1、第二章 波函數(shù)和Schrodinger方程,薛定諤,Erwin Schrodinger,(1887-1961),2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋,波由粒子組成 波是大量粒子運(yùn)動(dòng)的表現(xiàn)（如水波），那么粒子流的衍射現(xiàn)象應(yīng)該是粒子之間的相互作用形成的。 但是減少入射粒子流密度,讓粒子近似地一個(gè)個(gè)從粒子源射出后仍有衍射現(xiàn)象 這種說(shuō)法錯(cuò)誤,波和它所描寫(xiě)的粒子之間到底是什么關(guān)系?,2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋,自由粒子對(duì)應(yīng)的波是平面波，平面波在整個(gè)空間傳播，粒子充滿(mǎn)整個(gè)空間？ 許多平面波的疊加對(duì)應(yīng)粒子？ 在傳播過(guò)程中發(fā)生色散 群速： 相速 發(fā)生色散，粒子解體,粒子由波組成，粒子=波包？,2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋,波恩

2、：波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋最正統(tǒng),經(jīng)典粒子,能量E 動(dòng)量P 確定的軌道,干涉 衍射 物理量的周期分布,經(jīng)典波,無(wú)確定軌道,出現(xiàn)幾率的周期性分布,2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋,Max Born真正將量子粒子的微粒性和波動(dòng)性統(tǒng)一起來(lái)。 粒子用一波函數(shù) 來(lái)描述， 在t時(shí)刻，在 范圍內(nèi)，接收到粒子多少是與 成正比 如果 是歸一化的，則表示接收到粒子的幾率 當(dāng)發(fā)射粒子非常稀疏時(shí)，接收器上接收到的電子幾乎是“雜亂無(wú)章”的，但當(dāng)時(shí)間足夠長(zhǎng)時(shí)，接收到的電子數(shù)分布為,波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋,波函數(shù) 不是對(duì)物理量的波動(dòng)描述。 其意義是，在 處發(fā)現(xiàn)粒子的幾率正比于 波函數(shù)不代表物理實(shí)體，是一個(gè)幾率波； 波函數(shù)不能告訴你，t時(shí)刻測(cè)量時(shí)

3、，粒子在什么位置，在任何位置都有一定的可能性 越大，說(shuō)明在r處出現(xiàn)的幾率越大,而不能確定測(cè)量的結(jié)果：到底出現(xiàn)在哪里,波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋,如果有很多個(gè)全同的體系，在t時(shí)刻測(cè)量粒子的位置可能的結(jié)果是 則測(cè)得粒子在r1 r1dr的幾率為,波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋,波函數(shù)給出體系一個(gè)完全的描述(例如，測(cè)量粒子的能量時(shí)，可給出預(yù)言可能測(cè)得那些能量值和測(cè)得該能量值的幾率等) 因此，可以說(shuō)波函數(shù)描述了體系所處的量子狀態(tài)。以 描述體系，就稱(chēng)體系處于 態(tài)，或稱(chēng) 為體系的態(tài)函數(shù),波函數(shù)基本性質(zhì),的平方可積 除了個(gè)別孤立奇點(diǎn)外，波函數(shù)連續(xù)單值有界 在勢(shì)能有限大小的間斷處，波函數(shù)在該處的導(dǎo)數(shù)仍連續(xù) 不確定性: i) 表示同一個(gè)

4、態(tài)（歸一化） ii)位相不確定性 （ ）：不影響幾率 量子:幾率性，計(jì)算平均值,波函數(shù)的歸一化,在 處發(fā)現(xiàn)粒子的幾率正比于 比例系數(shù)為C，,歸一化波函數(shù),歸一化條件,歸一化因子,歸一化后， 才表示幾率,波函數(shù),平面波如何歸一？ 能量連續(xù) 波函數(shù)在多粒子體系中的推廣 粒子1位于,.,的幾率是,2.2 態(tài)疊加原理,波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋是粒子波粒二象性的表現(xiàn)（粒子的位置，動(dòng)量取值的概率由波函數(shù)給出） 微觀粒子的波粒二象性還可以通過(guò)態(tài)疊加原理表現(xiàn)出來(lái) 波函數(shù)的線(xiàn)性疊加 如果1， 2. n 是體系的一個(gè)可能態(tài),則cnn 是體系的可能態(tài)，并稱(chēng) 為n態(tài)的線(xiàn)性疊加態(tài)。,2.2 態(tài)疊加原理,經(jīng)典物理波遵從疊加原理

