1、中考動點(diǎn)專題所謂“動點(diǎn)型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個或多個動點(diǎn),它們在線段、射線或弧線上運(yùn)動的一類開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動中求靜,靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識解決問題.關(guān)鍵:動中求靜.數(shù)學(xué)思想：分類思想 函數(shù)思想 方程思想 數(shù)形結(jié)合思想 轉(zhuǎn)化思想注重對幾何圖形運(yùn)動變化能力的考查從變換的角度和運(yùn)動變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過“對稱、動點(diǎn)的運(yùn)動”等研究手段和方法，來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。選擇基本的幾何圖形，讓學(xué)生經(jīng)歷探索的過程，以能力立意，考查學(xué)生的自主探究能力，促進(jìn)培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力圖形在動點(diǎn)的運(yùn)動過程中觀察圖形的變化情況，需要

2、理解圖形在不同位置的情況，才能做好計算推理的過程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué)“動點(diǎn)”探究題的基本思路,這也是動態(tài)幾何數(shù)學(xué)問題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì)。二期課改后數(shù)學(xué)卷中的數(shù)學(xué)壓軸性題正逐步轉(zhuǎn)向數(shù)形結(jié)合、動態(tài)幾何、動手操作、實(shí)驗探究等方向發(fā)展這些壓軸題題型繁多、題意創(chuàng)新，目的是考察學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，內(nèi)容包括空間觀念、應(yīng)用意識、推理能力等從數(shù)學(xué)思想的層面上講：（1）運(yùn)動觀點(diǎn)；（2）方程思想；（3）數(shù)形結(jié)合思想；（4）分類思想；（5）轉(zhuǎn)化思想等研究歷年來各區(qū)的壓軸性試題，就能找到今年中考數(shù)學(xué)試題的熱點(diǎn)的形成和命題的動向，它有利于我們教師在教學(xué)中研究對策，把握方向只的這樣，才能更好的培養(yǎng)

3、學(xué)生解題素養(yǎng)，在素質(zhì)教育的背景下更明確地體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)的導(dǎo)向本文擬就壓軸題的題型背景和區(qū)分度測量點(diǎn)的存在性和區(qū)分度小題處理手法提出自己的觀點(diǎn)專題一：建立動點(diǎn)問題的函數(shù)解析式函數(shù)揭示了運(yùn)動變化過程中量與量之間的變化規(guī)律,是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.動點(diǎn)問題反映的是一種函數(shù)思想,由于某一個點(diǎn)或某圖形的有條件地運(yùn)動變化,引起未知量與已知量間的一種變化關(guān)系,這種變化關(guān)系就是動點(diǎn)問題中的函數(shù)關(guān)系.那么,我們怎樣建立這種函數(shù)解析式呢下面結(jié)合中考試題舉例分析.一、應(yīng)用勾股定理建立函數(shù)解析式例1(2000年上海)如圖1,在半徑為6,圓心角為90的扇形OAB的弧AB上,有一個動點(diǎn)P,PHOA,垂足為H,OPH的重心為G

4、.(1)當(dāng)點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動時,線段GO、GP、GH中,有無長度保持不變的線段如果有,請指出這樣的線段,并求出相應(yīng)的長度.(2)設(shè)PH,GP,求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域(即自變量的取值范圍).HMNGPOAB圖1(3)如果PGH是等腰三角形,試求出線段PH的長.解:(1)當(dāng)點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動時,OP保持不變,于是線段GO、GP、GH中,有長度保持不變的線段，這條線段是GH=NH=OP=2.(2)在RtPOH中, , .在RtMPH中,.=GP=MP= (06).(3)PGH是等腰三角形有三種可能情況:GP=PH時,解得. 經(jīng)檢驗, 是原方程的根,且符合題意.GP=GH時, ,解得.

5、 經(jīng)檢驗, 是原方程的根,但不符合題意.PH=GH時,.綜上所述,如果PGH是等腰三角形,那么線段PH的長為或2.二、應(yīng)用比例式建立函數(shù)解析式 例2（2006年山東）如圖2,在ABC中,AB=AC=1,點(diǎn)D,E在直線BC上運(yùn)動.設(shè)BD=CE=. (1)如果BAC=30,DAE=105,試確定與之間的函數(shù)解析式； AEDCB圖2 (2)如果BAC的度數(shù)為,DAE的度數(shù)為,當(dāng),滿足怎樣的關(guān)系式時,(1)中與之間的函數(shù)解析式還成立試說明理由.解:(1)在ABC中,AB=AC,BAC=30, ABC=ACB=75, ABD=ACE=105.BAC=30,DAE=105, DAB+CAE=75, 又DA

