1、,基本概念,一階方程,類 型 1.直接積分法 2.可分離變量 3.齊次方程 4.可化為齊次 方程 5.全微分方程 6.線性方程,7.伯努利方程,可降階方程,線性方程 解的結(jié)構(gòu) 定理1;定理2 定理3;定理4,歐拉方程,二階常系數(shù)線性 方程解的結(jié)構(gòu),特征方程的根 及其對(duì)應(yīng)項(xiàng),f(x)的形式及其 特解形式,高階方程,待定系數(shù)法,特征方程法,一、主要內(nèi)容,微分方程解題思路,一階方程,高階方程,分離變量法,全微分方程,常數(shù)變易法,特征方程法,待定系數(shù)法,非全微分方程 非變量可分離,冪級(jí)數(shù)解法,降階,作變換,作變換,積分因子,1、基本概念,微分方程凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程,微分方程的階

2、微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最 高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階,微分方程的解代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解,通解如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，并且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解,特解確定了通解中的任意常數(shù)以后得到的解，叫做微分方程的特解,初始條件用來(lái)確定任意常數(shù)的條件.,初值問(wèn)題求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題，叫初值問(wèn)題,(1) 可分離變量的微分方程,解法,分離變量法,2、一階微分方程的解法,(2) 齊次方程,解法,作變量代換,齊次方程,（其中h和k是待定的常數(shù)）,否則為非齊次方程,(3) 可化為齊次的方程,解法,化為齊次方程,(4) 一

3、階線性微分方程,上方程稱為齊次的,上方程稱為非齊次的.,齊次方程的通解為,（使用分離變量法）,解法,非齊次微分方程的通解為,（常數(shù)變易法）,(5) 伯努利(Bernoulli)方程,方程為線性微分方程.,方程為非線性微分方程.,解法 需經(jīng)過(guò)變量代換化為線性微分方程,其中,形如,(6) 全微分方程,注意：,解法,應(yīng)用曲線積分與路徑無(wú)關(guān)., 用直接湊全微分的方法.,通解為,(7) 可化為全微分方程,形如,公式法:,觀察法:,熟記常見(jiàn)函數(shù)的全微分表達(dá)式，通過(guò)觀察直接找出積分因子,常見(jiàn)的全微分表達(dá)式,可選用積分因子,3、可降階的高階微分方程的解法,解法,特點(diǎn),型,接連積分n次，得通解,型,解法,代入原

4、方程, 得,特點(diǎn),型,解法,代入原方程, 得,、線性微分方程解的結(jié)構(gòu),（1）二階齊次方程解的結(jié)構(gòu):,（2）二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu):,、二階常系數(shù)齊次線性方程解法,n階常系數(shù)線性微分方程,二階常系數(shù)齊次線性方程,二階常系數(shù)非齊次線性方程,解法,由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.,特征方程為,特征方程為,推廣： 階常系數(shù)齊次線性方程解法,、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法,二階常系數(shù)非齊次線性方程,解法待定系數(shù)法.,7、歐拉方程,歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過(guò)變量代換 可化為常系數(shù)微分方程.,的方程(其中,形如,叫歐拉方程.,為常數(shù))，,當(dāng)微分方程的解不能用

5、初等函數(shù)或其積分表達(dá)時(shí), 常用冪級(jí)數(shù)解法.,8、冪級(jí)數(shù)解法,二、典型例題,例1,解,原方程可化為,代入原方程得,分離變量,兩邊積分,所求通解為,例2,解,原式可化為,原式變?yōu)?對(duì)應(yīng)齊方通解為,一階線性非齊方程,伯努利方程,代入非齊方程得,原方程的通解為,利用常數(shù)變易法,例3,解,方程為全微分方程.,(1) 利用原函數(shù)法求解:,故方程的通解為,(2) 利用分項(xiàng)組合法求解:,原方程重新組合為,故方程的通解為,(3) 利用曲線積分求解:,故方程的通解為,例4,解,非全微分方程.,利用積分因子法:,原方程重新組合為,故方程的通解為,例5,解,代入方程，得,故方程的通解為,例6,解,特征方程,特征根,對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為,設(shè)原方程的特解為,原方程的一個(gè)特解為,故原方程的通解為,解得,所以原方程滿足初始條件的特解為,例,解,特征方程,特征根,對(duì)應(yīng)的齊方的通解為,設(shè)原方程的特解為,解得,故原方程的通解為,即,例,解,（）由題設(shè)可得：,解此方程組，得,（）原方程為,由解的結(jié)構(gòu)定理得方程的通解為,解,例,這是一個(gè)歐拉方程,代入原方程得,(1),和(1)對(duì)應(yīng)的齊次方程為,(2),(2