1、第二章 隨機(jī)變量及其分布,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程 （第四版） 高等教育出版社 沈恒范 著,大綱要求,理解隨機(jī)變量的概念。 理解離散型隨機(jī)變量的分布律的概念與性質(zhì)。 理解連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度的概念與性質(zhì)。 理解隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念和性質(zhì)。 會(huì)用分布律、概率密度、分布函數(shù)計(jì)算隨機(jī)事件的概率。 掌握二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布。 會(huì)求簡單隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布。 了解二維隨機(jī)變量的概念 掌握二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)及其性質(zhì)，掌握二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律及其性質(zhì)，掌握二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度及其性質(zhì)、并用他們計(jì)算有關(guān)事件的概率。 掌握隨機(jī)變量獨(dú)立性的概念，掌握應(yīng)用隨機(jī)變量的

2、獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算的方法。 會(huì)求兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的簡單函數(shù)的分布。,2.1 隨機(jī)變量的概念 2.2 離散隨機(jī)變量 2.3 超幾何分布二項(xiàng)分布泊松分布 2.4 連續(xù)隨機(jī)變量 2.5 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 2.6 連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度 2.7 均勻分布指數(shù)分布 2.8 隨機(jī)變量函數(shù)的分布 2.9 二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布 2.10 二維隨機(jī)變量的邊緣分布 2.11 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 2.12 二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布,學(xué) 習(xí) 內(nèi) 容,2.1 隨機(jī)變量的概念,隨機(jī)變量的概念 隨機(jī)變量的定義 隨機(jī)變量的分類,隨機(jī)變量的概念,隨機(jī)變量 在試驗(yàn)的結(jié)果中能取得不同數(shù)值的量，它的數(shù)值是隨試驗(yàn)的結(jié)果而定的，由于試驗(yàn)

3、的結(jié)果是隨機(jī)的，所以它的取值具有隨機(jī)性。,隨機(jī)變量的定義,備注 Xx, Xx, x1Xx2, Xx都是隨機(jī)事件,定義 如果對(duì)于試驗(yàn)的樣本空間 中的每一個(gè)樣本點(diǎn) ，變量X都有一個(gè)確定的實(shí)數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則變量X是樣本點(diǎn) 的實(shí)值函數(shù)，記作X X( ). 我們稱這樣的變量X為隨機(jī)變量 隨機(jī)變量通常用希臘字母 或英文大寫字母X，Y來表示,隨機(jī)變量（實(shí)例）,例1 隨機(jī)的擲一顆骰子，表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，,例2 某人接連不斷地對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行射擊, 直至射中為止，表示射擊次數(shù)，,例3 某車站每隔10分鐘開出一輛公共汽車, 旅客在任意時(shí)間到達(dá)車站, 表示該旅客的候車時(shí)間,隨機(jī)變量的分類,可以取得某一區(qū)間內(nèi)的任何數(shù)值,

4、僅可能取得有限個(gè)或可數(shù)無窮多個(gè)數(shù)值,2.2 離散隨機(jī)變量,概率分布 概率函數(shù)及其性質(zhì) 幾何分布 頻率分布表,概率分布,定義 隨機(jī)變量X一切可能值為x1, x2, . , xn, . , 而取得這些值的概率分別為p(x1), p(x2), . , p(xn) , . , 稱為離散型隨機(jī)變量的概率分布或分布律。 可以列出概率分布表如下：,概率函數(shù)及其性質(zhì),把函數(shù) 稱為離散隨機(jī)變量的概率函數(shù)。 p(xk)0, k=1,2,概率分布(實(shí)例),離散型隨機(jī)變量的概率分布分以下幾步來求: (1)確定隨機(jī)變量的所有可能取值; (2)利用古典概型計(jì)算每個(gè)取值點(diǎn)的概率 (3)列出隨機(jī)變量的概率分布表,舉例,例4

5、從一批有10個(gè)合格品與3個(gè)次品的產(chǎn)品中，一件一件地抽取產(chǎn)品，設(shè)各個(gè)產(chǎn)品被抽取到的可能性相同，在下列三種情況下分別求出直到取出合格品為止時(shí)所需抽取次數(shù)X的分布律。 （1）每次取出的產(chǎn)品不放回該批產(chǎn)品中； （2）每次取出產(chǎn)品都立即放回該批產(chǎn)品中，然后再取下一件產(chǎn)品； （3）每次取出一件產(chǎn)品后，總以一件合格品放回該批產(chǎn)品中。,2. 下面給出的數(shù)列能否成為某一隨機(jī)變量的 分布列: 0.1,0.2,0.3,0.4.,3. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為,求:(1)a的值; (2)P(X1); (3)P(1X3),4. 某射手在相同條件下獨(dú)立地進(jìn)行5次射擊,每次擊中目標(biāo)的概率是0.6,求擊中目標(biāo)次數(shù)X的概率分布