6、B+ADB=ABC=75, CAE=ADB, ADBEAC, , , .OFPDEACB3(1)(2)由于DAB+CAE=,又DAB+ADB=ABC=,且函數(shù)關(guān)系式成立,=, 整理得.當(dāng)時,函數(shù)解析式成立.例3(2005年上海)如圖3(1),在ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3. 點(diǎn)O是邊AC上的一個動點(diǎn),以點(diǎn)O為圓心作半圓,與邊AB相切于點(diǎn)D,交線段OC于點(diǎn)E.作EPED,交射線AB于點(diǎn)P,交射線CB于點(diǎn)F.PDEACB3(2)OF(1)求證: ADEAEP.(2)設(shè)OA=,AP=,求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫出它的定義域. (3)當(dāng)BF=1時,求線段AP的長.解:(1)連結(jié)OD.根據(jù)題

7、意,得ODAB,ODA=90,ODA=DEP.又由OD=OE,得ODE=OED.ADE=AEP, ADEAEP.(2)ABC=90,AB=4,BC=3, AC=5. ABC=ADO=90, ODBC, ,OD=,AD=. AE=. ADEAEP, , . ().(3)當(dāng)BF=1時， 若EP交線段CB的延長線于點(diǎn)F,如圖3(1)，則CF=4.ADE=AEP, PDE=PEC. FBP=DEP=90, FPB=DPE,F=PDE, F=FEC, CF=CE. 5-=4,得.可求得,即AP=2.若EP交線段CB于點(diǎn)F,如圖3(2), 則CF=2.類似,可得CF=CE.5-=2,得.可求得,即AP=6

8、.綜上所述, 當(dāng)BF=1時,線段AP的長為2或6.三、應(yīng)用求圖形面積的方法建立函數(shù)關(guān)系式ABCO圖8H例4（2004年上海）如圖,在ABC中,BAC=90,AB=AC=,A的半徑為1.若點(diǎn)O在BC邊上運(yùn)動(與點(diǎn)B、C不重合),設(shè)BO=,AOC的面積為.(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域.(2)以點(diǎn)O為圓心,BO長為半徑作圓O,求當(dāng)O與A相切時,AOC的面積.解:(1)過點(diǎn)A作AHBC,垂足為H.BAC=90,AB=AC=, BC=4,AH=BC=2. OC=4-., ().(2)當(dāng)O與A外切時,在RtAOH中,OA=,OH=, . 解得.此時,AOC的面積=.當(dāng)O與A內(nèi)切時,在RtA

9、OH中,OA=,OH=, . 解得.此時,AOC的面積=.綜上所述,當(dāng)O與A相切時,AOC的面積為或.專題二：動態(tài)幾何型壓軸題動態(tài)幾何特點(diǎn)-問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關(guān)系；分析過程中，特別要關(guān)注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置。）動點(diǎn)問題一直是中考熱點(diǎn)，近幾年考查探究運(yùn)動中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。下面就此問題的常見題型作簡單介紹，解題方法、關(guān)鍵給以點(diǎn)撥。一、以動態(tài)幾何為主線的壓軸題 （一）點(diǎn)動問題1（09年徐匯區(qū)）如圖，中，點(diǎn)在邊上，且，以點(diǎn)為頂點(diǎn)作，分別交邊

10、于點(diǎn)，交射線于點(diǎn)（1）當(dāng)時，求的長； （2）當(dāng)以點(diǎn)為圓心長為半徑的和以點(diǎn)為圓心長為半徑的相切時，求的長； （3）當(dāng)以邊為直徑的與線段相切時，求的長 題型背景和區(qū)分度測量點(diǎn)本題改編自新教材九上相似形(4)例六,典型的一線三角(三等角)問題,試題在原題的基礎(chǔ)上改編出第一小題,當(dāng)E點(diǎn)在AB邊上運(yùn)動時，滲透入圓與圓的位置關(guān)系(相切問題)的存在性的研究形成了第二小題,加入直線與圓的位置關(guān)系(相切問題)的存在性的研究形成了第三小題區(qū)分度測量點(diǎn)在直線與圓的位置關(guān)系和圓與圓的位置關(guān)系,從而利用方程思想來求解區(qū)分度性小題處理手法1直線與圓的相切的存在性的處理方法：利用d=r建立方程2圓與圓的位置關(guān)系的存在性(相

