1、立體幾何,專題六,空間向量及其運算,一、空間直角坐標系的建立及相關(guān)概念：,以單位正方體ABCDABCD的頂點 O為原點,分別以射線OA，OC，OD 的 方向為正方向,以線段OA,OC, OD的長 為單位長度,建立三條數(shù)軸:x軸,y軸, z軸,這時我們建立了一個空間直角 坐標系Oxyz .,點O叫做坐標原點，x軸、y軸、z軸叫做坐標軸，這三條坐標軸中每兩條確定一個坐標平面，分別稱為xoy平面、 yoz平面、和 zox平面,在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，讓食指指向y軸的正方向，如果中指能指向z軸的正方向，則稱坐標系為右手直角坐標系。,空間直角坐標系的畫法：,1.x軸與y軸、x軸與

2、z軸均成1350, 而z軸垂直于y軸,2.y軸和z軸的單位長度相同， x軸上的單位長度為y軸 (或z軸)的單位長度的一半,面,面,面,空間直角坐標系共有八個卦限,1、空間直角坐標系的劃分：,2、空間點的坐標：,設(shè)點P、Q和R在x軸、y軸和z軸上的坐標分別是x,y和z,這樣空間一點M的坐標可以用有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)來表示, (x，y，z)叫做點M 在此空間直角坐標系中的坐標，記作M(x，y，z),其中x叫做點M的橫坐標， y叫做點M的縱坐標， z叫做點M的豎坐標,(1)坐標平面內(nèi)的點:,xoy平面上的點豎坐標為0,yoz平面上的點橫坐標為0,xoz平面上的點縱坐標為0,(2)坐標軸上的點:,

3、x軸上的點縱坐標和豎坐標都為0,y軸上的點橫坐標和豎坐標都為0,z軸上的點橫坐標和縱坐標都為0,二、空間向量：,1. 空間向量的有關(guān)概念及表示法,具有大小和方向的量,向量的大小,長度為零的向量,模為 1 的向量,常用 e 表示,長度相等且方向相同的向量,長度相等且方向相反的向量,方向相同或相反的非零向量,與任一向量共線.,具有大小和方向的量,具有大小和方向的量,加法:三角形法則或 平行四邊形法則,減法:三角形法則,數(shù)乘:ka, k為正數(shù),負數(shù),零,加法交換律,加法結(jié)合律,數(shù)乘分配律,加法交換律,加法結(jié)合律,數(shù)乘分配律,2. 空間向量的有關(guān)定理及推論,A, P, B三點 共線,判斷三點共線,或兩

4、直線平行,P, A, B, C四點 共面,(A, B, C三點不共線),判斷四點共面,或直線平行于平面,三、空間向量的運算：,1.數(shù)量積的定義：,2.向量的夾角定義：,3.向量的垂直：,4.投影：,5.數(shù)量積的幾何意義：,數(shù)量積 等于 的長度 與 在,的方向上的投影 的乘積.,6.數(shù)量積的運算律：,7.數(shù)量積的主要性質(zhì):,(判斷兩個向量是否垂直),(求向量的長度(模)的依據(jù)),(求兩個向量的夾角),(向量不等式),8.空間向量的直角坐標運算.,設(shè) A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), 則,一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標.,

5、M=(x,y,z),若M是線段AB的中點，,9. 平面向量與空間向量的坐標計算,題型一 空間向量的線性運算,用已知向量來表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量，我們可把這個法則稱為向量加法的多邊形法則在立體幾何中要靈活應(yīng)用三角形法則，向量加法的平行四邊形法則在空間仍然成立,題型二 空間向量共線、共面問題,例3,題型三 空間向量數(shù)量積,利用空間向量數(shù)量積，解決幾何體中夾角長度是高考重點、難點，解決思路一，選取合適的一組基底，借助向量的代數(shù)式運算，二，選取兩兩垂直的三條線

6、建立空間直角坐標系,例4,【訓(xùn)練4】如圖，四棱錐S-ABCD中，ABCD，BCCD，側(cè)面SAB為等邊三角形ABBC2，CDSD1. (1)證明：SD平面SAB； (2)求AB與平面SBC所成的角的正弦值,本題可以通過計算邊邊關(guān)系證明SD平面SAB，第2問也可作出AB與平面SBC所成的角，利用解三角形來計算，但這種方法必須加輔助線，且易找錯角，故考慮用向量法，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系是解題關(guān)鍵,1向量的分解是用空間向量證明有關(guān)問題的常用方法，分解的依據(jù)是向量的加法、減法及實數(shù)與向量的積，而與之相聯(lián)系的是線段的倍(分)關(guān)系,2證明四點共面問題常轉(zhuǎn)化為證明有公共頂點的四個向量滿足共面向量定理，即 且xyz1P、A、B、C共面證明三點共線問題亦可轉(zhuǎn)化為具有公共頂點的三個向量的“共面向量定理的形式”，即 且xy1P、A、B共線,3空間向量數(shù)量積在判斷或證明垂直，求夾角、長度等方面比