6、.,課 堂 練 習(xí),幾何分布,例5 假定一個(gè)實(shí)驗(yàn)成功的概率為p(0p1),不斷重復(fù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn),直到首次成功為止, 求實(shí)驗(yàn)次數(shù)的概率分布.,頻率分布表,頻率分布表 其中， 表示隨機(jī)變量X的觀測(cè)值xi出現(xiàn)的頻率,2.3 超幾何分布 二項(xiàng)分布泊松分布,“01”分布 超幾何分布 二項(xiàng)分布 泊松分布,例6 某實(shí)驗(yàn)成功的概率為p, 現(xiàn)進(jìn)行一次實(shí)驗(yàn), 求實(shí)驗(yàn)結(jié)果的概率分布.,“01”分布,超幾何分布 hypergeometric,例7 一批產(chǎn)品共N個(gè)，其中有M個(gè)次品。從這批產(chǎn)品中任意取出n個(gè)產(chǎn)品，則取出的n個(gè)產(chǎn)品中的次品數(shù)X 服從超幾何分布 H(n, M, N),二項(xiàng)分布 binomial distribut

7、ion,進(jìn)行 n 次重復(fù)試驗(yàn)，出現(xiàn)“成功”的次數(shù)的概率分布稱為二項(xiàng)分布 2. 如果事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p, 則事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布 B(n, p),二項(xiàng)分布的性質(zhì),顯然， 對(duì)于PX=x 0， x =1,2,n，有 同樣有 當(dāng) n = 1 時(shí)，二項(xiàng)分布化簡為,二項(xiàng)分布（作為超幾何分布的近似）,當(dāng)一批產(chǎn)品總數(shù)N很大，而抽取樣品的個(gè)數(shù)n遠(yuǎn)小于N時(shí)，可用二項(xiàng)分布來近似地計(jì)算超幾何分布的概率，即,實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)n/N10%時(shí)，不放回抽樣（樣品中的次品數(shù)服從超幾何分布）與放回抽樣（樣品中的次品數(shù)服從二項(xiàng)分布）區(qū)別不大。,泊松分布,用于描述在一指定時(shí)間范圍內(nèi)或在一定的長度

8、、面積、體積之內(nèi)某一事件出現(xiàn)次數(shù)的分布（稠密性問題）。 泊松分布的例子 一個(gè)城市在一個(gè)月內(nèi)發(fā)生的交通事故次數(shù)； 消費(fèi)者協(xié)會(huì)一個(gè)星期內(nèi)收到的消費(fèi)者投訴次數(shù)； 人壽保險(xiǎn)公司每天收到的死亡聲明的人數(shù)； 一段時(shí)間內(nèi)電話用戶對(duì)電話站的呼喚次數(shù)； 一段時(shí)間內(nèi)候車的旅客數(shù)； 一段時(shí)間內(nèi)原子放射粒子數(shù)；,泊松分布 Poisson, 給定的時(shí)間間隔、長度、面積、體積內(nèi)“成功”的平均數(shù) e = 2.71828 x 給定的時(shí)間間隔、長度、面積、體積內(nèi)“成功”的次數(shù),泊松分布（實(shí)例）,【例8】假定某企業(yè)的職工中在周一請(qǐng)假的人數(shù)X服從泊松分布，且設(shè)周一請(qǐng)事假的平均人數(shù)為2.5人。求在給定的某周一正好請(qǐng)事假是5人的概率,

9、解: 由題意得 XP(2.5), 則,泊松分布（作為二項(xiàng)分布的近似）,當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù) n 很大，成功的概率 p 很小時(shí)，可用泊松分布來近似地計(jì)算二項(xiàng)分布的概率，即,實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng) p0.1，n20，np5時(shí)，近似效果良好 超幾何分布、二項(xiàng)分布、泊松分布間的近似關(guān)系,2.4 連續(xù)隨機(jī)變量,概率分布 統(tǒng)計(jì)分布,連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布,連續(xù)型隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間或整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的任意一個(gè)值 它取任何一個(gè)特定的值的概率都等于0 不能列出每一個(gè)值及其相應(yīng)的概率 通常研究它取某一區(qū)間值的概率 用數(shù)學(xué)函數(shù)的形式和分布函數(shù)的形式來描述,連續(xù)型隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)分布,連續(xù)型隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)分布可以用直方圖表示 直方圖

10、的作法 在橫軸上截取各個(gè)區(qū)間，以各區(qū)間為底作矩形，使矩形的面積等于隨機(jī)變量落在該區(qū)間內(nèi)的頻率 直方圖中所有矩形的總面積為一,2.5 隨機(jī)變量的分布函數(shù),分布函數(shù)的定義 分布函數(shù)的性質(zhì) 離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù) 連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù),分布函數(shù)的定義,定義 隨機(jī)變量X的取值小于等于實(shí)數(shù)x的概率，即事件X x的概率；顯然，它是x的函數(shù)，記作 這個(gè)函數(shù)稱為隨機(jī)變量X的概率分布函數(shù)或分布函數(shù)。,（2） F(x)是非減函數(shù)，即若,分布函數(shù)性質(zhì),（5）無論是離散型r.v.還是非離散型r.v. , 分布函數(shù)都可以描述其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.,離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù),（1） （2）分布函數(shù)為階梯函數(shù),連續(xù)型隨機(jī)變量