11、切問題)的處理方法：利用d=Rr()建立方程3解題的關(guān)鍵是用含的代數(shù)式表示出相關(guān)的線段. 略解解：（1） 證明 ，代入數(shù)據(jù)得，AF=2（2）設(shè)BE=,則利用（1）的方法， 相切時分外切和內(nèi)切兩種情況考慮： 外切，；內(nèi)切，當(dāng)和相切時，的長為或（3）當(dāng)以邊為直徑的與線段相切時，類題 一個動點(diǎn)：09楊浦25題（四月、五月）、09靜安25題、 兩個動點(diǎn)：09閘北25題、09松江25題、09盧灣25題、09青浦25題（二）線動問題在矩形ABCD中，AB3，點(diǎn)O在對角線AC上，直線l過點(diǎn)O，且與AC垂直交AD于點(diǎn)E.(1)若直線l過點(diǎn)B，把ABE沿直線l翻折，點(diǎn)A與矩形ABCD的對稱中心A重合，求BC的長

12、；ABCDEOlA(2)若直線l與AB相交于點(diǎn)F，且AOAC，設(shè)AD的長為，五邊形BCDEF的面積為S.求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并指出的取值范圍；探索：是否存在這樣的，以A為圓心，以長為半徑的圓與直線l相切，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由題型背景和區(qū)分度測量點(diǎn)ABCDEOlF本題以矩形為背景,結(jié)合軸對稱、相似、三角等相關(guān)知識編制得到第一小題考核了學(xué)生軸對稱、矩形、勾股定理三小塊知識內(nèi)容；當(dāng)直線沿AB邊向上平移時，探求面積函數(shù)解析式為區(qū)分測量點(diǎn)一、加入直線與圓的位置關(guān)系(相切問題)的存在性的研究形成了區(qū)分度測量點(diǎn)二區(qū)分度性小題處理手法1找面積關(guān)系的函數(shù)解析式，規(guī)則圖形套用公式或用割補(bǔ)法，

13、不規(guī)則圖形用割補(bǔ)法2直線與圓的相切的存在性的處理方法：利用d=r建立方程3解題的關(guān)鍵是用含的代數(shù)式表示出相關(guān)的線段. 略解(1)A是矩形ABCD的對稱中心ABAAACABAB，AB3AC6 (2)， ()若圓A與直線l相切，則，(舍去)，不存在這樣的，使圓A與直線l相切類題09虹口25題（三）面動問題 如圖，在中，、分別是邊、上的兩個動點(diǎn)（不與、重合），且保持，以為邊，在點(diǎn)的異側(cè)作正方形.（1）試求的面積；（2）當(dāng)邊與重合時，求正方形的邊長；（3）設(shè)，與正方形重疊部分的面積為，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（4）當(dāng)是等腰三角形時，請直接寫出的長 題型背景和區(qū)分度測量點(diǎn)本題改編自新教材九上

14、相似形(4)例七,典型的共角相似三角形問題,試題為了形成坡度，在原題的基礎(chǔ)上改編出求等腰三角形面積的第一小題,當(dāng)D點(diǎn)在AB邊上運(yùn)動時，正方形整體動起來，GF邊落在BC邊上時，恰好和教材中的例題對應(yīng)，可以說是相似三角形對應(yīng)的小高比大高=對應(yīng)的小邊比大邊，探尋正方形和三角形的重疊部分的面積與線段AD的關(guān)系的函數(shù)解析式形成了第三小題，仍然屬于面積類習(xí)題來設(shè)置區(qū)分測量點(diǎn)一，用等腰三角形的存在性來設(shè)置區(qū)分測量點(diǎn)二 區(qū)分度性小題處理手法1找到三角形與正方形的重疊部分是解決本題的關(guān)鍵，如上圖3-1、3-2重疊部分分別為正方形和矩形包括兩種情況2正確的抓住等腰三角形的腰與底的分類，如上圖3-3、3-4、3-5

15、用方程思想解決3解題的關(guān)鍵是用含的代數(shù)式表示出相關(guān)的線段. 略解解：（1）.（2）令此時正方形的邊長為，則，解得.（3）當(dāng)時， ，當(dāng)時， . （4）.類題 改編自09奉賢3月考25題，將條件（2）“當(dāng)點(diǎn)M、N分別在邊BA、CA上時”,去掉，同時加到第（3）題中.ABFDEMNC已知：在ABC中，AB=AC，B=30，BC=6，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)E在線段DC上，DE=3，DEF是等邊三角形，邊DF、EF與邊BA、CA分別相交于點(diǎn)M、N （1）求證：BDMCEN； （2）設(shè)BD=，ABC與DEF重疊部分的面積為，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出定義域（3）當(dāng)點(diǎn)M、N分別在邊BA、CA上時,是否存在點(diǎn)D，

