎng)線分別交AC于F，交AB于G.求證：.證明：設(shè)ABC邊長(zhǎng)為a,PDm,PE=n,BG=x,CF=y.DE是ABC的中位線，DEBC，DEBC.（1）（2）：.，.

3、例4.已知：如圖四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)B的直線交AC于M，交CD于N，且SABCSABDSBCD134.求證：M，N平分AC和CD.證明：設(shè)SABC1，則SABD3，SBCD4，SACD3416.設(shè)k (0k1).連結(jié)AN.根據(jù)高相等的三角形面積的比等于底的比，得，SACN6k；, SAMN6kk6k2；, SBCN4k；, SABMk； SBMC1k.SACNSAMNSMNCSBCNSBMC6k6k2=4k(1k) . 6k2k1=0. k=；或k=.(k=.不合題意，舍去.)k=.AMMC，CNND .即M，N平分AC和CD.例5.已知：如圖ABC中，AD是高，ABDCACBD.求證：AB

4、AC.證明：設(shè)ABc，ACb, BD=m, DC=n.根據(jù)勾股定理得 cb=bc， b=c. 即ABAC.例6. 如圖已知：一條直線截ABC三邊AB，BC，AC或延長(zhǎng)線于D，E，F(xiàn).求證：（曼奈拉斯定理）證明：設(shè)BDE，DEB，F(xiàn).根據(jù)正弦定理：在BDE中，；在CEF中，；在ADF中，.Sin(180=Sin.即.丙練習(xí)241.已知：如圖三條弦AB，CD，EF兩兩相交于G，H，I.IAGDHE，ICGFHB.求證：GHI是等邊三角形.2.已知：在矩形ABCD中，APBD于P，PEBC于E，PFCD于F.求證：PA3PEPFBD3.已知：ABC的兩條高AD，BE相交于H，求證：過(guò)A，B，H三點(diǎn)的

5、圓與過(guò)A，C，H三點(diǎn)的圓是等圓.4.已知：AB是O的直徑，P是半圓上的一點(diǎn)，PCAB于C，以PC為半徑的P交O于D，E.求證：DE平分PC.5.已知：ABC的兩條高AD和BE相交于P，且ADBC，F(xiàn)是BC的中點(diǎn).求證：PDPFBC6.已知：平行四邊形ABCD中，AB，AC2BD2AB4AD4.求證：AB.7.求證：四邊形內(nèi)切圓的圓心，它到一組對(duì)角的頂點(diǎn)的距離的平方的比，等于該組角的兩邊的乘積的比.8.已知：AB是O的直徑，E是半圓上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作O的切線和過(guò)A，B的O的兩條切線分別相交于D，C，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于F，EF的延長(zhǎng)線交AB于H.求證：EF=FH.9.已知：如圖M

6、和 N相交于A，B，公共弦AB的延長(zhǎng)線交兩條外公切線于P，Q.求證：PA=QB；PQ2=AB2+CD2. 10. 已知：正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)P，滿足等式PAPBPC123.求證：APB135.11.一個(gè)直角三角形斜邊為c,內(nèi)切圓半徑是r,求內(nèi)切圓面積與直角三角形面積的比.（提示：引入?yún)?shù)a和b表示兩直角邊）（1979年美國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）參考答案練習(xí)241. 設(shè)IAa,ICb,IHx,HQy用相交弦定理列方程組.2. 引入?yún)?shù)，設(shè)DBC，PA2PBPD3. 設(shè)ABHACH，用AHSin表示兩圓的半徑.4. 設(shè)DFm,FE=n,PF=x,FC=y,P的半徑為r,由相交弦定理，得mn=x(y+r)=y(x+r)6.設(shè)ABa,AD=b,AC=p ,D=q (qp),則CosA=，A45度.7.設(shè)AB=a,BC=b.CD=c,DA=d,OA=x,OC=y，OD=u,OB=v,，同理8.設(shè)EF=x,FH=y,DA=DE=a,CB=CE=b,可證EFBC，9. 設(shè)PAPCPDx，Q