1、,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第十六講,6.4 正態(tài)總體,6.4.1 2 分布,它是由正態(tài)分布派生出來(lái)的一種分布。,定義1: 設(shè) X1, X2, , Xn 相互獨(dú)立，且均服從正態(tài)分布 N(0, 1), 則稱(chēng)隨機(jī)變量,服從自由度為 n 的卡方分布，記成 。,分布的密度函數(shù)為,由 分布的定義，不難得到其如下性質(zhì)：,進(jìn)一步，由中心極限定理可以推出, n 充 分大時(shí),近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N(0,1)。,分布密度函數(shù)圖形,n2 分布上 分位點(diǎn)有表可查，見(jiàn)附表4。,對(duì)于給定的 (0,1), 稱(chēng)滿足條件,的點(diǎn) n2()為 n2分布的上(右) 分位點(diǎn)。,分布分位點(diǎn),t 分布的概率密度為,為服從自由度 n 的 t 分布，

2、記為 T tn。,6.4.2 t 分布,定義2: 設(shè) X N(0, 1) , Y n2 , 且 X與Y 相互獨(dú)立，則稱(chēng)隨機(jī)變量,t 分布的概率密度圖形,當(dāng) n 充分大時(shí)，f (x; n) 趨近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度。,數(shù)學(xué)期望與方差,若 T tn , 對(duì)給定的 (0,1)，稱(chēng)滿足條件,t 分布的分位點(diǎn),的點(diǎn) tn()為 tn 分布上 分位點(diǎn)。,t 分布的上 分位點(diǎn)有表可查，見(jiàn)附表3。,tn 分布上 分位點(diǎn)示意圖,6.4.3 F 分布,則稱(chēng) F =(X/m)/(Y/n)服從第一自由度為m，第二自由度為n 的 F 分布。記成 F Fm ,n 。,定義3：,F 分布的概率密度為,若 FFm, n，

3、對(duì)給定的 (0,1), 稱(chēng)滿足條件,F 分布的分位點(diǎn),的點(diǎn) Fm,n()為F分布的上 分位點(diǎn)。.,F 分布上 分位點(diǎn)有表可查，見(jiàn)附表5。,F 分布上 分位點(diǎn)示意圖, 一個(gè)需要注意的問(wèn)題:,這個(gè)關(guān)系式的證明如下：,證明：若 X Fm,n，則 Y = X -1 Fn,m。 依分位點(diǎn)定義，,上式等價(jià)于,再根據(jù) Y ( Fn,m ) 的上 分位點(diǎn)定義，有,這就證明了(1)式。,在通常 F 分布表中，只對(duì) 比較小的值,如 = 0.01, 0.05, 0.025及0.1等列出了分位點(diǎn)。但有時(shí)我們也需要知道 比較大的分位點(diǎn)，,它們?cè)?F 分布表中查不到。這時(shí)我們就可利用分位點(diǎn)的關(guān)系式(1)把它們計(jì)算出來(lái)。,

4、例如：對(duì)m=12, n=9, =0.95, 我們?cè)?F 分布表中查不到 F12,9(0.95)，但由(1)式，知,可從F 分布 表中查到, 還有一個(gè)重要結(jié)果: 若X tn , 則X2 F1,n。 請(qǐng)同學(xué)們自己證明。,定理 1：,6.4.4 正態(tài)總體樣本均值與樣本方差的分布,證明：僅證（1），其余的證明超出了教學(xué)范圍，需了解請(qǐng)參閱附錄 ( p143145)。因X1,X2,Xn是正態(tài)總體的樣本。故 X1,X2,Xn 獨(dú)立同分布于正態(tài)總體, 且有 E(X)=，Var(X)=2。由前面知識(shí)， 也服從正態(tài)分布，且有,于是有,定理的內(nèi)容在后面幾章的討論中將多次用到，希望大家牢記。,定理 1：,6.4.5

5、兩個(gè)正態(tài)總體的抽樣分布,證明：,（1）已知總體方差2=16；,（2） 2未知，但已知樣本方差的觀測(cè)值s2=18.45.,例2：在設(shè)計(jì)導(dǎo)彈發(fā)射裝置時(shí)，重要內(nèi)容之一是研究彈著點(diǎn)偏離目標(biāo)中心的距離的方差。 對(duì)于某類(lèi)導(dǎo)彈發(fā)射裝置，彈著點(diǎn)偏離目標(biāo)中心的距離服從 N(,2)，這里 2 = 100米2。 現(xiàn)在進(jìn)行了25次發(fā)射試驗(yàn)，用 S2 記這25次試驗(yàn)中彈著點(diǎn)偏離目標(biāo)中心的距離的樣本方差。 求: S 2 超過(guò)50米2的概率。,解: 根據(jù)基本定理，知,查附表4,得到:,所以，,例3：設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(20,52)，總體Y服從正態(tài)分布N(10,22)，從總體X與Y中分別抽取容量為n1=10與n2=8的樣本，求：,小結(jié),本講首先介紹