16、使以M為圓心, BM為半徑的圓與直線EF相切, 如果存在，請求出x的值；如不存在，請說明理由例1：已知O的弦AB的長等于O的半徑，點(diǎn)C在O上變化（不與A、B）重合，求ACB的大小 .分析：點(diǎn)C的變化是否影響ACB的大小的變化呢我們不妨將點(diǎn)C改變一下,如何變化呢可能在優(yōu)弧AB上，也可能在劣弧AB上變化，顯然這兩者的結(jié)果不一樣。那么，當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上變化時，ACB所對的弧是劣弧AB，它的大小為劣弧AB的一半，因此很自然地想到它的圓心角，連結(jié)AO、BO，則由于AB=OA=OB，即三角形ABC為等邊三角形，則AOB=600，則由同弧所對的圓心角與圓周角的關(guān)系得出：ACB=AOB=300，當(dāng)點(diǎn)C在劣弧

17、AB上變化時，ACB所對的弧是優(yōu)弧AB，它的大小為優(yōu)弧AB的一半，由AOB=600得，優(yōu)弧AB的度數(shù)為3600-600=3000，則由同弧所對的圓心角與圓周角的關(guān)系得出：ACB=1500，因此，本題的答案有兩個，分別為300或1500.反思：本題通過點(diǎn)C在圓上運(yùn)動的不確定性而引起結(jié)果的不唯一性。從而需要分類討論。這樣由點(diǎn)C的運(yùn)動變化性而引起的分類討論在解題中經(jīng)常出現(xiàn)。變式1：已知ABC是半徑為2的圓內(nèi)接三角形，若，求C的大小.本題與例1的區(qū)別只是AB與圓的半徑的關(guān)系發(fā)生了一些變化,其解題方法與上面一致,在三角形AOB中,則,即,從而當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上變化時，C所對的弧是劣弧AB，它的大小為劣弧

18、AB的一半，即,當(dāng)點(diǎn)C在劣弧AB上變化時，C所對的弧是優(yōu)弧AB，它的大小為優(yōu)弧AB的一半，由AOB=1200得，優(yōu)弧AB的度數(shù)為3600-1200=2400，則由同弧所對的圓心角與圓周角的關(guān)系得出：C=1200，因此或C=1200.變式2: 如圖,半經(jīng)為1的半圓O上有兩個動點(diǎn)A、B，若AB=1，判斷AOB的大小是否會隨點(diǎn)A、B的變化而變化，若變化，求出變化范圍，若不變化，求出它的值。四邊形ABCD的面積的最大值。解：（1）由于AB=OA=OB，所以三角形AOB為等邊三角形，則AOB=600，即AOB的大小不會隨點(diǎn)A、B的變化而變化。（2）四邊形ABCD的面積由三個三角形組成，其中三角形AOB的

19、面積為，而三角形AOD與三角形BOC的面積之和為，又由梯形的中位線定理得三角形AOD與三角形BOC的面積之和，要四邊形ABCD的面積最大，只需EH最大，顯然EHOE=，當(dāng)ABCD時，EH=OE，因此四邊形ABCD的面積最大值為+=.對于本題同學(xué)們還可以繼續(xù)思考:四邊形ABCD的周長的變化范圍.變式3: 如圖,有一塊半圓形的木板,現(xiàn)要把它截成三角形板塊.三角形的兩個頂點(diǎn)分別為A、B，另一個頂點(diǎn)C在半圓上，問怎樣截取才能使截出的三角形的面積最大要求說明理由（廣州市2000年考題） 分析：要使三角形ABC的面積最大，而三角形ABC的底邊AB為圓的直徑為常量，只需AB邊上的高最大即可。過點(diǎn)C作CDAB