5、1，2a1b2 惠更斯原理：空間任意一點(diǎn)的P的光強(qiáng)可以由前一時(shí)刻波前上所有點(diǎn)傳播來(lái)的光波在P點(diǎn)線(xiàn)性疊加而得 干涉、衍射,2.2 態(tài)疊加原理,量子力學(xué)的疊加原理 波函數(shù)是可能性和概率 干涉項(xiàng)的概率性 是粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)概率波自身的干涉,不是不同粒子之間的干涉,2.2 態(tài)疊加原理,波疊加原理的表述 如果1，2是體系可能的狀態(tài)則 c11+ c22也是這個(gè)體系可能的狀態(tài) 在中,體系處于1，2 態(tài)的幾率分別是c12和c22,干涉項(xiàng),2.2 態(tài)疊加原理,波疊加原理的表述 如果1， 2. n 是體系的一個(gè)可能態(tài),則 cnn 是體系的可能態(tài)，并稱(chēng) 為n態(tài)的線(xiàn)性疊加態(tài)。 在中,體系處于1，2. n態(tài)的幾率分別是c1

6、2，c22 cn2 任何時(shí)候觀測(cè)到的都是一整個(gè)粒子,而不是cn2個(gè)粒子 =概率相干 線(xiàn)性疊加：疊加次序不重要,動(dòng)量幾率分布函數(shù),以確定P運(yùn)動(dòng)粒子的波函數(shù) 按照態(tài)疊加原理，粒子的狀態(tài)可由不同p值的平面波的線(xiàn)性疊加,坐標(biāo)表象和動(dòng)量表象,互為傅立葉變換，是波函數(shù)的兩種不同的描述方式,以動(dòng)量為自變量：動(dòng)量表象,以坐標(biāo)為自變量：坐標(biāo)表象,C(p,t) 2：t時(shí)刻粒子具有動(dòng)量p的幾率 處在(r,t) 的粒子,動(dòng)量無(wú)確定值,2.3 薛定諤方程,經(jīng)典力學(xué) 牛頓方程 線(xiàn)性方程 二階全微分方程，只有一個(gè)獨(dú)立變量t 唯一性 方程系數(shù)不含狀態(tài)參數(shù)，有普適性,量子力學(xué) ？方程,2.3 薛定諤方程,量子力學(xué) 線(xiàn)性方程(態(tài)

7、疊加原理的直接要求) 系數(shù)不含狀態(tài)參數(shù)（動(dòng)量，能量） t，x，y，z均為變量=偏微分方程 解唯一性 h進(jìn)入方程式 h0，牛頓方程,2.3 薛定諤方程,由波函數(shù)已知的自由粒子導(dǎo)出方程的可能形式 自由粒子 已知解=方程式(不唯一),2.3 薛定諤方程,由波函數(shù)已知的自由粒子導(dǎo)出方程的可能形式,動(dòng)量算符,能量算符,力學(xué)量用 算符表示!,2.3 薛定諤方程,自由粒子,如果有勢(shì)場(chǎng),薛定諤方程！ 波動(dòng)方程,量子力學(xué)基本假定 方程得到的結(jié)論和實(shí)驗(yàn)比較進(jìn)行驗(yàn)證 波函數(shù)不用正弦、余弦形式 表征量子體系特征的量h進(jìn)入了方程,2.3 薛定諤方程,一般情況:,推廣:,同一力學(xué)量的經(jīng)典表示，可得不同的量子力學(xué)算符表示,

8、注意！,2.3 薛定諤方程,動(dòng)量在直角坐標(biāo)中先用分量表示，再代入算符表示； 如果出現(xiàn)的物理量為 則取 只在直角坐標(biāo)中適用，先用直角坐標(biāo)表示，然后用動(dòng)量算符替換動(dòng)量分量，最后再換到其他坐標(biāo),注意！,2.3 薛定諤方程,薛定諤方程的兩個(gè)慣例 只在直角坐標(biāo)中適用 將H分成三部分: 與坐標(biāo)無(wú)關(guān)的動(dòng)量二次式 只依賴(lài)于坐標(biāo)的函數(shù),2.4 粒子流密度和粒子數(shù)守恒,在非相對(duì)論的情況下，實(shí)物粒子既不產(chǎn)生也不湮滅，所以在整個(gè)空間發(fā)現(xiàn)粒子的幾率不隨時(shí)間變，即 因?yàn)橛胁ê瘮?shù)統(tǒng)計(jì)解釋,因此概率流守恒定律自動(dòng)包含在薛定諤方程中,2.4 粒子流密度和粒子數(shù)守恒,粒子數(shù)守恒定律,2.4 粒子流密度和粒子數(shù)守恒,體積v中粒子出