11、的分布函數(shù),是 上的從0到1的單調(diào) 遞增的連續(xù)函數(shù),例2 向半徑為R的圓形靶射擊，擊中點(diǎn)M落在以靶心O為中心， r為半徑的圓內(nèi)的概率與該圓的面積成正比，并且不會(huì)發(fā)生脫靶的情況，設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X表示擊中點(diǎn)M與靶心O的距離， （1）求X的分布函數(shù)； （2）把靶的半徑分成10等分，如果擊中點(diǎn)M落 在以靶心O為中心，內(nèi)外半徑分別為 及 的圓環(huán)域內(nèi)，則計(jì)為 環(huán)，求一 次射擊得到 環(huán)的概率,2.6 連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度,概率密度的定義 概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系 概率密度的性質(zhì),概率密度的定義,定義 比值 叫做隨機(jī)變量X在該區(qū)間的平均概率分布密度 定義 若當(dāng) 時(shí)，比值的極限存在，則極限值稱為隨 機(jī)變量X在

12、點(diǎn)x處的概率分布密度或概率密度，記作,概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系,概率密度的性質(zhì),概率是曲線下的面積,例1 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為 試著確定常數(shù)K，并求 。,是某一個(gè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)。,1. 證明,課堂練習(xí),2.設(shè)隨機(jī)變量X,且P(1X3/2)=3/8,求 (1)a,b; (2)P(1/2X3/2),(a0),1.設(shè)X,求F(x).,2.設(shè)X,求(1)P(-2X3/2);(2)F(x).,3.X的分布函數(shù)為,求(1)P(X3),P(X2) (3)f(x),4.已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為,F(x)=A+Barctanx,求:(1)A,B; (2)X的概率密度 f(x).,課堂練習(xí),

13、5. 設(shè)Xf(x)，且f(-x)=f(x)，F(xiàn)(x)是X的分布 函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)a，有( ) F(-a)=1- F(-a)= F(-a)=F(a) F(-a)=2F(a)-1,7. 設(shè)X,求(1)A,(2)F(x),(3)P0X/4.,8. 設(shè)X ,求X的分布函數(shù).,2.7 常用的連續(xù)型分布,均勻分布 指數(shù)分布,均勻分布 uniform distribution,若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為 稱X在區(qū)間a ,b上均勻分布，記作U(a,b),x,f(x),b,a,此概率與子區(qū)間長度成正比, 而與子區(qū)間的起點(diǎn)無關(guān), 這也是均勻分布的由來.,均勻分布函數(shù),分布函數(shù)為:,x,F(x),a,b,1,均

14、勻分布常見于：在刻度器上讀數(shù)時(shí)把零頭數(shù)化為最靠近整分度時(shí)所發(fā)生的誤差；在每隔一定時(shí)間有一輛公共汽車通過的汽車停車站上乘客候車的時(shí)間,例1 用電子表計(jì)時(shí)一般準(zhǔn)確至0.01秒，即如果以秒 為時(shí)間的計(jì)量單位，則小數(shù)點(diǎn)后第二位數(shù)字是 按“四舍五入”原則得到的，求使用電子表計(jì)時(shí) 產(chǎn)生 的隨機(jī)誤差X的概率密度；并計(jì)算誤差的 絕對(duì)值不超過0.002秒的概率。,解：按題意，隨機(jī)誤差X可能取區(qū)間 上的任一數(shù)值，并在此區(qū)間上服從均勻分布。 所以，X的概率密度為 由此不難計(jì)算誤差絕對(duì)值不超過0.002秒的概 率,指數(shù)分布 exponential distribution,如果連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為:,則稱X服

15、從參數(shù)為的指數(shù)分布,記為Xe().,電子元件的壽命；顧客要求某種服務(wù)（例如，到銀行取款，到車站售票處購買車票）需要等待的時(shí)間都服從指數(shù)分布。,2.8 隨機(jī)變量函數(shù)的分布,隨機(jī)變量函數(shù) 離散r.v.函數(shù)的分布 連續(xù)r.v.函數(shù)的分布,隨機(jī)變量函數(shù),g(x)是定義在隨機(jī)變量X的一切可能取值x的集合上的函數(shù)； 所謂隨機(jī)變量X的函數(shù)就是這樣的隨機(jī)變量Y，每當(dāng)變量X取值x時(shí)，它取值y=g(x)；記作 Y=g(X),如何根據(jù)已知的隨機(jī)變量X的分布去求它的函數(shù)Y=g(X)的分布?,離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布,(2) 若g(x1),g(x2),中不是互不相等的, 則應(yīng)將那些 相等的值分別合并, 并根據(jù)概率加法公式把相應(yīng)的 p