20、于點(diǎn)D，連結(jié)CO，由于CDCO，當(dāng)O與D重合，CD=CO，因此，當(dāng)CO與AB垂直時，即C為半圓弧的中點(diǎn)時，其三角形ABC的面積最大。本題也可以先猜想，點(diǎn)C為半圓弧的中點(diǎn)時，三角形ABC的面積最大，故只需另選一個位置C1（不與C重合），證明三角形ABC的面積大于三角形ABC1的面積即可。如圖顯然三角形 ABC1的面積=ABC1D，而C1D C1O=CO,則三角形 ABC1的面積=ABC1DABC1O=三角形 ABC的面積,因此,對于除點(diǎn)C外的任意點(diǎn)C1,都有三角形 ABC1的面積小于三角形三角形 ABC的面積,故點(diǎn)C為半圓中點(diǎn)時,三角形ABC面積最大.本題還可研究三角形ABC的周長何時最大的問題

21、。提示：利用周長與面積之間的關(guān)系。要三角形ABC的周長最大，AB為常數(shù)，只需AC+BC最大，而（AC+BC）2=AC2+CB2+2ACBC=AB2+4ABC的面積，因此ABC的面積最大時，AC+BC最大，從而ABC的周長最大。從以上一道題及其三個變式的研究我們不難發(fā)現(xiàn),解決動態(tài)幾何問題的常見方法有:一、 特殊探路，一般推證例2：（2004年廣州市中考題第11題）如圖，O1和O2內(nèi)切于A，O1的半徑為3，O2的半徑為2，點(diǎn)P為O1上的任一點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），直線PA交O2于點(diǎn)C，PB切O2于點(diǎn)B，則的值為（A） （B） （C） （D）分析：本題是一道選擇題，給出四個答案有且只有一個是正確的，因此

22、可以取一個特殊位置進(jìn)行研究，當(dāng)點(diǎn)P滿足PBAB時，可以通過計算得出PB=BCAP=BPAB，因此 BC=， 在三角形BPC中，PC=，所以，=選（B）當(dāng)然，本題還可以根據(jù)三角形相似得，即可計算出結(jié)論。作為一道選擇題，到此已經(jīng)完成，但如果是一道解答題，我們得出的結(jié)論只是一個特殊情況，還要進(jìn)一步證明對一般情況也成立。例3：如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC=4，OABC于O,點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在邊AB、AC上滑動并保持AE=CF,但點(diǎn)F不與A、C重合，點(diǎn)E不與B、A重合。判斷OEF的形狀，并加以證明。判斷四邊形AEOF的面積是否隨點(diǎn)E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值.

23、AEF的面積是否隨著點(diǎn)E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值。分析：本題結(jié)論很難發(fā)現(xiàn)，先從特殊情況入手。最特殊情況為E、F分別為AB、AC中點(diǎn)，顯然有EOF為等腰直角三角形。還可發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)E與A無限接近時，點(diǎn)F與點(diǎn)C無限接近，此時EOF無限接近AOC，而AOC為等腰直角三角形，幾種特殊情況都可以得出EOF為等腰直角三角形。一般情況下成立嗎OE與OF相等嗎EOF為直角嗎能否證明。如果它們成立，便可以推出三角形OFC與三角形OEA全等，一般情況下這兩個三角形全等嗎不難從題目的條件可得：OA=OC，OCF=OAE，而AE=CF，則OEAOFC，則OE=OF，且FOC=EOA，所以

24、EOF=EOA+AOF=FOC+FOA=900，則EOF為直角，故EOF為等腰直角三角形。二、 動手實(shí)踐，操作確認(rèn)例4（2003年廣州市中考試題）在O中，C為弧AB的中點(diǎn)，D為弧AC上任一點(diǎn)（與A、C不重合），則（A）AC+CB=AD+DB (B) AC+CBAD+DB (D) AC+CB與AD+DB的大小關(guān)系不確定分析:本題可以通過動手操作一下,度量AC、CB、AD、DB的長度，可以嘗試換幾個位置量一量，得出結(jié)論（C）例5：如圖，過兩同心圓的小圓上任一點(diǎn)C分別作小圓的直徑CA和非直徑的弦CD，延長CA和CD與大圓分別交于點(diǎn)B、E，則下列結(jié)論中正確的是（ * ） （A） （B） （C）（D）的

25、大小不確定分析：本題可以通過度量的方法進(jìn)行，選（B）本題也可以可以證明得出結(jié)論，連結(jié)DO、EO，則在三角形OED中，由于兩邊之差小于第三邊，則OEODDE,即OBOA3).動點(diǎn)M，N同時從B點(diǎn)出發(fā)，分別沿BA，BC運(yùn)動，速度是1厘米/秒.過M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于P，Q.當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)終點(diǎn)C時，點(diǎn)M也隨之停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為t秒. (1)若a=4厘米，t=1秒，則PM=厘米； (2)若a=5厘米，求時間t，使PNBPAD，并求出它們的相似比； (3)若在運(yùn)動過程中，存在某時刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值范圍； (4)是否存在這樣的矩形：在運(yùn)動過程中，存在某時刻