9、現(xiàn)概率的變化率,矢量J在體積V的界面S上法向分量的面積分,J為概率流密度矢量 體積v中增加的概率v外部穿過(guò)邊界S流進(jìn)v的概率,2.4 粒子流密度和粒子數(shù)守恒,無(wú)限遠(yuǎn)處波函數(shù)為0,在整個(gè)空間內(nèi)，找到粒子的概率與時(shí)間無(wú)關(guān),所以波函數(shù)可以歸一化！,為什么在空間找到粒子數(shù)的總幾率與t無(wú)關(guān)？,質(zhì)量：量子力學(xué)中的質(zhì)量守恒,電量：量子力學(xué)中的電量守恒,2.4 粒子流密度和粒子數(shù)守恒,由于概率密度和概率流密度連續(xù) 波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件 有限 連續(xù) 單值,2.5 定態(tài)薛定諤方程,定態(tài)：U=U(r,t)=U(r), 不顯含t,可用分離變數(shù)法求特解,時(shí)間的函數(shù),位置的函數(shù),不含時(shí)間的薛定諤方程，或稱(chēng)為能量本征方程。,2

10、.5 定態(tài)薛定諤方程,角頻率確定 E為體系所處狀態(tài)的能量 能量具有確定的值定態(tài) 定態(tài)中概率密度和概率流密度都與時(shí)間無(wú)關(guān),哈密頓算符,2.5 定態(tài)薛定諤方程,由于波函數(shù)為幾率波，加上一些特殊的邊界要求，能滿(mǎn)足方程的解就只有某些E值，分立的值En，而測(cè)量值只能是這方程有非零解所對(duì)應(yīng)的值,本征方程,算符H的本征值,屬于本征值E的本征函數(shù),2.5 定態(tài)薛定諤方程,體系在初始時(shí)刻（t0）處于一定能量的本征態(tài)n，則在以后任何時(shí)刻，體系都處于這一本征態(tài)上，即 。它隨時(shí)間變化僅表現(xiàn)在e指數(shù)上 體系的幾率密度不隨時(shí)間變化，幾率流密度矢的散度為0（即無(wú)幾率源）。 幾率流密度矢，不隨時(shí)間變化,2.5 定態(tài)薛定諤方程

11、,任何不含 t 的力學(xué)量在該態(tài)的平均值不隨時(shí)間變化。 任何不顯含 t 的力學(xué)量在該態(tài)中取值的幾率不隨時(shí)間變化。,2.6一維無(wú)限深勢(shì)阱,令,由波函數(shù)連續(xù)性 在xa時(shí),n為正偶數(shù),n為正奇數(shù),波函數(shù)歸一化,在xa時(shí)，0,2.6一維無(wú)限深勢(shì)阱,是駐波：由兩個(gè)沿相反方向傳播平面波疊加而成 粒子被束縛在阱中：束縛態(tài)，能級(jí)分立 能量最低的態(tài)為基態(tài) 本征函數(shù)的奇偶性由勢(shì) 能函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性決定 n有n-1個(gè)節(jié)點(diǎn),奇函數(shù),偶函數(shù),偶函數(shù),奇函數(shù),2.6一維無(wú)限深勢(shì)阱,思考 如果勢(shì)阱的寬度突然或者緩慢變化粒子的波函數(shù)如何變化？,例題：一維無(wú)限深方勢(shì)阱中粒子的動(dòng)量分布,連續(xù)性條件,歸一：,基態(tài)n1,例：電子處于基態(tài)，

12、阱壁突然變化后電子處于基態(tài)的幾率,阱壁突然變化，狀態(tài)來(lái)不及變化,留在基態(tài)的幾率,2.7 線(xiàn)性諧振子,勢(shì)場(chǎng)在平衡位置附近展開(kāi) U(x)k(x-x0)2 任何連續(xù)諧振子體系無(wú)窮多個(gè)諧振子集合 輻射場(chǎng)簡(jiǎn)諧波的疊加 原子核表面振動(dòng)，理想固體(無(wú)窮個(gè)振子) 真正可以嚴(yán)格求解的物理勢(shì)(不是間斷勢(shì)) 描述全同粒子體系產(chǎn)生，湮滅算符,2.7 線(xiàn)性諧振子,勢(shì)能 在平衡點(diǎn)附近的運(yùn)動(dòng) 經(jīng)典力學(xué)中諧振子的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng) X=asin(t+) 量子力學(xué)中？,2.7 線(xiàn)性諧振子,令,無(wú)量綱變量,看方程在兩邊邊界上的漸進(jìn)行為： 使函數(shù)在中間取值范圍內(nèi)有與漸近行為相同的形式,思路,正號(hào)舍去,1、看方程在兩邊邊界上的漸近行為：