26、使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面積都相等若存在，求a的值；若不存在，請說明理由. 評析 本題是以雙動點(diǎn)為載體，矩形為背景創(chuàng)設(shè)的存在性問題.試題由淺入深、層層遞進(jìn)，將幾何與代數(shù)知識完美的綜合為一題，側(cè)重對相似和梯形面積等知識點(diǎn)的考查，本題的難點(diǎn)主要是題(3)，解決此題的關(guān)鍵是運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)用t的代數(shù)式表示PM，進(jìn)而利用梯形面積相等列等式求出t與a的函數(shù)關(guān)系式，再利用t的范圍確定的a取值范圍. 第(4)小題是題(3)結(jié)論的拓展應(yīng)用，在解決此問題的過程中，要有全局觀念以及對問題的整體把握. 4 以雙動點(diǎn)為載體，探求函數(shù)最值問題 例4 (2007年吉林省)如圖9，在邊長為82cm的

27、正方形ABCD中，E、F是對角線AC上的兩個動點(diǎn)，它們分別從點(diǎn)A、C同時出發(fā)，沿對角線以1cm/s的相同速度運(yùn)動，過E作EH垂直AC交RtACD的直角邊于H；過F作FG垂直AC交RtACD的直角邊于G，連結(jié)HG、EB.設(shè)HE、EF、FG、GH圍成的圖形面積為S1，AE、EB、BA圍成的圖形面積為S2(這里規(guī)定：線段的面積為0).E到達(dá)C，F(xiàn)到達(dá)A停止.若E的運(yùn)動時間為x(s)，解答下列問題： (1)當(dāng)0X(2)若y是S1與S2的和，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； (圖10為備用圖) 求y的最大值. 解 (1)以E、F、G、H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，因為正方形ABCD的邊長為82，所以AC=16，過B

28、作BOAC于O，則OB=89，因為AE=x，所以S2=4x，因為HE=AE=x，EF=16-2x，所以S1=x(16-2x)， 當(dāng)S1=S2時， 4x=x(16-2x)，解得x1=0(舍去)，x2=6，所以當(dāng)x=6時， S1=S2. (2)當(dāng)0x8時，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x， 當(dāng)8x16時，AE=x，CE=HE=16-x，EF=16-2(16-x)=2x-16， 所以S1=(16-x)(2x-16)， 所以y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256. 當(dāng)0x8時，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，所以當(dāng)x=5時，y的最大值為50. 當(dāng)8x1

29、6時，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82， 所以當(dāng)x=13時，y的最大值為82. 綜上可得，y的最大值為82. 評析 本題是以雙動點(diǎn)為載體，正方形為背景創(chuàng)設(shè)的函數(shù)最值問題.要求學(xué)生認(rèn)真讀題、領(lǐng)會題意、畫出不同情況下的圖形，根據(jù)圖形建立時間變量與其它相關(guān)變量的關(guān)系式，進(jìn)而構(gòu)建面積的函數(shù)表達(dá)式. 本題在知識點(diǎn)上側(cè)重對二次函數(shù)最值問題的考查，要求學(xué)生有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識、靈活的解題方法、良好的思維品質(zhì)；在解題思想上著重對數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、數(shù)學(xué)建模等思想的靈活運(yùn)用. 專題四：函數(shù)中因動點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題 例題 如圖1，已知拋物線的頂點(diǎn)為A（2，1），且經(jīng)過原點(diǎn)O，與x軸的

30、另一個交點(diǎn)為B。求拋物線的解析式；（用頂點(diǎn)式求得拋物線的解析式為）若點(diǎn)C在拋物線的對稱軸上，點(diǎn)D在拋物線上，且以O(shè)、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；連接OA、AB，如圖2，在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得OBP與OAB相似若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。例1題圖圖1圖2分析:1.當(dāng)給出四邊形的兩個頂點(diǎn)時應(yīng)以兩個頂點(diǎn)的連線為四邊形的邊和對角線來考慮問題以O(shè)、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形要分類討論:按OB為邊和對角線兩種情況 2. 函數(shù)中因動點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題一般有三個解題途徑 求相似三角形的第三個頂點(diǎn)時，先要分析已知三角形的邊和角的特點(diǎn)，