13、 2、使函數(shù)在中間取值范圍內(nèi)有與漸近行為相同的形式,H()需在有限時(shí)有限，在趨于時(shí)使有限,3、求級(jí)數(shù)解，找遞推關(guān)系，把H展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù) 4、看解在無(wú)窮遠(yuǎn)處的漸近行為，級(jí)數(shù)必須含有有限項(xiàng)才能使有限：無(wú)限求和截?cái)酁橛邢薜亩囗?xiàng)式 5、求出波函數(shù)=歸一化,解方程思路,2.7 線(xiàn)性諧振子,遞推關(guān)系,當(dāng),當(dāng) 很大時(shí)，H()中第+2與第項(xiàng)系數(shù)之比,當(dāng) 很大時(shí)， 中+2與項(xiàng)的系數(shù)之比,很大時(shí)，兩個(gè)函數(shù)行為相當(dāng)， 要使級(jí)數(shù)有限，必須在某個(gè)項(xiàng)中斷,2.7 線(xiàn)性諧振子,2.7 線(xiàn)性諧振子,Hn為厄密多項(xiàng)式 n為多項(xiàng)式的最高冪次,零點(diǎn)能,2.7 線(xiàn)性諧振子,波函數(shù)正交歸一,厄密多項(xiàng)式的遞推關(guān)系,對(duì)稱(chēng)性,n為宇稱(chēng),節(jié)點(diǎn)

14、：,有n個(gè)根，n個(gè)節(jié)點(diǎn),2.7 線(xiàn)性諧振子,2.7 線(xiàn)性諧振子,一維非奇性勢(shì)薛定諤方程的束縛態(tài)無(wú)簡(jiǎn)并 一維束縛態(tài)波函數(shù)可取為實(shí)數(shù) 能量本征函數(shù)性質(zhì)（x） EU, (x) Asin(kx+) 震蕩解 EU, (x) exp(-x)指數(shù)衰減解 節(jié)點(diǎn)數(shù): 基態(tài)無(wú)節(jié)點(diǎn),第n個(gè)激發(fā)態(tài)有n個(gè)節(jié)點(diǎn) 對(duì)稱(chēng)性: 若U(x)=U(-x)，波函數(shù)可具有確定的宇稱(chēng) 本征函數(shù)正交歸一,一維薛定諤方程的普遍性質(zhì),一維非奇性勢(shì)薛定諤方程的束縛態(tài)無(wú)簡(jiǎn)并,假設(shè)1，2都是能量本征值E對(duì)應(yīng)的波函數(shù)：簡(jiǎn)并,束縛態(tài)：無(wú)窮遠(yuǎn)處波函數(shù)為0,一維束縛態(tài)波函數(shù)可取為實(shí)數(shù),為實(shí)數(shù),維非奇性勢(shì)薛定諤方程的束縛態(tài)無(wú)簡(jiǎn)并,波函數(shù)相差一個(gè)實(shí)位相，表示同一個(gè)狀態(tài) 取0，,2.8 勢(shì)壘貫穿,前面有堵墻，怎么走？ 經(jīng)典圖象:眼前無(wú)路好回頭 量子圖象:眼前無(wú)路穿著走 勢(shì)壘能不能穿透？幾率？與勢(shì)壘高度和寬度有什么關(guān)系？ 什么條件下全透射無(wú)反射?,2.8 勢(shì)壘貫穿,1、EU0,2.8 勢(shì)壘貫穿,1、EU0,波函數(shù)連續(xù) 波函數(shù)的一級(jí)導(dǎo)數(shù)連續(xù),反射,透射,2.8 勢(shì)壘貫穿,1、EU0,入射波概率流密度,反射波概率流密度,透射波概率流密度,2.8 勢(shì)壘貫穿,反射系數(shù),透射系數(shù),1、EU0,2.8 勢(shì)壘貫穿,2、EU0,2.8 勢(shì)壘貫穿,2、EU0,如果粒子的能量和U0相比很小，使k3a1,勢(shì)壘高度