31、進(jìn)而得出已知三角形是否為特殊三角形。根據(jù)未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對應(yīng)邊分類討論。 或利用已知三角形中對應(yīng)角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對稱、旋轉(zhuǎn)等知識來推導(dǎo)邊的大小。 若兩個三角形的各邊均未給出，則應(yīng)先設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而用函數(shù)解析式來表示各邊的長度，之后利用相似來列方程求解。 練習(xí)1、已知拋物線經(jīng)過及原點(diǎn)（1）求拋物線的解析式（由一般式得拋物線的解析式為）（2）過點(diǎn)作平行于軸的直線交軸于點(diǎn)，在拋物線對稱軸右側(cè)且位于直線下方的拋物線上，任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線平行于軸交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，直線與直線及兩坐標(biāo)軸圍成矩形是否存在點(diǎn)，使得與相似若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理

32、由（3）如果符合（2）中的點(diǎn)在軸的上方，連結(jié)，矩形內(nèi)的四個三角形之間存在怎樣的關(guān)系為什么練習(xí)2、如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，將邊BC折疊，使點(diǎn)B落在邊OA的點(diǎn)D處。已知折疊，且。（1）判斷與是否相似請說明理由；（2）求直線CE與x軸交點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）是否存在過點(diǎn)D的直線l，使直線l、直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸所圍成的三角形相似如果存在，請直接寫出其解析式并畫出相應(yīng)的直線；如果不存在，請說明理由。Oxy練習(xí)2圖CBED練習(xí)3、在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)

33、的橫坐標(biāo)為1，且過點(diǎn)和（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；（由一般式得拋物線的解析式為）（2）若直線與線段交于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），則是否存在這樣的直線，使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似若存在，求出該直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；CBA練習(xí)4圖PyyCxBA練習(xí)3圖（3）若點(diǎn)是位于該二次函數(shù)對稱軸右邊圖象上不與頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，試比較銳角與的大?。ú槐刈C明），并寫出此時點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍O練習(xí)4 (2008廣東湛江市) 如圖所示，已知拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)（2）過點(diǎn)A作APCB交拋物線于點(diǎn)P，求四邊形ACBP的面積（3）在軸上方的拋物線上是否存

34、在一點(diǎn)M，過M作MG軸于點(diǎn)G，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似若存在，請求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請說明理由練習(xí)5、已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是直角三角形，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，ACOBxy（1）求過點(diǎn)的直線的函數(shù)表達(dá)式；點(diǎn)，（2）在軸上找一點(diǎn)，連接，使得與相似（不包括全等），并求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，如分別是和上的動點(diǎn)，連接，設(shè)，問是否存在這樣的使得與相似，如存在，請求出的值；如不存在，請說明理由參考答案例題、解:由題意可設(shè)拋物線的解析式為拋物線過原點(diǎn)，.圖1拋物線的解析式為,即 如圖1,當(dāng)OB為邊即四邊形OCDB是平行四邊形時,CDOB,由得,B(4,0),OB4.D點(diǎn)

35、的橫坐標(biāo)為6 將x6代入,得y3,D(6,3); 圖2根據(jù)拋物線的對稱性可知,在對稱軸的左側(cè)拋物線上存在點(diǎn)D,使得四邊形ODCB是平行四邊形,此時D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,3), 當(dāng)OB為對角線即四邊形OCBD是平行四邊形時,D點(diǎn)即為A點(diǎn),此時D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)如圖2，由拋物線的對稱性可知:AOAB,AOBABO.若BOP與AOB相似,必須有POBBOABPO 設(shè)OP交拋物線的對稱軸于A點(diǎn),顯然A(2,1)直線OP的解析式為 由,得.P(6,3)過P作PEx軸,在RtBEP中,BE2,PE3,PB4.PBOB,BOPBPO,PBO與BAO不相似, 同理可說明在對稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的

36、P點(diǎn).所以在該拋物線上不存在點(diǎn)P,使得BOP與AOB相似. 練習(xí)1、解：（1）由已知可得： 解之得，因而得，拋物線的解析式為：（2）存在設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，要使，則有，即解之得，當(dāng)時，即為點(diǎn)，所以得要使，則有，即Oxy圖1CBED312A解之得，當(dāng)時，即為點(diǎn)，當(dāng)時，所以得故存在兩個點(diǎn)使得與相似點(diǎn)的坐標(biāo)為（3）在中，因為所以當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時，所以因此，都是直角三角形又在中，因為所以即有所以，圖2OxyCBEDPMGlNAF又因為，所以練習(xí)2解：（1）與相似。理由如下：由折疊知，又，。（2），設(shè)AE=3t，則AD=4t。由勾股定理得DE=5t。由（1），得，。在中，解得t=1。OC=8，AE=3，點(diǎn)C

37、的坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（10，3），設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b，解得，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（16，0）。（3）滿足條件的直線l有2條：y=2x+12，y=2x12。如圖2：準(zhǔn)確畫出兩條直線。練習(xí)3解：（1）二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且過點(diǎn)和，由解得此二次函數(shù)的表達(dá)式為（2）假設(shè)存在直線與線段交于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似yxBEAOCD在中，令，則由，解得令，得設(shè)過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為要使或，已有，則只需，或成立若是，則有而在中，由勾股定理，得解得（負(fù)值舍去）點(diǎn)的坐標(biāo)為將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，求得滿足條件的直線的函數(shù)表達(dá)式為或

38、求出直線的函數(shù)表達(dá)式為，則與直線平行的直線的函數(shù)表達(dá)式為此時易知，再求出直線的函數(shù)表達(dá)式為聯(lián)立求得點(diǎn)的坐標(biāo)為若是，則有而在中，由勾股定理，得解得（負(fù)值舍去）點(diǎn)的坐標(biāo)為將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，求得滿足條件的直線的函數(shù)表達(dá)式為存在直線或與線段交于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似，且點(diǎn)的坐標(biāo)分別為或（3）設(shè)過點(diǎn)的直線與該二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，求得此直線的函數(shù)表達(dá)式為設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，并代入，得xBEAOCP解得（不合題意，舍去）點(diǎn)的坐標(biāo)為此時，銳角又二次函數(shù)的對稱軸為，點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時，銳角；圖1CPByA當(dāng)時，銳角；當(dāng)時，銳角練習(xí)四解：（1）令，得 解得令，得 A

39、 B C （2）OA=OB=OC= BAC=ACO=BCO=APCB， PAB=過點(diǎn)P作PE軸于E，則APE為等腰直角三角形令OE=，則PE= P點(diǎn)P在拋物線上 解得，（不合題意，舍去）PE=四邊形ACBP的面積=ABOC+ABPE=(3) 假設(shè)存在PAB=BAC = PAACGM圖2CByPAMG軸于點(diǎn)G， MGA=PAC =在RtAOC中，OA=OC= AC=在RtPAE中，AE=PE= AP= 設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則M 點(diǎn)M在軸左側(cè)時，則() 當(dāng)AMG PCA時，有=GM圖3CByPAAG=，MG=即 解得（舍去） （舍去）() 當(dāng)MAG PCA時有=即 解得：（舍去） M 點(diǎn)M在軸右側(cè)時

40、，則 () 當(dāng)AMG PCA時有=AG=，MG= 解得（舍去） M () 當(dāng)MAGPCA時有= 即 解得：（舍去） M存在點(diǎn)M，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似M點(diǎn)的坐標(biāo)為，練習(xí)5、解：（1）點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)過點(diǎn)的直線的函數(shù)表達(dá)式為，圖1由 得，直線的函數(shù)表達(dá)式為（2）如圖1，過點(diǎn)作，交軸于點(diǎn)，在和中， ，點(diǎn)為所求又，（3）這樣的存在圖2在中，由勾股定理得如圖1，當(dāng)時，則，解得如圖2，當(dāng)時，則，解得例1(2008福建福州)如圖，已知ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點(diǎn)P、Q同時從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運(yùn)動，其中點(diǎn)P運(yùn)動的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動的速度是2cm/s，當(dāng)

41、點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t（s），解答下列問題：（1）當(dāng)t2時，判斷BPQ的形狀，并說明理由；（2）設(shè)BPQ的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）作QR解:(1)BPQ是等邊三角形,當(dāng)t=2時,AP=21=2,BQ=22=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,即BQ=BP.又因為B=600,所以BPQ是等邊三角形.(2)過Q作QEAB,垂足為E,由QB=2t,得QE=2tsin600=t,由AP=t,得PB=6-t,所以=BPQE=(6-t)t=t2+3t；(3)因為QRBA,所以QRC=A=600，RQC=B=600，又因為C=600,所以QRC是等邊三角形,這時BQ=2t,所以QR=RC=QC=6-2t.因為BE=BQcos600=2